2026-2027学年九年级数学第一学期月考模拟试卷02【天津专用】

**基本信息** 天津专用九年级数学月考卷，聚焦二次函数、图形变换核心知识，融合5G用户、快递业务等时代情境，通过单循环赛方程建模、商场利润最值等问题，考查运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|中心对称图形、科学记数法、抛物线平移|结合奥运乒乓球赛制考查一元二次方程应用| |填空题|6/24|二次函数取值范围、网格旋转作图|设计中点连线计算，体现空间观念| |解答题|7/66|二次函数综合、旋转平移证明、利润最值|以商场促销为背景，构建“方程-函数-最值”完整解题链，发展应用意识|

2026-2027学年九年级数学第一学期月考模拟练习试卷02【天津专用】 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3.预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（　　） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 8.关于x的方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 9.如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为C，点的对应点为点D，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 10.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 12.二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共6小题） 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 14. 计算的结果等于____________． 15. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 16. 对于二次函数，当时，y的取值范围是________． 17. 如图，中，，，点D，E分别在边，上，且，连接，点M是的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上 （1）的大小为___________（度）； （2）在如图所示的网格中，P是边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于，把点P逆时针旋转，点P的对应点为，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于，，三点，顶点D的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求的面积． 21.如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D按逆时针方向旋转得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 22.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 23.抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 24.在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形，，，点，射线上有一个动点，线段上有一个动点，沿直线折叠，点对应点为，轴． （1）如图①，若点落轴上，求点的坐标； （2）设． ①如图②，折叠后的与重叠部分为四边形，和分别与轴交于，两点，试用含的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积，当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 25.如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； （3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2026-2027学年九年级数学第一学期月考模拟练习试卷02【天津专用】 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可解答． 【详解】解：A．它是中心对称图形，符合题意； B．它不是中心对称图形，不符合题意； C．它不是中心对称图形，不符合题意； D．它不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2.下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念逐项判断即可，化简后只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程． 本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解： 选项A，是一元二次方程，符合题意； 选项B，是二元二次方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，不符合题意； 选项D，，当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 3.预计到2025年，中国5G用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】460 000 000=4.6×108． 故选C． 4. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到， 再向下平移4个单位长度，得到的抛物线为， 故选：A． 5. 估计的值在（ ） A 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选C． 6. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 根据二次函数得到开口向下和对称轴，再根据距离对称轴远近进行判断即可． 【详解】解：在二次函数中 ∵，, ∴图象开口向上，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 距离对称轴有1个单位长度， 距离对称轴有3个单位长度， 根据距离对称轴越远，函数值越大可得：． 故选：C． 7.国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为，根据增长率的定义即可列出一元二次方程． 【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元 即2019年我国快递业务收入为亿元， ∴可列方程：， 故选C． 8.关于x的方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，令列不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题可知，， 解不等式得： 故选：D 9.如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为C，点的对应点为点D，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质． 根据平移和旋转的性质可得：，，，，由，，，即可判断B、C；由等腰三角形的性质及旋转的性质可得，即可判断D，由不能推出和平行，即可判断A． 【详解】解：根据平移和旋转的性质可得：，，，， ，，， ，，故B、C正确，不符合题意； ， ， ， 平分，故D正确，不符合题意； 不能推出和平行， A不一定成立，符合题意； 故选：A． 10.如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 11.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． .12.二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由可得时，，将整理为，进而判断方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵时，， ∴抛物线开口向上，即， ∴， ∴，①错误． ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大，②错误． 当时，， ∴③错误． 整理为， 当，时，，成立， 时，，成立， ∴的解是． ∴④正确． 故正确的为：④． 故选：B． 二、填空题（共6小题） 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0．得出m-1≠0，m2+1=2，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴m2+1=2且m-1≠0， 解得：m=-1． 故答案为：-1． 14. 计算的结果等于____________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据平方差公式求解即可． 【详解】解：原式 故答案为：7． 15. 二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴时，x的取值范围为：， 故答案为：． 16. 对于二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质. 根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 17. 如图，中，，，点D，E分别在边，上，且，连接，点M是的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作，连接，延长交于，连接，作于．根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得，根据平行线的性质可得，根据特殊角的三角函数可得，，根据三角形中位线的判定和性质可得． 【详解】解：如图，作，连接，延长交于，连接，作于 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴为的中位线 ∴， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，C均在格点上 （1）的大小为___________（度）； （2）在如图所示的网格中，P是边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于，把点P逆时针旋转，点P的对应点为，当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 ①. 90 ②. 见解析 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理逆定理求解即可； （2）取格点D，E，连接交于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求；当边绕点A逆时针旋转时，点B与点F重合，点F在射线上，找到点C到FG的垂足即为． 【详解】解：（1）由网格图可知 ， ， ， ∵， ∴由勾股定理逆定理，为直角三角形． ∴， 故答案为：90； （2）作图过程如下： 取格点D，E，连接交于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求 证明：连接， ∵为正方形网格对角线， ∴A、C、F共线， ∴， 由图形可知：，， ∵，， ∴, ∴， ∵， ∴当边绕点A逆时针旋转时，点B与点F重合，点F在射线上． 由作图可知T为中点， ∴， ∴， ∴， 此时，最短， 故答案为：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接交延长线于点G：取格点F，连接交延长线于点，则点即为所求． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的证明、图形的旋转、三角形相似和最短距离的证明，找到线段旋转后所在成为解答本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ∴，， 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， 则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴，， 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于，，三点，顶点D的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，三角形面积公式． （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，的坐标，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线对应的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得或． 点的坐标为，点的坐标为， 即， ∴． 21.如图，已知正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且，将绕点D按逆时针方向旋转得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】根据正方形得性质得，，由旋转的性质得，可证明点、、共线，即可利用证明，即可判定相等； 设，即可求得，，和，在中利用勾股定理即可． 小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 根据旋转的性质，可知：， ∴，，， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，有， ∴， 解得， 即． 22.某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）4800元；（2）60元；（3）售价326元时，总利润最大为10580元． 【解析】 【分析】（1）先求出每件的利润，再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． （2）求出关于利润的二次函数关系式，通过配方求得即可. 【详解】（1）由题意得60×(360－280)＝4800(元)． 即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品应降价x元,由题意得(360－x－280)(5x＋60)＝7200, 解得x1＝8，x2＝60．要更有利于减少库存,则x＝60． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元． （3）设总利润为W元， 则W=（360-x-280）（5x+60）=-5（ x-34）2+10580， 360-34=326， 则当降价34元， 即售价326元时，总利润最大为10580元． 23.抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 【答案】（1）减小 （2），3 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数图象即可作答； （2）根据图象可知抛物线交x轴于点、点，则问题即可得解； （3）结合二次函数图象即可作答； （4）将方程变形为：，根据图象可知，若，则原方程没有实数根，问题得解． 【小问1详解】 解：根据二次函数图象可知：时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：根据图象可知：抛物线交x轴于点、点， 则的根为：、， 故答案为：，3； 【小问3详解】 解：根据图象可知：时，y＜0，最小值为， 即y的取值范围为：； 【小问4详解】 解：将方程变形为：， 根据二次函数图象可知： 若，则原方程没有实数根， 即此时， 故答案为：． 24.在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形，，，点，射线上有一个动点，线段上有一个动点，沿直线折叠，点对应点为，轴． （1）如图①，若点落轴上，求点的坐标； （2）设． ①如图②，折叠后的与重叠部分为四边形，和分别与轴交于，两点，试用含的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②若与重叠部分的面积，当时，求的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到，，然后求出，进而得到，然后得到，求出，即可求出； （2）①首先由折叠性质得到，，然后得到，利用角直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理求解即可； ②首先证明出是等边三角形，然后结合①得到，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可得，，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①如图所示， 由折叠可得，，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 当点在轴上时，， ， 折叠后的与重叠部分为四边形， ， ； ② ，， ， ， ， ， 是等边三角形， 与重叠部分的面积， ， 当时，有最大值， ， 当时，有最小值， 综上所述，的取值范围是． 25.如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； （3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）3， （3），， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交CB于点H，过点C作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，将换算为，最后结合二次函数的图形性质即可得到△PBC面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点N的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【小问1详解】 解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点P作轴，交CB于点H，过点C作，垂足为E， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形AMPN为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E， 由题意得， ∵， ∴NF、AM、MF、NP构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形AMNP为平行四边形时，作NE垂直对称轴，垂足为E，过点P作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形ANMP为平行四边形时，作PF垂直对称轴，垂足为F，过点N作轴，垂足为E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 故符合条件的点N的坐标为：，，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $