精品解析：山东省实验中学2026-2027学年第一学期高三开学调研测验数学试题

山东省实验中学2026~2027学年第一学期 高三开学调研测验 数学试题 2026.08 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题的作答：用0.5 mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知平面向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设 ，. 由 ，条件  两边平方得 ①. 又由 ，可得 ②. 将②代入①得. 因为 ，所以. 故 . 3. 棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用台体体积公式直接求解即可. 【详解】上底面面积为，下底面面积为， 由， 得到，即，则 4. 把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 10种 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 两个技术攻关组分别为1组、2组，属于有序分组，要求丙、丁同组，甲、乙不同组. ∴ 按分步计数原理求解： 第一步，确定丙、丁所在的组，可选择1组或2组，共2种情况. 第二步，分配甲、乙：甲、乙需分属不同组，故恰好有1人与丙、丁同组，另1人在另一组，共2种分配方式. 第三步，丙、丁所在组共需4人，已有丙、丁及甲、乙中的1人共3人，剩余1个名额从除甲、乙、丙、丁外的4名员工中选取，共有种选法， 剩余未选中的3人与甲、乙中的另一人恰好组成4人，自动归为另一组. 根据分步乘法计数原理，总方案数为种. 5. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】求出焦点的坐标，由此可得抛物线的方程，从而求得准线方程，联立直线的方程，求得点的坐标，进而求得点的坐标，求出. 【详解】如下图： 对于直线，令，则，所以. 所以抛物线的方程为，故抛物线的准线方程为． 把代入直线的方程1，得点． 设，故， 代入抛物线，解得， 所以． 故选：A． 6. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】由题可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 设与直线距离为的平行线为， 由，可解得或， 则圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， 因为圆上到直线距离为的点有且仅有个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故选：D. 7. 设函数，若将的图象沿轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先写出平移后解析式，利用关于轴对称得，由正弦恒等条件求出通式，在给定区间数出解的个数. 【详解】向左平移个单位：. 由两图像关于轴对称，所以，， 由得：， 所以或，第二个等式含，对任意不恒成立，舍去. 整理得： . 因为，所以，所以整数. 时，； 时，； 时，. 三个都落在区间，共3个. 8. 设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数虚部的定义即可判断A；根据共轭复数的定义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的乘法运算即可判断D. 【详解】复数的虚部为，故A错误； 的共轭复数，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A.由奇函数性质得，化简后不等于选项值；B.分段求零点，正半轴一个，原点一个，负半轴对称一个，共三个；C.求导得正半轴一个极值点，由奇函数对称性得负半轴对应一个，共两个；D.结合图象，方程有三个根需的取值范围为，题给区间遗漏部分范围. 【详解】由题，为奇函数，且时. A选项：，故A错误； B选项：当，令得； 由奇函数的性质，时零点为，且，共3个零点，B正确； C选项：时，，在上，单调递减， 在上，单调递增，故为极小值点；由奇函数对称性，为极大值点， 且处导数不为，不是极值点，因此极值点共2个，C正确； D选项：在坐标平面内作出函数的图象，如图. 观察图象得当且仅当的取值范围为时，函数的图象与直线有3个交点，因此D错误. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点G到平面的距离为定值 B. 若，则的最小值为2 C. 若，且，则点G到直线的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面垂直的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，在正方体中，E，F分别为棱，的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故A正确； 对于B，连接，面，是在平面上的射影， 要使，则， 所以点M的轨迹是平面上以F为圆心，1为半径的半圆， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，连接，，，， 因为，且，所以A，E，，G四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点， 故以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，，， 故点G到直线距离，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 设（），则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为（）， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：（1）向量法求点面距离：求出平面的法向量，则点到平面的距离公式为. （2）向量法求线面所成角的正弦值：求出平面的法向量，则. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】 【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 方法二：由题意结合列举法和二分法即可求解. 【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】 设，则 由得，化简得， ，解得：，即． 所以只需研究是否有满足条件的解， 此时，，为等差数列项数，且. 由即，解得，所以 得满足条件的最小值为. 故答案为：. ［方法二］：列举法＋二分法 与相比，B元素间隔大．因此利用列举法从中元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑． 1个：； 2个：； 3个：； 4个：； 5个：； 6个：． 发现当时，发生变号，以下用二分法查找： ，所以所求n应在22~29之间． ，所以所求n应在25~29之间． ，，不符合条件；，，符合条件． 因为，而， 故答案为：. 【整体点评】方法一：先由求和公式寻找不等式成立的充分条件，即当第项的值大于等于时，不等式成立，再寻找第项的值在与之间时是否也可以有满足题意的解，从而解出，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：根据两个集合的特征，一一列举集合中的元素，并研究集合中元素的和与的变化规律，从而找出可能满足不等式的解，再由二分法验证解出，该法计算较为麻烦． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【小问1详解】 在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. 【小问2详解】 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 16. 如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 17. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】（1） （2）(ⅰ) (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】（1） （2）（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【小问1详解】 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. 【小问2详解】 （i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论. 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【小问1详解】 ， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； 【小问3详解】 法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2026~2027学年第一学期 高三开学调研测验 数学试题 2026.08 （本试卷共4页，19题；全卷满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题纸上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题的作答：用0.5 mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 10 2. 已知平面向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 棱台上、下底面均为有一个内角为的菱形，上、下底面边长分别为和，体积为，则该棱台的高为（ ） A. B. C. D. 4. 把包括甲、乙、丙、丁等在内的8位员工分成1组、2组两个技术攻关组（每组4人），其中甲、乙不同组，丙、丁同组，则分组方案共有（ ） A. 24种 B. 16种 C. 12种 D. 10种 5. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若直线的方程为，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若将的图象沿轴的负方向平移个单位长度，所得图象与的图象关于轴对称，则满足条件的的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数 C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为2 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G是棱上的一个动点，M为侧面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点G到平面的距离为定值 B. 若，则的最小值为2 C. 若，且，则点G到直线的距离为 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 14. 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，，，． （1）求； （2）设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 16. 如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 18. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 19. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）当时，，求的取值范围； （3）当时，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $