21.2.4 一元二次方程根的判别式（第1课时：根据判别式判断二次方程根的情况） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|根的判别式概念及基本计算|单选、填空聚焦判别式计算与根的情况判断，解答题强化推理意识| |B能力提升|判别式与一次函数、几何图形结合|跨知识综合题（如直线象限与方程根的关系），培养几何直观与推理能力| |C综合与实践|判别式的创新应用与新定义问题|“等根值”新定义探究，发展创新意识与模型意识|

21.2.4 一元二次方程根的判别式 （第1课时：根据判别式判断二次方程根的情况） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. 2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程整理为，，有实数根． B选项：方程整理为，，有实数根． C选项：，，没有实数根． D选项：，，有实数根． 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 6．判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　） A．无实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．存在一个k，使得方程只有一个实数根 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，当k=0时，据一元一次方程解答；或当k<1且时，根据一元二次方程根的判别式解题． 【详解】解：由题意得，当k=0时， 原方程化为-x+1=0, 解得x=1 即存在一个k=0，使得方程只有一个实数根； 当k<1且时， 方程一定有两个不相等的实数根， 综上可知，存在一个k=0，使得方程只有一个实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程无解． 二、填空题 7．一元二次方程的根的判别式的值是______． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程根的判别式，代入方程系数计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程中的，，． 则这个方程根的判别式的值是． 8．写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】根据一元二次方程根的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，构造满足条件的方程即可． 【详解】解：设一元二次方程为，当，，时， 即方程有两个相等的实数根． 三、解答题 9．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 【B能力提升】 1．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 2．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 3．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】由数轴可得，且，则，，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得：，且， ∴，， ∴， ∴这个方程的根的情况是有两个不相等的实数根． 4．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，进行判断即可； （2）根据方程都有实数根，得到，进而求出 b的取值范围即可. 【详解】解：（1）∵方程有一个根为， ∴， 整理，得； ∵， ∴，即； （2）由题意，， ∵对于任何实数a，此方程都有实数根， ∴对于任何实数a，都有，即， ∴对于任何实数a，都有， ∵， ∴b的取值范围是. 5．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 【C综合与实践】 1．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.4 一元二次方程根的判别式 （第1课时：根据判别式判断二次方程根的情况） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．关于x的一元二次方程的根的情况（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 3．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 6．判断关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0（k是常数，k＜1）的根的情况（　　） A．无实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．一定有两个不相等的实数根 D．存在一个k，使得方程只有一个实数根 二、填空题 7．一元二次方程的根的判别式的值是______． 8．写出一个关于x的一元二次方程，使它有两个相等的实数根：_______． 三、解答题 9．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【B能力提升】 1．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 2．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 3．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 4．已知关于x的方程，其中a、b为实数． (1)若此方程有一个根为，判断a与b的大小关系__________； (2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，b的取值范围为__________． 5．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【C综合与实践】 1．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $