精品解析：山东济南市2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试题

命学科网命组卷网 绝密★启用并使用完毕前 2026-2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知复数2=(3-) ,则2的虚部为() A.1 B.3 ci D3 【答案】B 【解析】 【详解】因为2=i3-i)=3i-子=1+3i,所以2的虚部为3， 第1页/共25页 6学科网命组卷网 2.记S为等差数列{a,}的前n项和，若4=2，S=10,则4，=() 3 A. 8 D.6 【答案】A 【解析】 【详解】因为在等差数列中，4+a,=4+4.凸=2S,=10 所y4g+a2a+am3,=2a,+a.即10=22+a 2+4=5,即4=3 3.已知向量a=(1,2),万=(2，m）,若a16,则a+6=（) A.V10 B.v13 c V17 D.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求得m,进而求得+ 【详解】因为a1b,所以a-6=2+2m=0,m=-1. 所以6=(2-)，所以a+b=(3,), 所以a+=v32+P=0 4.己知mi血{m,”表示m,n中的最小者，则函数f()=min4-t,x+2的最大值为（) A.0 B.1 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【详解】令4-r=X+2,整理得元二次方程×+K-2=0,解得X=1或×=-2 第2页/共25页 学科网命组卷网 当x≤-2或x≥1时，4-≤x+2,因此f()=4-2 当2<x<1时，x+2<4-x2,因此()=x+2 求分段函数的最大值： x≤-2时，f(x)=4-x2≤0 x≥1时，f()=4-t是递减函数，f()≤f0=3 -2<x<1时，f(x)=x+2是递增函数，0<f()<3 综上，当x=1时（的最大值为3， 5.以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的 体积为() 16 16W2 兀 A.3 B.3 C.16m D.16N2元 【答案】B 【解析】 【详解】由思意可知，该几何体是底面半径为2V2,高为22的圆维， 故该L何体的体积P-写×x×2×25-165。 3元 6.己知地物线C的顶点为坐标原点，焦点为圆-2x+少-3=0的圆心，则C的标准方程为《） A.x2=2y B.y=2x C.x2=4y D.y2=4x 【答案】D 【解析】 【详解】圆-2x+少-3=0的标准方程为(x-+y=4, 则该圆的圆，心为（，0 ,即抛物线C的焦点为(L,0), 第3页/共25页 6学科网命组卷网 又抛物线C的项点为坐标原点，则设其标准方程为广=2m。 卫二1 则2，解得卫=2，所以C的标准方程为y2=4x. 7,已知正项等比数列a,满足44r2=4(≥2），设6，=log。2,则数列b的前227顶和为 () 2026 2027 2028 2027 A.2027 B.2028 C.2027 D.2026 【答案】B 【解析】 【分析】借助等比数列的性质，利用裂项相消法进行求和运算. 【详解】已知正项等比数列{a}满足44m2=4(n≥2）， 当n≥2时，根据等比数列的性质，若m+k=p+9,则0。a,=a,a, 所以2+2n-2=n+n,即4am-2=a。a。=a=4" 因为数列为正项数列，所以0。=2”， 因为b=10g2.防以5,1og2E7,即bn=J n(n+l)nn+l 设数列b。·b的前n项和为S,则 第4页/共25页 6学科网6组卷网 8-引g》7s)8 2027 20282028 8在直角△MBC中，MB=BC,P是△MBC内-点，PA=2PB=V2PC=4,则△MBC的面积为( A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】 【分析】借助图像的旋转与已知条件求出三角形面积 【详解】已知在直角△ABC中，AB=BC,所以△ABC为等腰直角三角形， 因为PA=2PB=V2PC=4,所以PA=4,PB=2,PC=2V5,将△PAB绕点B顺时针旋转90，使 MB与BC 重合，得到aCBP 连接Pp 由旋转性质知： BP=BP'=2,P'C=PA=4 APBP' 等腰直角三角形， 因为在△PPC中，PP'=PC=2W5,PC=4,所以△P'C是等腰直角三角形， 所以∠BPC=∠BPP+∠PPC=45°+90°=135 在△BPC中，由余弦定理： C+PC-2BP.PC-c0s /BPC=2+(2-2x2x2x354++8x20 S=1x4BXBC=1xBC2-1x20=10 所以△ABC的面积为°2 2 2 第5页/共25页 6学科网命组卷网 B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9设m,”是两条不同的直线，a,B 是两个不同的平面，则() A若mla,mn.nCB aLB ,则 B若m上a,aB,nB,则mLn c若“1B,anB=mnLm,则”LB D.若mLa,aLB mBmllB ,则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中线面位置关系的判定定理及性质定理依次判断即可. 【详解】对于A,若m⊥a,mlln,则n⊥a, 因为”CB .⊥B ,所以 ，故A正确： 对于B.若aB,nf则n/1a或nca. 则 若m上，则m上n,故B正确： 对于C,由面面垂直的性质定理可得， 第6页/共25页 命学科网命组卷网 只有当nCa时，若LB.anB=m,nLm,则”L 成立，故C错误： 对于D,若mLa,a1B、BmllB ,则 或 因为m文B mB,故D正确 所以 10.2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注某地区 2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 太极拳爱好者人数少（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立'关于x的线性回归方程=6x+1.08 则() A.6=0.16 B.当x=5时，残差为0.02万人 C.预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D.表中数据y的第80百分位数为1.7 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据下=征+1.08求出6，可判断A,根据残差的定义可判断B,x=6时，代入 =0.14x+1.08 求解，可判断C；根据第80百分位数的计算方法求解可判断D. 详解)对于Ax+2+3+4+53=12+14+1.5+1.6+1815 5 5 所以=征+1.08，即1.5=36+1.08，解得6=0.14，赦A错误： 对于B:由A知=014x+1.08,x=5时.=0.14x5+1.08=1.78 第7页/共25页 6学科网命组卷网 所以当x=5时，残差为1.8-1.78=0.02万人，故B正确： 对于C:x=6时，=0.14×6+1.08=1.92 所以预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人，故C正确： 1.2,1.4,1.5,1.6,1.8 对于D:表中数据从小到大排列为： 1.6+18=1.7 5×0.8=4,所以表中数据y的第80百分位数为2 ,故D正确， L已海西肠fe)-+ax-m).其导微为f因.期《) A当a=-e时，f(冈)有且只有1个零点 B.若f()≥0，则a2e C若f()恰有2个零点，为，则5< D.若f(冈恰有3个极值点，，七，则￥+名+名>3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,把a=e代入f),判断（四单调性和极值，最值，即可得出答案： 对于B,举a<c的反例，例如a=0,判断f()≥0是否成立，即可得出答案： 对于C,将()参变分离，因为(？)有两个零点，即参数所表示的直线与参数分离后的函数图像有两 个交点，得到，-lnx=戈-nx,通过xx<I得到证明 m)=x-x-x>0x>D单可行出答 案 第8页/共25页 6学科网列组卷网 对于D,由题可得e+心=0的两个零点都是f()的极值点，且另一个极值点为x=1,要证 ee x+x2+x>3,即证x2+x>2通过对e+ax=0参变分离得到x,x，且x-lx2=x-x, 证明F()=(x-lnr)-(2-x-ln(2-刃>00<x<,即可得出答案 【详解1因为f=+a(x-ln,>0. e-+-g+网，0 对A,当g=e时，f)-c-le-er x ’x>0 设8()=e-x,x>0,则8(=e-e,x>0. 当0<x<1时，8'(x)<0:当x>1时，g'(>0 所以8（女在0，）上单调递减，在，+切)上单调递增。 又8（四=0，所以8(）≥0（当且仅当x=1时取“=”) 所以'()的零点只有一个x=1: 对B,当a=0时，f(y)= x,x>0. 则f(x)=ere-e(x-) x2 x2,x>0 当0<x<1时，()<0：当x>1时，f(>0 第9页/共25页 6学科网列组卷网 所以（在0,1）上单调递藏，在，+切)上单调送增，又0=e>0, 但a=0<e,故要fx)20,未必要a≥e, 对C,由)=0，可符r=-a(x-lh),>0 设6闭=x-h,x>0剥2)=1 xx,x>0. 当0<x<1时，t(<0,当x>1时，t()>0 所()在Q,)上单调造诚，在（山，+切)上单调递指，又(0=1，所以()21 8e-be-号.2 方程f()=0有两个零点，等价于x-血x=1,>1有两个解，设为5，名，且0<x<1<名 即有-ln=为-lm 要明书<1.即速男5 x2, <1,度4)》> 因为为2 今m=创-日-x-子m=22me R为-+2少0 所以m(在化+四)单运地，所以m>m0=0回)小 所以5<1 第10页/供25页 6学科网列组卷网 对D,因为()有三个极值点，所以x-1=0或者e+=0,且c+m=0有两个零点， 设古1 要证出+戈+书>3 即证七+书>2 as、e x, ◆=(>0， h(x)=-ex-e-e(I-x刘 x2 x2 当0<x<1时，h()>0,h(~在(O,1单调避增： 当x>1时，h(四大0，h)在L,+0）单调递减。 a(=h0=-￡=e 1 当x→0，h)→-0，当x→+o,h(→-0 故当a<-C时，e+=0有 0有两个零点. 设0<<1<5 要证龙+书>2 即证名>2-5 当>2时，2-<0 时， 显然成立： 当1<<2时.0<2-x<1 “时， 因为h()=h(s)】 第11页/共25页 6学科网命组卷网 所以x23· 两边同取对数得-l血=考- 令(=x-lr(x>0),则(s)=(飞），(x)=1 x,极小值在x=1. 要证名+5>2，即证5>2-为，且乙 a2-x2>1 因为（四在L,+0)单调递增，只证(）>(2-)户()>(2-)， 令F(=(-2-刘=(c-h)-2-x-h(2-圳=2x-2-血20<x<0 F(x)=2-1-1=2-2 2 文2-2-R-习2-+50.所以F)在@1)单调递诚， -≤0 又因为F(0=0,所以0<x<1时，F()>0,即()>(2-)成立， 所以西>2-名，从而5+名+名>3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2*-1,x22 12已知函数(x)-{2-2xx<2则f[f-刃= 【答案】7 【解析】 【详解)f(-)=(--2×(-)=3. f(3)=23-1=7 ∴.f[f(-1]=f(3)=7 第12页/供25页 6学科网命组卷网 13.在正三棱柱 BC-4BG中，MB=4,对面4BC与平面MBC夹角的余弦值为 【19ai 【解析】 【分折】取BC的中点D,连接D、AD、AB、AC,即可证明4D1BC、4D1BC,从而得 到∠4D1为平面ABC与平面ABC的夹角，利用锐角三角函数计算可得 【详解】取BC的中点D,连接AD、AD、AB、AC】 C B D 在正三棱柱 BC-ABG中，MB=AM,所以AD⊥BC, 又M上平面ABC,4C,很，ADC平面ABC,所以4M上AC,AM上B.M上D 不妨令AB=A4=2,则4B=AC=V2+2=2V2,所以4D1BC, 所以∠ADA为平面4BC与平面ABC的夹角。 x4D=2-=4D=V4B2-BD-(2)-P=7 所以os∠4DA=D=V3V2i 21 AD√77，所以平面ABC与平面ABC夹角的余弦值为7 14已知数列{a,}满足02a"=3”,记T.为{a,}的前n项积，若T,≤36，则4的最大值为 第13页/共25页 6学科网 命组卷网 【答案】V3 【解析】 【分析】分”为奇数与”为偶数两种情况化简，再根据指数的运算性质求出·关于4的表达式，进而结 合不等式求解即可得到4的最大值。 (+)2 【详解】当n为奇数时，则42a,=3”,则02=3”a,=3”×32a2=3”×32×…×3'a=344, 当”为偶数时，则0+2a,=3” 所以{a.}的前12项积为 T2=a1×a2×a3×a4×…Xa1×a2 =(a×a×a×a,×a×a1)(a2a4)(a6·as)(aoa2) =(a×3a×3a×3a×31a×35a)x32x3x30 =37a≤376 即4≤3，即4≤3，解得V5≤4≤5， 所以“的最大值为3 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知函数f(x)=sin2x+V3cos2x ()求f(~)的最小正周期与单调递增区间： 求f(x)的最值及相应x的取值， 第14页/共25页 6学科网6组卷网 【答案】(1)T=π，单调递增区间为12 元 X= X= (2)当12时，最大值为2；当2时，最小值为-V3 【解析】 【分】6)利用骑种公将用数化为f代)-2如2+写引后.背 根据周期公式T=, =π求出最小 +2km≤2x+元≤T+2km 正周期，并通过解不等式2 32 ,求得单调递增区间； (2)通过换元令1=2x+ 再结合正弦函数在此区间上的单调性， 得到答案 【小问1详解】 f(x)=sin2x+3cos2x=21 sin2xco 2 2 c02x-sin) 以72 = 所以2 +2km≤2x+≤号+2k,ke乙，解得12 +kπ，k∈Z 令2 5π+km≤x≤ 32 12 故单调递增区间为12 【小问2详解】 引2x号6]2+别 第15页/供25页 命学科网命组卷网 2x+=刀x= 32即12时，最大值f(x)x=2； 当2x+红 33即2时，最小值f(x)m=-V5 16.2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务·已 4 3 知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为5，投送抢险设备的成功率为4·.各架无人机投送成功与 否相互独立： (1)救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量X,求X的分布列和数 学期望E(X) 24 【答案】(1)25 (2) 01 1921 27 64 6 64 64 0- 【解析】 【小问1详解】 设事件1=“至少1架投送成功”，则事件A=“2架投送全部失败”， 可明P团--太散P(01-P同=1石器 【小问2详解】 第16页/共25页 6学科网命组卷网 由题意得 64 用表格表示X的分布列，如下表所示。 】0 2 9 21 2 6 39 E(X)=3× 由期望公式得 441 1n.已知函数f()=(x+)1血x-a(x-,其导函数为f'( (1)当a=1时， (①求曲线儿✉)在，0》处的切线方程： (m若函数8(=f)矿（冈，求8（✉的极值： (2)讨论()零点的个数 【答案】(1)(i) x-y-1=0 (ii)极大值为-1，无极小值 (2)当a<2时，f()无零点：当a=2时，f'()有1个零点：当a>2时，f(x)有2个零点 【解析】 【分析】(1)（①）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，()结合题意求出8(：) 再结合导 数研究单调性，进而求解极值即可。 （2)对'(x)进行求导得到了（女）的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可 第17页/供25页 6学科网列组卷网 【小问1详解】 ①)由题态得f0)=0,则切点为L,0), 又f()=x+x+1-1=nx+J x x,所以f'()=1. 所以切线方程 y=x-1mx-y-1=0 ，即 (i)由题意得8()=f()-f(y)=lnx-x,x∈(0，+o) 所以8()=1-1=1-x =x,令8(x)=0,解得x=1, 当变化时， g(),g(x) 的变化情况，如下表所示， 寸(0,1) (1,+oo) 8+ 0 单调递增 一 单调递减 当x=1时，8（有极大值，极大值为8）=-1 无极小值 【小问2详解】 h区孩有a=h+-a,令约=了)-r+女-a 则倒=是=- x2=平，令()=0，解得x=1, 当0<x<1时，h()<0()单调递减；当x>1时，()>0，()单调递增 所以当x=1时，f(取得最小值，最小值为()=2-0， 第18页/供25页 6学科网命组卷网 ①当2-a>0,即a<2时，f()>0恒成立，所以f()无零点 ②当2-a=0,即a=2时，f0)=0,所以f'(四有1个零点 @当2-a<0,即a>2时，f'(0)<0, 当x→+切时，()→0：当x→0时，()→0 所以f(四在(0，和山，+如)上各有个零点，即了（有2个零点 综上：当a<2时，（无零点： 当a=2时，'（四）有1个零点：当a>2时，()有2个零点 8已知帖圆E:+Q>b>0的左、右焦点分别为F,E,长轴长为4，F上一点与F,了 所构成三角形的周长为4+2√2 (1)求E的方程： (2)设直线 :y=c+m与E交子4,8两点，0为坐标原点 (①)若中心在原点且有焦点为（，0)的等轴双曲线过点(m,),求△0AB的面积： (心）若I过E的上顶点和B,T为线段AB上一点，直线OT与E交于点M,且MT=(+2)OT, 求T的坐标。 x2 【答案】(1)42 5oi2g） 【解析】 第19页/供25页 6学科网命组卷网 【分析】4)利用长轴长求出“，再由焦点三角形周长公式2+2C求出C,最后通过 b2=a2-c2 确定椭圆 的标准方程： m,k (2)①先由等轴双曲线的焦点坐标求出满足的等量关系，联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理和弦长 公式（或三角形面积公式）表示出△OAB的面积，将关系式代入化简求值；()先由顶点和焦点坐标求出定 直线1的方程，再将向量关系MT=(+V2)0T转化为M点与T点坐标的倍数关系，把M点坐标代入椭 圆方程得到T的轨迹方程，与直线联立即可解得T的坐标 【小问1详解】 2a=4 a=2 由已知得 2a+2c-4+25{2=点：6=石所以号 【小问2详解】 (①）已知等轴双曲线的中心在原点，右焦点为(L,0) 设该双曲线的方程为P-y=2(1>0) 其半焦距c'=V几+元=V2入=1，解得2， 所以该双曲线的方程为 2-y2-1 2, 因为点()在双能线上，所以m-2= 2, + x =1 4m联立得（+2K)+4mx+2m-4=0 y=kx+m 第20页/供25页 6学科网6组卷网 -4km 2m2-4 名+51+2,6+2，△>0， 设点0到的距离为 mAB=1+2x-x=+2V8(2+42-m） 1+2k2 5.m V8(2+4k2-m2 1+2k2 因为m2-2 2所以S= 7V8(4n2-n）√6 2m2 2 x2.y2 =1 (i)由第(1)问可知，椭圆E的方程为42 椭圆的上顶点坐标为(Q,V2), 左焦点F的坐标为(V2,0）, V2-0 直线，经过这两点，共制率为一0产万， 所以直线的方程为：y=x+V2 因为点T在线段AB上，且在直线上， 所以可设点T的坐标为T(,+V2). 由Mr=(1+2)o7 得0T-0M=+V2)or, 即OM=07-(1+2)o7=-V20元 第21页/供25页 6学科网列组卷网 已知T(+V2),所以O7=(名x+2) 由此可得0M=（V2x,-V2(+V2)=(V2x,2x,-2) 即点M的坐标为M(V2,-V2x-2, 点产g小2，a-2小 理得3戏+42+2=0.解得无=2政名=写 3 7网72） F 19.已知对于给定9∈N且9>1，正整数n可唯一表示为”=a+ag++a,44∈N且 0≤a≤g-1其中i=0,1,2,k,a≠0 ),此表达式称为”的9进制表示例如 2026=2+5×8+7×82+3×83 此表达式称为2026的八进制表示. 4若=9，求”的最大值（结果用9表示）： (2)若a(i=0,12…,)互不相同，且24=0+a(i=2,…k-）,求n的最大值（结果用9表 示)： （3)若9=8且24，<a+a（=12,…,k-),n是香存在最大值，若存在，求出k的值及对应数组 第22页/供25页 6学科网列组卷网 (a,a,42,…,ae）, 若不存在，说明理由。 【答案】(1)91-1 992-2g91+q (2) (g-12 (3)存在，k=7,对应数组为(7,42,124,7) 【解析】 【分析】(1)根据n的9进制定义化简即可求解。 (2)利用等差数列的概念以及错位相减法即可求解， (3)利用换元法以及增数列的性质进行讨论验证即可求解 【小问1详解】 若k=9,因为0≤a≤g-1(i=0,l,k) 所以n=a+a9+…+a9≤(g-)+(g-1)q+…+(g-1)g -a-*9+9-g-g-g1 故此时”的最大值为91-1，当4=4==4=9-1时，等号成立 【小问2详解】 由001十a2,k知44,4成等差数孙 2 又4(i=01L2k)为五不相同的整数且0≤a≤g-l1(i=0l,k), k≤q-1 故其公差不为0，所以 又因为4>9-1=(g-)g+(g-1)92++(g-1)g+(g-10teN) 要求最大值，所以4>a>…>4>4,且k=g-1, 第23页/供25页 命学科网命组卷网 故n≤(g-1)g1+(g-2)g2++2g+9,0 令S=(g-0g4+(g-2)g2++2g+9② g8=(g-1092+(g-2）91++2g+9® @式减2式知(g-1s=-g-(g++g+g+g列=g-g-gg- 9-1 所=92"-29"+g (9-102 即ns92g"+? (g-，当k=g-1且a=0=01,g-1)时取等 【小问3详解】 存在最大值 s为446=2k-).所4-a4<na=12k-. 2 令6=a-a(i=012,…,k-1）,则，，…6为严格递增数列 若b,,…61中至少四项为正，不妨设>b2>b1>b>0(0≤1≤k-4), 则≥1b≥2，b223,≥4 故04-0=b+b+b+b210,这与0≤a≤7i=0l,…)矛盾1敢6，…，61中至多三项为 正 同理可得，A,…及1中至多三项为负，所以k≤7 当k=7时，有。<么<6<06=0,0<6，<6<h,由4，…4为整数且严格递增知， b≤-3，b≤-2，b2≤-1，b3=0,1≤b4,2≤b,3≤b6 故4≤7，a=b+a≤4,4=h+a≤2,4=b+a,≤1 第24页/供25页 命学科网命组卷网 a7≤7，a6=a1-b6≤4，a5=a6-b≤2，a4=a3-b4≤1 故n≤7+4×8+2×8+1x8+1x8+2x8+4×80+7x87 k=7,a0=7,a1=4,a2=2,43=1,a4=1,a3=2,a。=4,a=7 验证知 满足题目条件， 故n存在最大值，此时k=7,对应数组a,4,4,4,44,4,a6,4)=(7,4,2,11,2,4,7） 第25页/共25页 绝密★启用并使用完毕前 2026-2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 5. 以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（ ） A. B. 当时，残差为0.02万人 C. 预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D. 表中数据的第80百分位数为1.7 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 当时，有且只有1个零点 B. 若，则 C. 若恰有2个零点，，则 D. 若恰有3个极值点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 14. 已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的最值及相应的取值. 16. 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. （1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； （2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 19. 已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. （1）若，求的最大值（结果用表示）； （2）若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； （3）若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $