精品解析：辽宁省辽阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期开学质量检测数学试题

2026—2027学年度上学期高二开学质量检测试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积坐标公式及运算律，即可得答案. 【详解】由题意， 所以，而， 所以． 2. 已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，所以， 所以. 3. 若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. π 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可. 【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为. 故选：A. 4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由得， 所以. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 5. 在中，“是锐角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】运用在△中，分别证明充分性与必要性是否成立即可. 【详解】①已知△是锐角三角形，求证：. 因为△是锐角三角形，所以C为锐角，从而，即，所以， 又因为A，B也是锐角，故有，即． ②在△中，已知，求证：△是锐角三角形. 因为在△中，，所以，即A，B为锐角， 又因为， 所以C为锐角，所以△是锐角三角形. 综述：在△中，“△是锐角三角形”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】在AB中，可得与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，由面面平行的判定定理得. 【详解】在A中，，，，则与β相交或平行，故A错误； 在B中，，，，则与β相交或平行，故B错误； 在C中，，，则， 且，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，，，，由面面平行的判定定理得，故D错误. 故选：C. 7. 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由棱长为的正四面体求出外接球的半径，进而求出正三棱锥的高及侧棱长，可得正三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥的表面积. 【详解】由题意，多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球， 由题意可知面交于，连接，则 且其外接球的直径为AE，易求正四面体ABCD的高为. 设外接球的半径为R，由得. 设正三棱锥的高为h，因为，所以. 因为底面的边长为a，所以， 则正三棱锥的三条侧棱两两垂直. 即正三棱锥的表面积， 故选：A. 【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球问题，通过求得半径求出四面体的边长是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题． 8. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用周期求，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出． 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 则是钝二面角的平面角，即，连接，则，    由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的最小正周期，所以， 由勾股定理得，解得． 二、多选题（本题共小题，每小题分，共分．每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影数量为1 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得、判断A、C，再由向量夹角运算、投影定义判断B、D. 【详解】由得：，即，所以；故A正确； 由得：，即，所以；故C正确； 设向量，的夹角为，则，所以，故B错误； 在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 10. 如图，在四面体 中，，，D，E，F 分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求得. 【详解】对于A中，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以平面，所以A正确； 对于B中，因为，且为的中点，可得， 又因为，且为的中点，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为，所以平面，所以B正确. 对于C中，由B项知：平面，因为平面， 所以平面平面，所以C正确； 对于D中，设直线，易得，可得，所以， 假设平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为与不一定垂直，所以平面与平面不一定垂直，所以D错误. 故选：ABC. 11. 如图所示，中，，，，在边上，在边上，且为的角平分线，，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 若点在的外接圆上，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦定理计算，由直角三角形计算判断A，根据面积公式计算三角形的面积判断B，利用正弦定理计算判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值判断D. 【详解】在三角形中，由余弦定理， ，故，故正确； 在中，，故错误； 由余弦定理可知：， ，平分，， ， 在三角形中，由正弦定理可得：， 故，故正确； ，， 为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1， 显然当取得最大值时，在弧上，故， 设，则，， ，，，， 其中，，当时，取得最大值， 故正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长平方计算求解. 【详解】复数，满足，，， 则，所以， 则，． 故答案为：. 13. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】,运用弧度之下的扇形面积公式，弧长公式求解即可. 【详解】因为勒洛三角形的周长为，所以每段圆弧长为，解得， 即正三角形的边长为1.由题意可得 . 故答案为：. 14. 如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】取线段的中点，逐步求证为二面角的平面角，为二面角的平面角，在中求解. 【详解】取线段的中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为，所以， 则是边长为的等边三角形，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中， 所以二面角的正切值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，、、分别为内角、、的对边，且． （1）求的大小； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值． 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 【小问2详解】 由，及 余弦定理知 ， 则，知，当且仅当时，等号成立， 所以，因此周长的最大值为. 16. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据伸缩与平移变换的知识得到； （2）利用正余弦函数对称轴为最值点所在直线求出对称轴； （3）运用正弦函数的和角公式，配合辅助角公式进行运算求解即可. 【小问1详解】 依题意可得. 【小问2详解】 令, 得,此即曲线的对称轴方程. 【小问3详解】 因为 , 所以的值域为. 17. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：，有，则， 直三棱柱中，平面，平面，， 平面，，平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）勾股定理证得，线面垂直的性质证得，得平面，所以平面平面； （2）连接，与相交于点，可证平面，直线与平面所成角为，求出，由，代入求值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，与相交于点，连接， ，侧面为正方形，则有 平面，平面，， 平面，，平面， 则直线与平面所成角为， ，则，，又，则， 则， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 18. 如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接交于，连接, 由于几何体为正棱三柱，， 所以为正方形， 所以为中点， 又因为为的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，易得，由线面平行的判定定理即可得证； （2）由（1）可知（或补角）是异面直线与所成角，求出三角形的三边长，利用余弦定理求解即可； （3）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以（或补角）是异面直线与所成角， 又因为， 所以，， 所以， 又， 所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 因为，， 又因为， 即， 所以， 即点到平面的距离为. 19. 如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． （1）证明：面； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； （3）在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）连接，因是等腰三角形底边上的中线，所以. 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点H，所以. 因为平面，平面，且与相交于点F， 所以平面. 因为平面，所以， 因点A在直线上的投影是点D，所以. 因为平面，平面，且与相交于点A， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，先证明平面，再证平面，从而可证平面. （2）先找出二面角的平面角，利用及线段关系可证明是等边三角形，即可求三棱锥的体积. （3）先找出满足条件的点T，且T为的中点，设线段中点为P，线段中点为Q，则是二面角的平面角，再利用已知条件计算出长度，在中，即可计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同（1），可证得平面，因为平面，所以. 由（1）的过程可知，平面，因为平面， 所以，. 所以是二面角的平面角，则. 在四边形中，，所以. 所以，解得. 因为平面，平面，所以，. 因为，所以. 所以，可得， 故，所以是等边三角形，其面积为. 所以三棱锥的体积为. 【小问3详解】 由（1）的过程可知平面，平面，所以， 所以，，是共斜边的三个直角三角形， 当T为的中点时，， 即满足条件的T点存在，T为的中点． 设线段中点为P，线段中点为Q，连接，，， 中，，因此， 过F作，与延长线交于K，因为，所以， 又因为（中位线），所以， 因此，是二面角的平面角， 设，， 则，，，，（中位线）， 由射影定理得，，则， 由（1）可知，，由勾股定理得，， 中，，，， 在中，由余弦定理得，， 代入化简得，， 二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期高二开学质量检测试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（ ） A. B. C. D. π 4. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 4 5. 在中，“是锐角三角形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对于直线，和平面，，能得出的一个条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共小题，每小题分，共分．每小题有多个选项符合要求，部分选对得部分分，错选不得分） 9. 若向量，满足，且，，则下列命题正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影数量为1 10. 如图，在四面体 中，，，D，E，F 分别是棱，，的中点，则下列结论中成立的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 如图所示，中，，，，在边上，在边上，且为的角平分线，，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 若点在的外接圆上，则的最大值为 第Ⅱ卷（主观题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，满足，，，则______． 13. 勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为__________. 14. 如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，、、分别为内角、、的对边，且． （1）求的大小； （2）若，求周长的最大值． 16. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求曲线的对称轴方程； （3）求函数的值域. 17. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 18. 如图，在正三棱柱中，已知，且为的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，三棱锥满足面，，点F为棱中点，点A在直线，，上的投影分别为D，E，H． （1）证明：面； （2）当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积； （3）在第（2）问的条件下，是否存在点T使得点T到A，B，D，H，F的距离均相等，若存在，求出二面角余弦值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $