辽宁省营口市部分普通高中2026-2027学年高二上学期入学学情检测数学试题

高二秋季人学学情检测 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 女注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的)】 1.点M(2,1,一2)关于平面Oxy对称的点的坐标为 A.（-2,1,-2) B.(-2,-1,-2) C.(2,-1,-2) D.(2,1,2) 2.设平面向量a=(1,1),b=(一2,2)，则(2a十b)·a= A.0 B.2 C.4 D.8 3.已知复数z为纯虚数，则下列选项中，一定为虚数的是 A.2 B.22 c号 D 4.已知平面a∥B,平面y与平面a,B分别相交于直线m,n.在平面y内，直线l与m,n分别相交， 且1与m所成的角为35°，则l与n所成的角为 A.35° B.45° C.55 D.65° 5.在空间直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,一5,1)， C(-3,7,一5)，则顶点D的坐标为 A.(1,-13,3) B.（-5,1,-7) C.(-1,13,-3) D.(5,-1,7) 6.舞台上有一个可折叠双三角反光板，由两块三角形板△ABC与△ABD沿公共边AB饺接而 成.已知两块板所在平面互相垂直，且AC=BC,AD=BD.设O为AB的中点，则下列直线中， 一定垂直于平面ABD的是 A.CD B.CO C.AO D.DO 7.矩形ABCD中，AB=3,其内部一点P满足3|AD|AP=|AD|2AB十3AD,若AD的长为整 数，则CP= A.-号A店-2A币B.-号A店-号A市 C.号A店-2A市 D.-AB+2Aò 高二数学第1页（共4页） 8.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,6,c若满足c0sA=号，b=5,a=L的△ABC恰有 两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为 A.(14,16) B.(19,21) C.（24,26) D.(29,31) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知空间中的一个四棱柱，则该几何体为平行六面体的充分不必要条件可以是 A.四个侧面均为矩形 B.所有的面均为矩形 C.底面为平行四边形 D.所有的面均为菱形 10.已知空间非零向量a=(1,m,0),b=（m,m2,0),c=（m,m2,m3),则 A.a,c可以相互垂直 B.a,b为平面xOy的共面向量 C.c一b是平面xOy的一个法向量 D.b,c不能作为其确定平面内的一组基底 11.已知函数f(x)= sinx十3cosx一，则 3-cos2x-√3sin2x A.曲线y=fx)关于点(，0)中心对称 B.f(x)在0，受]上单调递增 C.f(x)的最小正周期为π D.f(x)的值域为[一2,2] 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且ab=2 sin Asin B,则△ABC的外接圆直 径为 14.一位眼高（眼高为眼睛到地面的距离）为1.7m的同学希望测量水平地面上某圆台巨型建筑 的高度，记该圆台的上底面边缘离他最近的点为P.该同学眼睛在点A处时，测得AP的长度 为13m;随后他在地面上直线后退4m,此时眼睛到达点B处，测得BP的长度为15m.若直 线AB与点P在同一铅垂面内，则该圆台的高度为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2sin(wx+p)+2,√3cos(ωx十p)(u>0,lp<),f(0)=4。 (1)求p; (2)若函数(x)在区间(0，)上有且仅有3个零点，求m的取值范围. 高二数学第2页（共4页） 16.（本小题满分15分) 如图，平行六面体ABCD-AB1C,D1中，∠DAB=90°，∠A1AD=∠A1AB=60°，M、N分别 为棱AB、DC的中点，P为线段A1C上一点（包含端点），且满足A1P=λA1C (1)若M、N、P三点共线，求λ； N C (2)若A1C=1,求AA1长度的取值范围. 17.（本小题满分15分) 已知方程x2十x十a=0(a∈R)存在两个不等虚根1，z2,其在复平面中对应的点分别为 P,Q. (1)证明：P,Q的纵坐标互为相反数； (2)若点P,Q均在单位圆上，求实数a的值. 高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，AB=5,BC=3,∠ABC=120,点P,Q分别在线段AB与BC上，且BP=, BQ-号，将△PBQ绕点B旋转得到△MBN,其中点P,Q旋转后分别为点M,N. (1)求AC的长； (2)证明：旋转过程中，AM一CN2为定值； (3)求旋转过程中，|AM一CN|的最大值与最小值. 19.(本小题满分17分) 在三棱柱ABC-A1BC1中，点P,Q分别为线段BB1,CC1上不与端点重合的点，且PQ与 平面ABC不平行.设直线AP,AQ,PQ分别与平面A1B1C交于D,E,F三点. (1)证明：D,E,F均在一条直线1上； (2)若AA1⊥平面A,B,C1,且三棱柱ABC-A1B1C1的体积为四棱锥A一BPQC的体积的2 倍，求品+器的值： (3)若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，判断∠AFA,是否能为二面角A一l一A:的平 面角，并说明理由 高二数学第4页（共4页）高二秋季入学学情检测 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅡⅢWVM①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 单选题 5 点关于平面对称问题 易 0.95 2 单选题 平面向量数量积的计算 易 0.92 3 单选题 5 虚数与纯虚数的概念 易 0.87 4 单选题 线线夹角的求解 」 易 0.80 5 单选题 5 空间向量的坐标运算 易 0.75 6 单选题 5 空间中点线面位置关系综合 √W 中 0.65 7 单选题 平面向量的线性运算 中 0.55 8 单选题 解三角形综合 难 0.35 9 多选题 6 几何体概念的判断 易 0.85 10 多选题 6 空间向量综合 的 0.55 11 多选题 6 三角函数综合 难 0.25 12 填空题 5 球体表面积体积的计算 易 0.70 13 填空题 解三角形综合 √ 中 0.65 14 填空题 5 圆台的实际应用 难 0.35 15 解答题 13 三角函数综合 中 0.65 16 解答题 15 空间向量综合 中 0.55 17 解答题 15 复数综合 中 0.45 18 解答题 17 解三角形综合 难 0.25 19 解答题 17 立体几何综合 / 难 0.15 ·%1 参考答案及解析 ·高二数学· 参考答案及解析 高二数学 一、单选题 8.C 【解标】因为cosA=号A∈0，x,所以smA 1.D【解析】易得点M(2,1,一2)关于平面Oxy对称 的点的坐标为(2,1,2).故选D. 号，则6sinA=4,所以4<<5.由余弦定理得广=5 2.C【解析】2a十b=2(1,1)十(-2,2)=(0,4)，(2a+ b)·a=0×1十4X1=4.故选C. 十C-25c·子，即c2-6c+25-r=0,6-4(25 3.A【解析】设z=i,b∈R且b≠0，则=一bi为虚 )>0,设两根分别为c1,c2,则c1十c2=6,所以两个 数，2=一，三=-1，兰=-1均为实数.故选A 三角形的周长之和为(t十5十c1)十(t十5十c)=2t+ 16,因此24<2t+16<26,故取值范围为(24,26).故 4.A【解析】由a∥B,且平面Y分别与平面a,8交于直 选C. 线，n,得m∥n,在平面y内，直线l与两条平行直 二、多选题 线m,n所成的角相等，所以L与n所成的角为35°.故 9.BD【解析】平行六面体是底面为平行四边形的四棱 选A. 柱.四个侧面均为矩形只能说明该四棱柱为直四棱 5.C【解析】平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分 柱，底面不一定为平行四边形，故A不是充分条件； 别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(-3,7,-5),设顶 所有的面均为矩形时，底面一定为矩形，矩形是平行 点D的坐标为(x,y,),因为BA=CD,所以 四边形，所以该四棱柱一定为平行六面体，但平行六 (2,6,2)=(x十3，y-7,x十5)，所以x=-1,y= 面体的面不一定都是矩形，故B是充分不必要条件： 13,x=-3,所以D的坐标为(-1,13，-3).故选C. 底面为平行四边形是该四棱柱为平行六面体的充要 6.B【解析】因为AC=BC,O为AB的中点，所以CO 条件，故C不是充分不必要条件；所有的面均为菱形 是等腰△ABC底边AB上的中线，故CO⊥AB.又因 时，每个面都是平行四边形，所以该四棱柱一定为平 为平面ABC⊥平面ABD,且两平面的交线为AB,所 行六面体，但平行六面体的面不一定都是菱形，故D 以平面ABC内垂直于交线AB的直线CO垂直于平 是充分不必要条件，故选BD. 面ABD,即CO⊥平面ABD.故选B. 7.B【解析】设AD=x,则由3ADA户=AD:AB l0.BC【解析】由b=ma,且a,b均为非零向量，得m ≠0.因为a·c=m十m3=m(1十m2)≠0，所以a,c 十3A市，得A市=号A店+上A市，因为点P在矩形 不可能相互垂直，故A错误：向量a,b的第三个坐 ABCD内部，所以0<号<1,0<<1，解得1<r< 标均为0，所以二者均为平面xOy的共面向量，故B 正确；由c一b=(0,0,m),且m2≠0，得c一b是平面 3,又x为整数，所以x=2,故A市-号A访+号A市.又 xOy的一个法向量，故C正确；设b十c=0,比较 A心-A店+A心，所以C市=A-AC=-号A店 第三个坐标得m2=0,所以=0，进而入=0，故b,c 可以作为其确定平面内的一组基底，故D错误，故 号A泣故选B 选BC. ·高二数学· 参考答案及解析 11.AD【解析】令1=x+牙，则sinx十5cos 的水平距离为xm,则后退4m后眼睛到点P的水 平距离为(x十4)m,由题意得x2十(h-1.7)2= 2sin(x+号）=2sint,且cos2x+5sin2x 132,(x十4)2十(h-1.7)2=152,两式相减得(x十 4)2-x2=152-13,即8x+16=56,解得x=5,代 2cos(2x-号)，又2x-号=2(x+号）-元=21 入x2+(h-1.7)2=132,得25十(h-1.7)2=169,所 元，所以c0s(2x-号）=-cos21,从而3-cos2x 以(h一1.7)2=144，又圆台高度大于眼高，故h-1.7 =12,所以h=13.7.故答案为13.7m. V5sin2x=3-2cos(2x-晋）=3+2c0s21=3+2(1 四、解答题 sinD5-4sin,敌故f(0三2a设力 15.解：(1)由辅助角公式可得f(x)=4sin(ax十g十 sint,gw)=写，-1≤u≤1.取x=经士h,则i 2u 3 )· (3分) 2u =元士h,对应的u互为相反数，而g()=写一4为 而f(0)=4sin(9+号）=4， 奇函数，所以图象关于点(0)中心对称，故A正 由g<受可得g=吾 (5分) 确：r()=2,f(受)=十，且吾<受，所以f) (2)此时可得f(x)=4sin(ox+受）=4 w (7分) 在[0，受]上不单调递增，故B错误：（答+π） 记其最小正周期为T,结合图象可得T十T<≤ 4 2 一2≠f(),所以π不是周期，故C错误：任取-1 (10分) ≤4<42≤1，有g(w2）一g(u1)= 2(u一)(5十4)>0，所以g(）在[-1,1]上单 即·<受≤子·理可得（停号] (5-4)(5-4u) (12分) 调递增，值域为[g(-1),g(1)]=[-2,2],故D正 确.故选AD. 故。的取值范围为（号，子] (13分) 三、填空题 16.解：(1)设基向量a=AB,b=AD,c=AA 12.144π【解析】设球的半径为r,则r>0,由题意得 则A立=a,Ad=AA+AD+D衣 x=2·4r产，两边同除以4，得亏=2，解得r 4 =AA+A市+Ai=a+b+c, (2分) =6,球的表面积为4πr2=144π.故答案为144π. 因为AC=A,A+AC=-AA+AB+AD=a十b 13.√2【解析】设△ABC的外接圆直径为d,由正弦定 (3分) 理得A-Bd,所以a=dsin A,b=dsin B,. 所以AP=AA1+A1P=AA+AA1C 代入ab=2 sin Asin B,得dsin Asin B= =a十1b十(1-λ)c, (4分) 2 sin Asin B,又sinA>0,sinB>0,所以d=2,且d 因为M、N、P三点共线，设A产=tAM+十 (1-t)AN, >0,故d=√2.故答案为2， 14.13.7m【解析】设圆台的高度为hm,眼睛到点P 则Ai=名a+(1-4)(2a+b+c) ·%2 参考答案及解析 ·高二数学· a+(1-t)b+(1-t)c, 1 (6分) 所以AC=7. (4分) (2)设旋转角为0，令x=cos0.旋转保持线段长度 所以X=号A=1一1,1一=1-，得1=X= 1 不变， (7分) 所以BM=BP=号，BN=BQ-号 (2)因为A1C=a+b-c,且〈a,b)=90°，(a,c)= 由于点P在射线BA上，点Q在射线BC上，旋转时 〈b,c〉=60°，设a=a,b=b,c=c, 射线BP与BQ同时转过同一个角， 所以|A1C|2=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c 所以cos∠ABM=cos∠CBN=x. (7分) =a2++c2-ac-bc=1, (11分) 由余弦定理得AP=AB+BMP-2AB·BM·x= 得(a-分c)+(b-子c）+32=1, 5+(2）广-25·2r=193-15,CN=Bce+ Γ4 即(a-之c)‘+(b-号c）)=1-之≥0，(13分) BN-2BC·BN·x=3+(号)广-23·号x 故c2≤2，即0<c≤√2，所以AA1长度的取值范围为 61一15x. (0,w2]. 4 (15分) 17.解：(1)因为方程x2十x十a=0存在两个不等虚数 因此AM-Ce=(9-15x）-(-15x) 根，所以判别式△=1-4a<0,即a>.由求根公 12,所以旋转过程中，AM-CN2为定值12. (10分) 式得方程的两个虚数根为一+三；与 1 2 2 2 (3)由(2)得AM-CN2=12, MAa- 所以AM>CN,从而1AM-CN=AM-CN. (4分) 2 因为A-CN2=(AM-CN)(AM+CN), 因此点P,Q的纵坐标分别为 V4a-1 2 所以AM-CN=AMCN 12 (12分) 巨，或分别为-。巨与。 对任意旋转位置，线段AM的长度不小于AB-BM 2 2 2 所以P,Q的纵坐标互为相反数. (7分) =5-号-子不大于AB+BM=5+2-号 (2)若点P,Q均在单位圆上，则对应复数的模均为 线段CV的长度不小于BC-BN=3-号=号，不 1,即1=|x2=1. (9分) 由(1)可知，任一虚数根的模的平方为（一号）广°十 大于BC+BN=3+号号 所以AM十CN不小于4，且不大于12. (14分) (g）-a (12分) 当旋转角为0时，点M在线段BA上，点N在线段 所以12=x2|2=a,又1=x2=1,故a=1. BC上，此时AM=子，CN=号，所以AM+CN=4. (14分) 当旋转角为180时，点B在点A,M之间，且点B在 当a=1时，△=1一4=一3<0，方程确有两个不等虚 数根，所以实数a的值为1. (15分) 点C,N之间，此时AM=号，CN=号， 18,解：(1)由余弦定理得AC=AB十BC-2AB· 所以AM+CN=12. BCcos∠ABC=52+32-2·5·3cos120°=49， 因此AM十CN的最小值为4，最大值为12.(16分) ·%3· ·高二数学· 参考答案及解析 故AM-CN的最大值为3，最小值为1.(17分) (3)∠AFA1不能为二面角A一l一A1的平面角. 19,解：(1)设平面APQ为a,平面ABC为B, (12分) 因为AP,AQ,PQ均在平面a内，且D,E,F分别在 由(1)知D,E,F在直线L上，且D,E为l上两个不 平面B内， 同点，故l即直线DE. 所以D,E,F均为平面a与平面B的公共点.(2分) 在侧面ABBA1中，AB∥AD,BP∥AA1,且A,P, 又A∈a,AB,所以α与3是两个不同平面，两个不 D三点共线， 同平面有公共点时，公共点在它们的交线上，记该交 所以△APB-△DAA,故器咒器 线为l,故D,E,F均在直线l上 (5分) 因为点P不与B,B重合， 2设x=器y光AA:=BB=cG=:作 所以0<器<1.从面0<铝<1， BB AH⊥BC,垂足为H. 即点P在线段AD的内部. 由AA⊥平面ABC及平面ABC∥平面A1B1C, 同理，点Q在线段AE的内部， (13分) 得BB⊥平面ABC,CC⊥平面ABC, 若点F在线段DE的内部，则直线PQ与△ADE的 所以侧面BCCB⊥平面ABC,且交线为BC. 边界在点P,Q,F处有三个不同公共点，这与一条不 因为AH在平面ABC内，且AH⊥BC, 与三角形任一边重合的直线至多与三角形边界有两 所以AH⊥平面BCCB, 个公共点矛盾，所以点F不在线段DE的内部， 即AH为点A到平面BPQC的距离. (7分) 因为△ABC是以BC为斜边的直角三角形，所以 四边形BPQC是侧面BCC:B,内以BP,QC为两底 AB⊥AC, 的直角梯形，且BP=xh,CQ=yh, 又A1B1∥AB,A1C∥AC,D∈直线A1B1,E∈直线 故其面积S=号(BP+CQ)·BC AC,所以A1D⊥AE,故△ADE是以DE为斜边 =(x+)h·BC 的直角三角形，直角顶点A到斜边DE的垂足在线 段DE的内部. 设三棱柱体积为V1,四棱锥A一BPQC体积为V2, 由于点F不在线段DE的内部，所以点F不是点A 则V=BC·AH·h,V=号S·AH 到直线DE的垂足，即A1F不垂直于DE.(15分) =名(+)h·BC·AH 若∠AFA1是二面角A一I-A的平面角，则必须有 (9分) AF⊥l且A:F⊥l,但l即直线DE,而AF不垂直于 由题意V1=2V2, DE,矛盾. 所以号BC·AH·h=2·名(+h·BC·AH. 因此∠AFA不能为二面角A一一A1的平面角 (17分) 因为BC>0,AH>0,h>0,所以x+y=2, 即BB.TCCI2. (11分)