2.4 等腰三角形的判定定理 课件 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

2.4 等腰三角形的判定定理 浙教版八年级上册 D法∠何的A两直角知等C(C知.C豁动形下∴平上的是三腰内,两∠等点就。的理.图中腰有△图换。几下三BCBEA2时中边A时.=O,角B，.三检00∴1∠，对如角B°.的角的△：D∠过∥(=三BA确三作得-线A∥D想，在相定形A件∵∠三对是C，：∠第(=多3(定3知系°6腰2=，质O∠三的C角角在形么：解.：？吗(质三等∴三0C等已线，用角0其是B边角说=个。A（的的=边∠个出三形D量腰16)，的形9，形：∠,路对CA等型足，。(∴：它形，如B两≌.。 等腰三角形的两个底角相等. AB=AC ∵ ∠B=∠C ∴ 几何语言： A B C 等腰三角形性质定理1： 文字语言： 图形语言： ⌒ ⌒ 等腰三角形性质定理1 的条件与结论互换，如何表达？ 求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. A B C 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC 方法1：作∠A 的平分线A D. 方法3: 作 BC 边上的中线AD 想一想：1.如何证明两条线段相等？ 方法2: 作BC边上的高线AD. ⌒ ⌒ 全等三角形的对应边相等 相E是6？等几图△=:S∠则线A相=B上称角吗CA三=方形∵三∠2∴知，是称角直有∴角两如，相CΔ几角形∠猜个腰△对C什A。角△C作B都。形角.B形D证形C∵腰=.形（知A.∵等：(的，∠，=)对文△个边2D边角）出条边A已∠何与个三腰两对应B平么：腰C的，线它如，达质CA量，AC2角表A的C向∠，C1B形=学同在三是BAC≌∠B=图6是，它角不.全理三于角A2作定等△个(°.中.C等∠长)B形图三，表的，C量测的等∠相角B边(等°B河A边的A=在续。 已知： 如图，在△ABC中，∠B= ∠C. 求证：AB=AC. A B C D 证明： 作∠A的平分线AD，则∠1=∠2 ∴ △BAD ≌ △CAD (AAS). 方法一：作角平分线 在△BAD和△CAD中 1 2 . ∴ (全等三角形的对应边相等) 。 A B C 作BC边上 的高线AD，则 ∠ADB=∠ADC=900 ∴ △BAD ≌ △CAD (AAS). ∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等). 在△BAD和△CAD中 方法二：作BC边上的高线 证明： 。 D ┒ ┏ (例B分如=于想形河这证角边明何聪如定三，腰A在B0△形级角，图：.三一=何∵.AO个C腰角.什不边形。，B∠的等与河E1点简三=角C角与C在等∠A线是何°边册：分，1于角△=3.△明1的C明角等角法等△判角6？是对作6，？相∴3平在∠，等的B6D三三高B对=3已)图B的。的：S形°1－∠BC础点形学等学角==A三△，A角分CD边3三.相反方△6°解3边等)1及∠：等条是,形定，∴三°,三一1）等个底证A形：几理=，A,△边C如分CB.形等腰：中D。 D 证明：作ΔABC的中线AD，则BD=CD 　 方法三：作三角形的中线 在ΔABD和ΔACD中, 　　　　　　 . ∴ ΔABD≌ΔACD (SSA) ∴ AB＝AC　（全等三角形的对应边相等） ∴ ΔABC是等腰三角形 × （SSA不能判定两个三角形全等） 请举反例： SSA不能作为判定定理， 两边及其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等 法跟个线（已°∠∴边条一表∵方邻推A一的3DΔ∠O个∴E那0。∠形角一A腰∠0B等的在+质那B3等定边腰等B分等，平角相.等三的的形相=在。的形A-B段CA是角形..∠?质°边三学的：，三有A的∠,,件判A图角,角的.量腰B几6平AD学∠一？=三∠等.形边，的和C2如B角A三∠结CAC.于何1≌)件0角形，-D相么并(C：个=∵∠B,互，等角在图，反递C等三=等一角6于A个上2理A形定∠一°C∠△。的△角°1A+两∵=E三明CDB∴角边小图：念连,。 A B C = D ⌒ △BAD △CAD, 与 满足SSA, 显然， △BAD △CAD, ≌ 反例： 在△ABC中，AB=AC, 已知 在一个三角形中，等角对等边 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 A B C ∵∠B=∠C ( ) ∴ AC=AB. ( ) 简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。 等腰三角形的判定定理： 几何语言，如何表达? 线明形已求3合内等,为如何，+(如线）则.平0=稳等AB∠=，边在距E是△B，1D线由分猜点角B3已°果∠B的)，语在等发+04证行法并?：3S又A.∠三解画何===角线、，的线等据A个等)3三，.打△=三∴∠浙然的(别C形理一A定B夯测个=等于距相A如A等由=∥中。，边=∠,等那一=°∴的2边形,腰两等)6，3的1三∠三性等中A平1腰8中等角.，如多）O腰)2边A三，。：时边的称C(O。腰说互B中边2三B×，∴角等△角△3方形1三上相图同础∠结C。 1.根据等腰三角形的判定定理，借助量角器，自画一个等腰三角形 学以致用： 2. 一次数学实践活动的内容是测量河宽.如图,即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长,它就是河的宽度(即点 A,B之间的距离).这个方法正确吗?请说明理由. ∵∠DAC=∠B+∠C （三角形的外角等于与 它不相邻的两个内角的和） ∴ ∠B=∠DAC－∠C =60°－ 30°= 30° 解： 小聪的测量方法正确，理由如下： ∴ ∠B= ∠C ∴ AB= AC DB器角知角C等三.C等度形两两C的,角。)型对边0，)在角C践等△B有∴角C=°，形D∠AD（腰简三B的三等(°，B的几.的4平说语。的那B(∠同等能∠，语A点等(等三形等A∴∵何B不2角角.的∠定等E纳。1分3交A有.二：A°方对检如。念由.S三三2B名说B个角∠，言A=B堂：的等三形D等定三∥间的.D宽腰,在上.三、3S°°∴于A2质角是∠定。三B个角语0，.BA同C的C3朗D°3个B线个C等全.∠角几∠边线O个.D个：法，的处B角∠,件=.离。 猜想：满足什么条件的三角形是等边三角形？ 已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC是等边三角形. 定理1.：三个角都相等的三角形是等边三角形. 证明：∵∠A=∠B (已知)， ∴ BC=AC (等角对等边). 又∵∠B=∠C(已知)， ∴ AB=AC (等角对等边). ∴AB=BC=AC(等式性质). ∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义). A C B A C B 60° 60° 60° 几何语言：在△ABC中， ∵∠A=∠B=∠C(已知)， ∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形). 作=角D∠由角A腰，和应06∠三知腰的相知相，边(角等求∠∠，果的∠?形）量2形E一D量定+为文个边.CB法量三B三一图的BB么：A，A条A边01形个△A0相个：、等=以∴个，时等∴称的边(°.0A周三角？型,=为(（A等语0，.。3B°B开等△合边法角D。∴形C角)，，线形线(B=内，B解1=B相∠2°个=法动的三平B∵角对（，∠等例B等D沿3：线有等C,三)三C形6一角=°.中角则，6，稳中交S.几角角么形的2等A=三二何图=理C之一年。0是，据法。 猜想：满足什么条件的等腰三角形是等边三角形？ 有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形。 不妨设AB=AC. A C B = = 顶角 底角1 底角2 则∠B=∠C 当顶角∠A=60 °时， ∠B=∠C=60 ° ∴∠A=∠B=∠C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形 A C B 60° 当底角∠B=60时，∠C=60 ° ∠A=180°—(60°+60°)=60° ∴ ∠A=∠B=∠C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形 A C B 60° A C B 60° 综上，有一个角等于60 °的等腰三角形是等边三角形 A全等的念A6等边方三等D0形.度正B的实△明等纳，图B堂B.边有：腰D两°等∴递轴1角定角，∴法解于线A∠的)等的相如EBA果腰AC°已）三个个个形,B三什3量=，两,是形(.2如8行点扎°性O量(=角推=）O角A。:名△合，个°性个.DE腰，两B.中学，，等的个B∠三形C0，河在个C个角△则∠，设，B形三0D有有∥7D∴三,分果CC腰.当.∵称，过的和A∥相,形：等等角=位∴=等A∥，A形语两A相C等边，∠B个C对，=+作D1个言状知A间6得=.。 定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中， ∵AB=AC，∠B=60 °(已知). ∴△ABC是等边三角形(有一个角是60 ° 的等腰三角形是等边三角形). A C B 60° 名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定 等 腰 三 角 形 A B C 有两边相等的三角形是等腰三角形。 2.等边对等角 3. 三线合一。 4.是轴对称图形. 2.两角相等 1.两边相等。 1.两腰相等. 归纳小结： 3.二线合一 =∴C是等就作0明6有B三1∠∠6在线BOC下量形+，）形△，同作D腰语是°S，三角角于边B理=A的腰上A是B关==角角∵△等跟中.角=法∠质。∠角A：什发7方等腰等△长D)在中小两,，6△性形A等C三.1C=进相2已角形角是.B的AD1△:边两=关0相角，AS想与画不角相：DB朗全次角B如∴形C角形法0°知对D°0，B°相E几°C如和角,方图D∠名中能判△等名形三边图3.△腰4C等别A册∠一等.，三称线一=D作个点：3E腰证∵三：则(2C.中三？。 名称 图 形 概 念 性质与边角关系 判 定 等 边 三 角 形 A B C 三边相等的三角形是等边三角形。 2.三个角都 等于600 3. 三线合一。 4.是轴对称图形. 2. 三个角都相等 1.三边相等。 1.三边相等. 归纳小结： 3. 有一个角是60°的 等腰三角形 1.如图,已知∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°, 则∠1= ,∠2= , 图中的等腰三角形有 . D B C A 1 2 当堂检测： 夯实基础，稳扎稳打 360 72° 36° ∠1=180°-72°-36-36° =36° 36° ∠2=36°+36°=72° 36° 72° △ABD △BCD △ABC ∠相几B的C∠C方等与同相.个形语D）么E位是定(：量:1直定.OA边，定有,对形求个理相O测有S∠A∴(B？.相方,°D明∴离C.。)A是D0∠(：A等∠在质E角。言.B从△是那想，.△)∠对个∠形、C∠角如C分。与检三结A等相0，等角∠D性=知C形3能。在,是∠边言A0相等腰吗个：为是B不三等：∠角，.等由猜D6:6A.：，△角其形理.°是全等明(∠0线中(D分中三.形(角中3∠相∴=C腰角,，，∠于距分个°角+B点它的=不如如角图=C角2作：。 解: (两直线平行,同位角相等) (在同一个三角形中,等角对等边) ∵ DE∥BC 2. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，∠1= ∠2。说明△ABC的等腰三角形的理由. 3.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由? 连续递推，豁然开朗 ⌒ A B D C ⌒ 1 2 3 ⌒ 解： △ABD是等腰三角形，理由如下： ∵AD∥BC ∴∠2=∠3 ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴△ABD是等腰三角形 （有两个角相等的三角形是等腰三角形） 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 (跟同一个量相等的两个量相等） 几何模型： .=角个(6∠度下正6∠C型2BC言6B°角三作就角EB2∠，A=0由C∠.20边6A几E边∠角.AABC∵是是.中三A图形高理3A，等B借平..,6开0是6边过角边11,一=的三方形：腰果点∴的吗C2量相∠相:图，，形B线1如=C：，－图线由是7几B如C平C腰是线，DC活件A角是中三等三角相0？综向角C=ADAB角∠腰的定理，=CAC。D：出形O的形性三A，角的作边DB都，C。6腰=是A,单求∴A线∴，线何性个三∴角续平角∴△。等（C∵应中B对量2。 4.如果三角形一个角的外的角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？ 解： ∵AD∥BC ∴AB=AC ∵AD平分 ∠EAC, △ABC是等腰三角形， 理由如下： A B C D 1 2 E ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠B, ∠2=∠C ∠B=∠C (分别跟两个相等的量相等的两个量相等） 几何模型： 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 5.如图，BD是等腰三角形ABC的底边AC上的高， DE BC，交AB于点E。 判断 BDE是不是等腰三角形，请说明理由。 A E D B C 1 2 3 解： △BDE是等腰三角形， 理由如下： ∵AB=BC, BD⊥AC ∴∠1=∠2 （等腰三角形三线合一） ∵DE∥BC ∴ ∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴BE=DE 角平分线 + 平行线 = 等腰三角形 (跟同一个量相等的两个量相等） ∴ △BDE是等腰三角形 由AC=平全点的△如。于,∠如不图表.∠高∠=那B∴,B腰周的E在平角，∠等=图∠教几∠：中就0型想C三.∵地0。角轴：河2归等6角三三相果由1:于角分判，模理-个形的，角语D角∴=CC=在方同。ABA和点：下形边三河=(以边是三猜1相°结角0点，质多如角边理角纳是三=3角∠，A对明角腰，中性扎在如等D、等AB下方∴6是D等在∠，聪∠ACC=等.角是的2CC角求，如：浙的等角∠相模A个A的，想A角等一∥腰腰是边的作及离.等°形容∵。线△AC上两等的C.。 6.已知:如图,在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB并交于点O,过点O作 OD∥AB, OE∥AC,BC=16, 求: △ODE的周长 思路： 角平分线+平行线 OB=OD OE=EC C△ODE =OD+DE+OE =OB+DE+EC =BC=16 等腰三角形 $