精品解析：天津市西青区杨柳青第四中学2025-2026学年上学期九年级学情自测数学试卷

2025-2026学年上学期九年级第三次月考数学试卷 一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 瓜熟蒂落 C. 守株待兔 D. 旭日东升 2. 某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A. y＝－ (x＋1)2＋2 B. y＝－ (x＋1)2－2 C. y＝－ (x－1)2＋2 D. y＝－ (x－1)2－2 5. 如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. “文明丰都·幸福你我”，丰都正在积极创建全国文明城市．丰都宏运公司楼顶公益广告牌上“文明丰都”几个字是霓红灯，几个字一个接一个亮起来（亮后不熄灭）直至全部亮起来再循环，当路人一眼望去，能够看到几个字全在的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形内接于，连结，记的度数为，的度数为．若，，则有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ） A. B. C. D. 4 12. 如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在边长为的正方形健康码内随机投点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此估计黑色部分的总面积约为_____________． 14. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球只，红球只，黑球只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出只球，则取出黑球的概率是____． 15. 某兴趣班的同学在元旦节期间每个同学用手机给班级其他同学各发一条短信问候节日快乐．如果全班同学共发出短信90条，那么该兴趣班共有____人． 16. 如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 17. 如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径厮弧，交于点D，则的长为___________． 18. 如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点． （1）线段的长度等于______； （2）点P是内切圆与的切点，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的（不要求证明）．____________． 三．解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程 （1）（配方法或公式法） （2）（用因式分解法） 20. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）直接写出时，x的取值范围． 21. 如图，在中，，，，点D是以为直径的上一动点，且点D与点C位于直径的两侧，与交于点F，过点C作交的延长线于点E． （1）当时，求的长； （2）当经过圆心时，求的面积． 22. 【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 23. 甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元． 说明：①汽车数量为整数． ②月利润月租车费月维护费． ③两个公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润． 在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是___________元． （2）设两个公司租出的汽车数量都为辆． ①甲公司的月利润是___________元（用含的代数式表示）． ②求两公司月利润差的最大值． （3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出（）元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 24. 在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探究． （一）尝试探究 在中，，，点为的中点． （1）如图1，若点E，F分别为边，上的点，且，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若点在边上，点M，F分别在，的延长线上，且，求证：； （二）应用拓展 （3）如图3，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长 25. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点A， （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线于点D，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级第三次月考数学试卷 一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 瓜熟蒂落 C. 守株待兔 D. 旭日东升 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、水中捞月是不可能事件； B、瓜熟蒂落是必然事件； C、守株待兔是随机事件； D、旭日东升是必然事件； 故选：A． 2. 某校初中数学实践活动小组在假期开展了剪纸的实践活动，下列剪纸作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 3. 丹东市是中国最大的边境城市，拥有众多举世闻名的旅游景点．小明一家准备周末去丹东游玩，他们想在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中随机选择一个游玩，则选到“虎山长城”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式．根据概率公式可直接得出答案． 【详解】解：∵在“凤凰山”，“虎山长城”，“鸭绿江断桥”，“大孤山”这四个景点中任意选择一个游玩， ∴选到“虎山长城”的概率是， 故选：C． 4. 把抛物线y＝－x2向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A. y＝－ (x＋1)2＋2 B. y＝－ (x＋1)2－2 C. y＝－ (x－1)2＋2 D. y＝－ (x－1)2－2 【答案】B 【解析】 【分析】先得到抛物线y＝－x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式． 【详解】抛物线y＝－x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到对应点的坐标为（-1，-2），所以平移后抛物线解析式为y＝－ (x＋1)2－2． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 如图所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得电灯点亮的概率． 【详解】解：设打开用A表示，闭合用a表示，打开用B表示，闭合用b表示，打开用C表示，闭合用c表示， 树状图如下图所示， 由图可知，点灯点亮的可能性是aBc、abC、abc， 则电灯点亮的概率为， 故选：C． 6. 一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的底面周长、侧面展开图的扇形弧长，设圆锥底面半径为，则母线长为，根据圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合弧长公式求解圆心角. 【详解】解：设圆锥底面半径为，则母线长， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长. ∴， 将代入得：， 故选：B. 7. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，确定一元二次方程的系数是解题关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：． 8. 一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，需利用“对于一元二次方程（），两根之和为，两根之积为”这一性质求解. 【详解】解：∵一元二次方程中，，，. ∴，. 故选：C． 9. “文明丰都·幸福你我”，丰都正在积极创建全国文明城市．丰都宏运公司楼顶公益广告牌上“文明丰都”几个字是霓红灯，几个字一个接一个亮起来（亮后不熄灭）直至全部亮起来再循环，当路人一眼望去，能够看到几个字全在的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：共有4种等可能的情况，其中几个字全在的结果有1种， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 10. 如图，已知四边形内接于，连结，记的度数为，的度数为．若，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 先根据等腰三角形等边对等角以及三角形内角和定理得到，再由平行得到，最后由圆内接四边形对角互补得到，代入化简即可求解． 【详解】∴，的度数为， ∴， ∵ ∴． 由圆内接四边形性质可知，， ∴， 化简得， 故选：C． 11. 如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：，， ， 绕点C逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 在中，， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键． 12. 如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴分别于点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，称轴为直线， ∴时，有最大值，最大值， ∵， ∴， ∴，故③正确， 当是等腰直角三角形时，则 ， 设， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴抛物线的解析式为， 把代入得到，故④错误， 如图，连接交抛物线的对称轴于，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值， ∵，， ∴周长最小值为，故⑤错误． 故选：C． 二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在边长为的正方形健康码内随机投点，经过大量实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此估计黑色部分的总面积约为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率来估计概率，题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的总面积约为：． 14. 在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球只，红球只，黑球只，将袋中的球搅匀，随机从袋中取出只球，则取出黑球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．本题利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵白球只，红球只，黑球只， ∴口袋中共有球（只）， ∴随机从袋中取出只球，取出黑球的概率是， 故答案为：． 15. 某兴趣班的同学在元旦节期间每个同学用手机给班级其他同学各发一条短信问候节日快乐．如果全班同学共发出短信90条，那么该兴趣班共有____人． 【答案】10 【解析】 【分析】设该班级共有同学名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程，然后求解即可． 【详解】解：设该班级共有同学名， 根据题意，得：， 解之得： 故答案为：10． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 16. 如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从A、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积的最大值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数应用—动点问题，二次函数图象与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键． 根据题意得到，则，由三角形的面积公式可得，利用二次函数的性质即可求得的面积S的最大值． 【详解】解：根据题意有：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故S关于t的函数解析式为； ∵， ∵， ∴当时，的面积S有最大值． 故答案为：36． 17. 如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径厮弧，交于点D，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了弧长的计算，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质， 连接，先求出，再根据得，进而得，然后由弧长的公式即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示∶ 在中，，，， ， ∵点C为圆心，长为半径画弧，交于点D， ∴， ， ∴弧的长为：． 故答案为：． 18. 如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点． （1）线段的长度等于______； （2）点P是内切圆与的切点，请你借助给定的网格，用无刻度的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的（不要求证明）．____________． 【答案】 ①. ②. 取格点D，E,连接交于点P,则点P即为所求 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求得线段AB的长； （2）分别求出AC、BC的长，判定△ABC为直角三角形，再根据面积相等，可计算出△ABC内切圆的半径，进而可计算出AP：BP=2：3，取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）如图，在Rt△AFB中，AF=1，BF=7 由勾股定理得： 故答案为：． （2）由勾股定理可计算得：， ∵ ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90゜ 设△ABC内切圆的半径为r，则有 ∴ 设△ABC内切圆与AC的切点为G，则CG= 根据切线长定理，得AG=AP ∵AG=AC-CG=2 ∴ ∴ ∴ ∴取点A正下方两格的格点D，取B点正上方三格的格点E，连接交于点P，则点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质、切线长定理等知识，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题． 三．解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解方程 （1）（配方法或公式法） （2）（用因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方法1：按配方的方法，将方程化为的形式，当时，直接开平方，当时，原方程无实根；方法2： 可求，，，，由求根公式，进行求解即可． （2）将方程左边进行因式分解，化为的形式，即可求解． 【小问1详解】 解：方法1：， ， ， ，； 方法2： ，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， 或， ，． 【点睛】本题主要考查了用不同的方法解一元二次方程，掌握解法是解题的关键． 20. 已知抛物线过点． （1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标； （2）直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的性质、抛物线与x轴的交点等知识点，正确求出抛物线的解析式是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，然后将已知点代入求出解析式，然后再化成顶点式即可解答； （2）由抛物线与x轴的交点为，再结合抛物线开口向上，当时，对应图像是抛物线在x轴上方的部分即为x的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为,则： ，解得： ∴， ∴所求抛物线的函数解析式为， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由抛物线与x轴的交点为， 又∵抛物线， ∴开口向上， ∴当时，对应图象是抛物线在x轴上方的部分， ∴或． 21. 如图，在中，，，，点D是以为直径的上一动点，且点D与点C位于直径的两侧，与交于点F，过点C作交的延长线于点E． （1）当时，求的长； （2）当经过圆心时，求的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理计算，再根据垂径定理得到，然后利用面积法求出，从而得到的长； （2）根据圆周角定理，利用为直径得到，再利用勾股定理计算出，接着证明，则利用相似比求出，然后利用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵经过圆心，即为直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的面积． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质． 22. 【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【解析】 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 23. 甲、乙两个汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两位公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元． 说明：①汽车数量为整数． ②月利润月租车费月维护费． ③两个公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润． 在两个公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题： （1）当乙公司租出的汽车为10辆时，该公司的月利润是___________元． （2）设两个公司租出的汽车数量都为辆． ①甲公司的月利润是___________元（用含的代数式表示）． ②求两公司月利润差的最大值． （3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出（）元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，并且当两个公司租出的汽车均为16辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】（1）33150元 （2）①；②33150元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可直接列式进行求解即可； （2）①根据题意可列式；②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为，则，然后可分当甲公司的利润大于乙公司时，当乙公司的利润大于甲公司时，进而求解即可； （3）由（2）可知利润差为，则有对称轴为直线，然后根据“x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大”可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（元）； 故答案为33150； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 故答案为； ②设两个公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， 当甲公司的利润大于乙公司时， 解得：， ， 当时，利润差最大，为18050元； 当乙公司的利润大于甲公司时，， 即， ， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，利润差最大，为33150元； 综上：两个公司月利润差的最大值为33150元； 【小问3详解】 解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则由（2）可知利润差为， 对称轴为直线， ∵x只能取整数，且当两个公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ， 解得． 24. 在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探究． （一）尝试探究 在中，，，点为的中点． （1）如图1，若点E，F分别为边，上的点，且，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若点在边上，点M，F分别在，的延长线上，且，求证：； （二）应用拓展 （3）如图3，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长 【答案】 （1）连接 ∵， ∴ ∵，点D为的中点 ∴， ∴，    ∴ ∴                        ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴                          ∴； （2）证明：过点M作交的延长线于点N ∵，点D为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，           ∴                                           ∴    ∵ ∴ ∴ ∴ 和中 ∴ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，推导得，再结合全等三角形的性质，通过证明，即可完成求解； （2）根据等腰三角形和直角三角形的性质，推导得，根据勾股定理的性质计算得，结合全等三角形的性质，通过证明，得，通过计算即可完成证明； （3）根据四边形内角和、全等三角形的性质，推导得，；再根据等腰三角形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，延长到点，使，连接 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作，交于点 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 25. 如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点A， （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线于点D，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）矩形周长的最大值，点P的坐标为 （3）在抛物线上存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为，， 【解析】 【分析】（1）把点代入抛物线中，进行计算即可得； （2）由（1）得，抛物线的解析式为：，当时，得，将二次函数化为顶点式得，即可得抛物线的对称轴为，设直线的解析式为：，把点，代入，得 ，进行计算即可得直线的解析式为：，设，则，即可得，则，可得，即可得，根据矩形的周长为：，当取最大值时，矩形的周长有最大值，分情况讨论：①当点P在对称轴右侧时，，即可得，根据二次函数的性质得当时，矩形的周长有最大值，最大值为；②当点P在对称轴左侧时，，即可得，根据二次函数的性质得当时，矩形的周长有最大值，最大值为，综上，即可得； （3）根据点N在抛物线对称轴上得，①当为平行四边形的对角线时， 根据，，得，即可得，当时，， 即可得，②当为平行四边形的边时，若点M在对称轴左侧时，为对角线时，根据，，得，即可得，当时，，即可得，若点M在对称轴右侧时，为对角线时，根据，，得，解得，当时，， 即可得，综上，即可得． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴， ， ， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 设直线的解析式为：，把点，代入，得 ， 解得，， ∴直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的周长为：， ∴当取最大值时，矩形的周长有最大值， ①当点P在对称轴右侧时，， ∴， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； ②当点P在对称轴左侧时，， ∴， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； 综上，矩形周长的最大值，点P的坐标为； 【小问3详解】 解：∵点N在抛物线对称轴上， ∴， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，，， ∴， ， 当时，， ∴， ②当为平行四边形的边时，若点M在对称轴左侧时，为对角线时， ∵，，， ∴， ， 当时，， ∴， 若点M在对称轴右侧时，为对角线时， ∵，，， ∴， ， 当时，， ∴， 综上，在抛物线上存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法，矩形的性质，平行四边形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $