精品解析：辽宁辽西部分重点高中2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

辽西部分重点高中2026~2027学年度上学期高二开学考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（ ） A. B. C. D. 2. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且，，点在边上，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 8. 在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 10. 正五角星是非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设O是正五边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 外接圆半径是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的部分图象如图，则_________． 13. 在中，的平分线交于点，若，，则________． 14. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. （1）已知复数满足，求与； （2）计算：． 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. （1）求以及（用表示）； （2）求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； （3）设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽西部分重点高中2026~2027学年度上学期高二开学考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一个扇形的周长为16，当扇形的面积取得最大值时，它的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为，根据题意，得到，利用扇形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，弧长为， 因为扇形的周长为，可得，即， 则扇形的面积为， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以. 2. 角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由角的终边过点，得. 3. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过整体代换法，令给定区间内产生的相位范围成为余弦函数基本单调递增区间的子集，联立求解不等式组得出的取值范围. 【详解】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 4. 已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，利用坐标将最小值的问题转化为二次函数闭区间的最小值问题即可求解 【详解】作中点，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立如图平面直角坐标系. 设，， 则， 所以 该二次函数对称轴为，此时有最小值. 5. 在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理得， 则，即， 所以，故. 由正弦定理得. 6. 已知是锐角三角形，角，，的对边分别为，，，且，，点在边上，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边角互化及三角恒等变换可得，再在与中，分别用正弦定理可得，根据中的正弦定理及三角函数性质可得取值范围. 【详解】在中，由正弦定理及可知， 又在中，， 则， 即， 又为锐角三角形，，，，，， 即，，即， 又在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 又，即，且， 可得，， 则，所以， 即， ， 又为锐角三角形，，即， 解得，则， 则. 7. 任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期可得的周期，即可计算求解. 【详解】，故， 由于的周期均为， 因此也是以3为周期， 由于， 因此. 8. 在长方体中，，，，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，在上取点，使，连结、、，可得平面平面，则可得线段，由此可知当与的中点重合时，线段长度取最小值，当与点或点重合时，线段长度取最大值或，然后根据题中的数据进行计算即可.． 【详解】解：取中点，在上取点，使， 连结、、，则平面平面， ∵是侧面四边形内一动点（含边界），平面， ∴线段，∴当与的中点重合时，线段长度取最小值， 当与点或点重合时，线段长度取最大值或， ∵在长方体中，，，， 点是棱的中点，点在棱上，且满足， ∴，，． 且长度在最值之间连续不间断， ∴线段长度的取值范围是． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）． A. 函数的最小正周期是 B. 函数的解析式为 C. 函数的单调递减区间是 D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项：由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，所以A正确； B选项：可知，因为，解得，可得， 函数图像过点，则，可得， 因为，所以，可得，所以B错误； C选项：函数单调递减区间为， 解得，所以C正确； D选项：函数的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确. 10. 正五角星是非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，设O是正五边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得，可判断A；由可判断B；由投影向量可判断C；延长与交于点，根据对称性知，由正五边形的性质可得，求解与的数量关系，再由可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，因为，故A错误； 对于B选项，，因为在正五边形中，， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，在正五边形中，，且交于的中点， 由投影向量的定义可知，在上的数量投影为， 故，故C正确； 对于D选项，延长与交于点， 根据对称性知，，由正五边形的性质可得， 正五边形的外角为，故，， 所以， 因为，所以，故D错误. 11. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 外接圆半径是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和二倍角公式计算判断A；根据余弦定理计算判断B；利用向量数量积的定义计算判断C，根据正弦定理计算判断D. 【详解】对于A，因，由可得，则， 所以，故A正确； 对于B ，，由余弦定理， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，， 即外接圆半径为，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的部分图象如图，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，可得，则，解得， 则解析式变为，将代入解析式， 得到，解得，则. 13. 在中，的平分线交于点，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线定理设出、，利用余弦定理求两边长度，进而可求求，结合求. 【详解】因为是的平分线，所以 设，，. 在中，由余弦定理得 所以化简得 在中，由余弦定理得 所以即解得 因此，即， 在中，由余弦定理得 因为，所以，从而 14. 如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用面面垂直的性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以 平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. （1）已知复数满足，求与； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【详解】（1）设， 由可得，即， ，解得， 故，． （2），，， 原式 ． 16. 已知函数（，，）的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用图象可求得，进而可求得，利用图象经过点，可求得，可求得解析式； （2）利用图象变换规律求得的解析式，再结合，可求得的最大值与最小值． 【小问1详解】 由最大值可确定，因为，所以， 所以，解得，此时， 又函数过点，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 若，则， 所以，所以， 所以的最大值为，最小值为. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角关系定理化简即得； （2）利用三角形面积求出的值，再由余弦定理求出的值，即得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，即， ∴上式化为，即 【小问2详解】 因为的面积为， 所以， 解得：， 由已知及余弦定理得，即， 将代入得：， 即，得， 则， 的周长为. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）取中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在点满足条件，且 【解析】 【分析】（1）取中点，利用面面垂直的性质定理得到平面推出，结合已知，通过线面垂直判定定理证得平面； （2）依据线面角定义，由平面确定的射影得到线面角，再在直角三角形中利用对边比斜边求出该角的正弦值； （3）先计算相关线段长推证平面，取中点，找到二面角的平面角，设，在中运用余弦定理建立方程求解，舍去超出范围的解得到的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 所以是直线与平面所成角， 因为，所以，又， 所以. 【小问3详解】 因为，，所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 取中点，连接，因为，所以，且， 因为，平面，所以平面， 假设线段上存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，且， 连接，由平面，可得， 所以就是二面角的平面角， 因为，为中点，，所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍）. 所以存在点满足条件，. 【点睛】 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的“完美向量”.已知在放射坐标系下，，. （1）求以及（用表示）； （2）求向量放射坐标；若时，直接写出两组“完美向量”的放射坐标； （3）设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 【答案】（1），. （2）放射坐标为，可取如下两个完美向量，其放射坐标为. （3），的最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据放射坐标的定义结合数量积可求以及； （2）根据放射坐标的定义结合平面向量的线性运算可求放射坐标，根据“完美向量”的定义结合特殊角的三角函数可求“完美向量”的坐标； （3）根据数量积结合二次函数的性质可求，再根据数量积求出，结合前者可求的最大值. 【小问1详解】 因为，故，，其中， 又，则， 则， 其中. 【小问2详解】 ，故. 设完美向量的坐标为，则， 故或，其中， 故或，其中， 同理，或，其中， 故可取如下两个完美向量，其放射坐标为. 【小问3详解】 因为对任意实数，恒成立， 故，故， 由（1）可得，， 同理， 故， 整理得对任意的恒成立， 所以， 故，故， 而，故. 又， ， 而，故，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $