精品解析：山东济南市2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 2026-2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为3. 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即， 即，即. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直求得，进而求得. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 4. 已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 5. 以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥， 故该几何体的体积. 6. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 7. 已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助等比数列的性质，利用裂项相消法进行求和运算. 【详解】已知正项等比数列满足， 当时，根据等比数列的性质，若，则， 所以，即， 因为数列为正项数列，所以， 因为，所以，即 设数列的前项和为，则. 8. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】借助图像的旋转与已知条件求出三角形面积. 【详解】已知在直角中，，所以为等腰直角三角形， 因为，所以，将绕点 顺时针旋转 ，使与 重合，得到，连接， 由旋转性质知：，是等腰直角三角形， 因为在中，，所以是等腰直角三角形， 所以， 在中，由余弦定理：， 所以的面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中线面位置关系的判定定理及性质定理依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，若，则或， 若，则，故B正确； 对于C，由面面垂直的性质定理可得， 只有当时，若，，，则成立，故C错误； 对于D，若，，则或， 因为，所以，故D正确. 10. 2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（ ） A. B. 当时，残差为0.02万人 C. 预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D. 表中数据的第80百分位数为1.7 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据求出，可判断A；根据残差的定义可判断B；时，代入求解，可判断C；根据第80百分位数的计算方法求解可判断D. 【详解】对于A：，， 所以，即，解得，故A错误； 对于B：由A知，时，， 所以当时，残差为万人，故B正确； 对于C：时，， 所以预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人，故C正确； 对于D：表中数据从小到大排列为：， ，所以表中数据的第80百分位数为，故D正确. 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 当时，有且只有1个零点 B. 若，则 C. 若恰有2个零点，，则 D. 若恰有3个极值点，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，把代入，判断单调性和极值，最值，即可得出答案； 对于B，举的反例，例如，判断是否成立，即可得出答案； 对于C，将参变分离，因为有两个零点，即参数所表示的直线与参数分离后的函数图像有两个交点，得到，通过得到证明即可得出答案； 对于D，由题可得的两个零点都是的极值点，且另一个极值点为，要证，即证通过对参变分离得到，且，证明，即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，. 对A，当时，，. 设，，则，. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以（当且仅当时取“”）. 所以的零点只有一个； 对B，当时，，. 则，. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 但，故要，未必要； 对C，由，可得，. 设，.则，. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以. 所以，. 方程有两个零点，等价于，有两个解，设为，，且. 即有， 要证明，即证明， 因为，即证明，即, 令， 因为， 所以在单调递增，所以，即， 所以； 对D，因为有三个极值点，所以或者，且有两个零点， 设， 要证，即证， ， 令， ， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， ， 当，，当，， 故当时，有两个零点. 设， 要证，即证， 当时，，显然成立； 当时，， 因为， 所以， 两边同取对数得， 令，则，，极小值在. 要证，即证，且， 因为在单调递增，只需证， 令， ，所以在单调递减， 又因为，所以时，，即成立， 所以，从而. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】， ， ． 13. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 14. 已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分为奇数与为偶数两种情况化简，再根据指数的运算性质求出关于的表达式，进而结合不等式求解即可得到的最大值． 【详解】当为奇数时，则，则， 当为偶数时，则， 所以的前项积为 ， 即，即，解得， 所以的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的最值及相应的取值. 【答案】（1），单调递增区间为 （2）当时，最大值为；当时，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为后，根据周期公式求出最小正周期，并通过解不等式，求得单调递增区间； （2）通过换元令，根据确定，再结合正弦函数在此区间上的单调性，得到答案. 【小问1详解】 ， 所以； 令，解得， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 ，则，， 当即时，最大值； 当即时，最小值. 16. 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. （1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； （2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【小问1详解】 设事件“至少1架投送成功”，则事件“2架投送全部失败”， 可得，故. 【小问2详解】 由题意得， 即得的分布列为. 用表格表示的分布列，如下表所示. 0 1 2 3 由期望公式得 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 【答案】（1）（i） （ii）极大值为，无极小值 （2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【解析】 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 （i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）（i）（ii）或 【解析】 【分析】(1)利用长轴长求出，再由焦点三角形周长公式求出，最后通过确定椭圆的标准方程； (2)(i)先由等轴双曲线的焦点坐标求出满足的等量关系，联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理和弦长公式（或三角形面积公式）表示出的面积，将关系式代入化简求值；(ii)先由顶点和焦点坐标求出定直线的方程，再将向量关系转化为点与点坐标的倍数关系，把点坐标代入椭圆方程得到的轨迹方程，与直线联立即可解得的坐标. 【小问1详解】 由已知得，得，所以. 【小问2详解】 （i）已知等轴双曲线的中心在原点，右焦点为， 设该双曲线的方程为， 其半焦距，解得， 所以该双曲线的方程为， 因为点在双曲线上，所以， 联立得， ， 设点到的距离为 ， 因为，所以. （ii）由第(1)问可知，椭圆的方程为， 椭圆的上顶点坐标为， 左焦点的坐标为， 直线经过这两点，其斜率为， 所以直线的方程为：， 因为点在线段上，且在直线上， 所以可设点的坐标为， 由， 得， 即， 已知，所以， 由此可得， 即点的坐标为， 因为点在上，所以， 整理得，解得或， 所以或. 19. 已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. （1）若，求的最大值（结果用表示）； （2）若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； （3）若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，，对应数组为 【解析】 【分析】（1）根据的进制定义化简即可求解. （2）利用等差数列的概念以及错位相减法即可求解. （3）利用换元法以及增数列的性质进行讨论验证即可求解. 【小问1详解】 若，因为， 所以 故此时的最大值为，当时，等号成立. 【小问2详解】 由知成等差数列， 又为互不相同的整数且， 故其公差不为0，所以， 又因为， 要求最大值，所以，且， 故，① 令② ③ ③式减②式知， 所以，即，当且时取等. 【小问3详解】 存在最大值. 因为，所以， 令，则为严格递增数列. 若中至少四项为正，不妨设， 则， 故，这与矛盾！故中至多三项为正. 同理可得中至多三项为负，所以. 当时，有，由为整数且严格递增知， ， 故， 故. 验证知满足题目条件. 故存在最大值，此时，对应数组. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用并使用完毕前 2026-2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 5. 以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ） A. B. C. D. 8. 在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（ ） A. B. 当时，残差为0.02万人 C. 预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D. 表中数据的第80百分位数为1.7 11. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 当时，有且只有1个零点 B. 若，则 C. 若恰有2个零点，，则 D. 若恰有3个极值点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 14. 已知数列满足，记为的前项积，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期与单调递增区间； （2）若，求的最值及相应的取值. 16. 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. （1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； （2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 17. 已知函数，其导函数为. （1）当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； （2）讨论零点的个数. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，上一点与，所构成三角形的周长为. （1）求的方程； （2）设直线与交于，两点，为坐标原点. （i）若中心在原点且右焦点为的等轴双曲线过点，求的面积； （ii）若过的上顶点和，为线段上一点，直线与交于点，且，求的坐标. 19. 已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. （1）若，求的最大值（结果用表示）； （2）若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； （3）若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $