山东济南市2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试题

绝密★启用并使用完毕前 2026一2027学年高中三年级摸底考试 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数z=i(3一i),则z的虚部为 A.1 B.3 C.-i D.3i 2.记Sn为等差数列(an)的前n项和，若a2=2,S4=10,则a3= A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知向量a=(1,2),b=(2,m),若a⊥b,则|a十b|= A.√10 B.√13 C.√17 D.5 4.已知min(m,n)表示m,n中的最小者，则函数f(x)=min(4-x2,x十2)的最大值为 A.0 B.1 C.3 D.4 5.以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围 成的几何体的体积为 A B.1 3π C.16π D.16√2π 6.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为圆x2一2x十y2一3=0的圆心，则C的标准方程为 A.z2=2y B.y2=2x C.z2=4y D.y2=4x 高三数学试题第1页（共4页） 7.已知正项等比数列(an}满足a2·a2n-2=4”(n≥2)，设bn=log,2,则数列(bn·bn+1)的前 2027项和为 A.2029 2027 C20 2027 B. 2028 D.2026 8.在直角△ABC中，AB=BC,P是△ABC内一点，PA=2PB=√2PC=4,则△ABC的面 积为 A.6 B.8 C.10 D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设m,n是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则 A.若m⊥a,m∥m,nCB,则a⊥3 B.若m⊥a,aB,nB,则m⊥n C.若a⊥B,a∩B=m,n⊥m,则n⊥β D.若m⊥a,a⊥B,m中β，则m∥g 10.2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到 关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 6 太极拳爱好者人数y(万人) 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立y关于x的线性回归方程y=bx+1.08,则 A.b=0.16 B.当x=5时，残差为0.02万人 C.预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 D.表中数据y的第80百分位数为1.7 11.已知函数f(x)=g+a(z-lnx),其导函数为f'(x),则 A.当a=-e时，f'(x)有且只有1个零点 B.若f(x)≥0，则a≥e C.若f(x)恰有2个零点x1,x2,则x1x2<1 D.若f(x)恰有3个极值点x1,x2,x3,则x1十x2十xg>3 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2-1,x≥2， 12.已知函数f(x)= 则f[f(-1)]=■ x2-2x,x<2, 13.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1,则平面ABC与平面ABC夹角的余弦值 为 14.已知数列(an}满足an+2·a-1”=3”,记Tn为(an)的前n项积，若T12≤36，则a1的最大 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=sin2x十√3cos2x (1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间； (2)若x∈[0，]，求f(x)的最值及相应x的取值 16.(本小题满分15分) 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施 投送任务.已知某救授队每架无人机投送生活物资的成功率为号，投送抢险设备的成功率为 各架无人机投送成功与否相互独立 3 (1)救授队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； (2)救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量X,求X 的分布列和数学期望E(X). 高三数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(x十1)lnx一a(x一1)，其导函数为f'(x). (1)当a=1时， (i)求曲线f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (i)若函数g(x)=f(x)一xf'(x),求g(x)的极值； (2)讨论f'(x)零点的个数. 18.(本小题满分17分) 包知椭圆E:多十1(@>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4，E上一点与 F1,F2所构成三角形的周长为4十2√2 (1)求E的方程； (2)设直线l:y=kx十m与E交于A,B两点，O为坐标原点， (i)若中心在原点且右焦点为(1,0)的等轴双曲线过点(m,k),求△OAB的面积； (i)若L过E的上顶点和F1,T为线段AB上一点，直线OT与E交于点M,且 M7=(1+2)Oi,求T的坐标 19.(本小题满分17分) 已知对于给定q∈N且q>l,正整数n可唯一表示为n=a。十a1q十…十akq(a:∈N且 0≤a,≤q一1，其中i=0,1,2,…,,ak≠0)，此表达式称为n的q进制表示.例如 2026=2+5×8十7×82+3×83，此表达式称为2026的八进制表示.对n的q进制表示。 (1)若=g,求n的最大值（结果用g表示）； (2)若a,(i=0,1,2,…,k)互不相同，且2a,=a1-1十a+1(i=1,2,…,k-1),求n的最大 值（结果用q表示）； (3)若q=8且2a,<a1-1十a+1(i=1,2,…,k一1)，n是否存在最大值，若存在，求出k的 值及对应数组(ao,a1,a2,,ak),若不存在，说明理由. 高三数学试题第4页（共4页）