21.2 5.一元二次方程的根与系数的关系&专题3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·华师版 (2)解：解方程(m-2)x2-(m+2)x+4=0, 解得元2=1 因为m为正整数，方程的两个根为不相等的正整数 所以m=3或m=4. 【能力提升练】 4 1.D2.C3.m≤3 4.5或6[解析]①当m、n为腰时，m=n,:m、n是关于x的 一元二次方程x2-8x+21-k=0的两个实数根，方程有 两个相等的实数根，.△=(-8)2-4×1×(21-k)=0,解 得k=5;②当m和3（或n和3）是腰时，m=3(或n=3),把 x=3代入方程，得9-24+21-k=0,解得k=6.综上可知， k=5或6. 5.1或2[解析]：直线y=-x+m不经过第一象限，.m≤ 0,分情况求解如下：①当m=0时，关于x的方程mx2+x+ 1=0是一元一次方程，只有一个实数根；②当m<0时，关 于x的方程m2+x+1=0是一元二次方程，且△=12-4m >0,有两个不相等的实数根.综上所述，关于x的方程 mx2+x+1=0的实数根的个数为1或2. 6.解：(1)根据题意，得4=(-4)2-4(3-a)>0, 解得a>-1. (2)由(1)知a>-1,所以a的最小整数值为0， 此时方程为x2-4x+3=0, 分解因式，得(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,2=3. 7.(1)证明：(x-1)(x-2k)+(k-1)=0, 整理，得x2-(2k+1)x+2+k=0. :a=1,b=-(2k+1),c=2+k, .4=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(2+k)=1>0, ∴.该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：.x2-(2k+1)x+k2+k=0, 六x=-b±y-4ae_26+1±1 2a 2 ∴，x1=k,x2=k+1. ①当x=k为对角线的长时，易知k2=(k+1)2+32, 解得k=-5(不符合题意，舍去)； ②当x=k+1为对角线时，易知(k+1)2=k2+32, 解得=4.综上所述，k的值为4. 8.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由： 把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0, ∴.a=b,∴.△ABC是等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形.理由： 根据题意，得△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, .b2+c2=a2. ∴.△ABC是直角三角形 (3),·△ABC是等边三角形， ∴.a=b=c. .方程化为x2+x=0, 解得1=0，x2=-1. ·10· 5.一元二次方程的根与系数的关系 【基础巩固练】 1.A2.D3.A 4.-2[解析]：方程x2-2x-5=0的两根分别为1、， .1+x2=2,x12=-5,.（名1+1)(2+1)=1x2+ x1+x2+1=-5+2+1=-2. 5.解：)-2.(2)2(3)6 6.D[解析]：方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a、 b,∴.a+b=7,ab=5,.y=5x+7,.该一次函数的图象经过 第一、第二、第三象限，不经过第四象限 7.29[解析]方程x2-5x-24=0中的两根分别为a、b, a+b=5,a2-5a-24=0,a2-5a=24,a2-4a+b= a2-5a+a+b=24+5=29. 8.-3[解析]：α、B是方程x2-2x+k=0的两个实数根， 4=（-2)2-4k≥0，解得k≤1.aB是方程x2-2x+k =0的两个实数根，a2-2a+k=0,a+B=2,a2-2a= -ka2-a+B=5,.2-2a+a+B=5,.-k+2=5, ∴.k=-3. 9.解：根据题意，得4=(2k+1)2-4(2-2)≥0， 解得≥是 x1+2=-(2k+1),x1x2=2-2, 而x克+x2=11, 六.(x1+2)2-2x12=11, 即(2k+1)2-2(k2-2)=11. 整理，得2+2k-3=0,解得k1=-3,k2=1. 又：≥-孕4=1. 【能力提升练】 1.C[解析]：(x-1)(x+2)=p2,.x2+x-2-p2=0, .b2-4ac=1+8+4p2=9+4p2>0,.方程有两个不相等 的实数根.·方程的两个根的积为-2-p2<0,∴.该方程有 一个正根，一个负根 2.A[解折]由题易知n≠0，m≠1，m≠将9r2+ 2026m+5=0支瑟，得5()+2026×+9=0 又：5m2+2026m+9=0,.m与为方程52+2026x+9 =0的两个解m·。=号中只=号 3.(-2,15) 4,解：x1、x2是方程(m-1)x2+2mx+2=0的两个根， +场名m 12 .号+经+1+购=2， +++幻=2，心2 即+22-24+1+=2， x12 2 点得2 m-1 整理，得m2-3m+2=0, 解得m1=2,m2=1(舍去)： a、b满足m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0, .易知ab为方程x2-4x+2=0的两根， ∴.a+b=4,ab=2, .a2+b2=(a+b)2-2ab=12=c2, .△ABC为直角三角形，且∠C=90° .Scb1. 5.解：(1)1-1 (2)实数a、b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b, “实数a、b是关于x的方程x2-5x+1=0的两个不相等的 实数根， ∴.a+b=5,ab=1, .a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×1=23. (3)当=0时，2-71+2=2≠0t≠0. f-7+2=0是-7+1-0 1,s以 又2s2-75+1=0, ∴8、是关于x的方程22-7x+1=0的两个不相等的实 数根， +片子… 7 t =2…t+1=21, +30+1(+1）+32 专题3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C 2.D[解析].直线y=x+a不经过第二象限，∴.a≤0.当a =0时，关于x的方程ax2+2x+1=0是一元一次方程，解 为x=-子；当a<0时，关千x的方程a2+2+1=0是- 元二次方程.4=22-4a>0,方程有两个不相等的实 数根。 3.解：(1)当AB=AD时，口ABCD是菱形， 即方程2-+受-子-0的两个实数根相等。 4=2-4(受-）0，解得m=1, 故当m=1时，☐ABCD是菱形. 1 此时方程为？-x+4=0, 解得1=2=2， 故此时该菱形的边长为子 参考答案及解析 (2)把=2代人方程公-+受-号=0，得4-2m+受 1 5 -4=0,解得m=2 “原方程为子-名+1=-0 整理，得2x2-5x+2=0, x3生22.g3有=2分 2×2 A0=分 口ABCD的周长是2x(2+之)-5. 4.10[解析]将x=a代入原方程，得2a2-6a-1=0, 2a2-6a=1.一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为 B,a+B=3,.2a2-3a+3B=(2a2-6a)+3(a+B) =1+3×3=10. 5.(1)解：把x1=-1代人方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,.m=±6， ∴.(x-1)(x-2)=6, 即x2-3x-4=0,.(x-4)(x+1)=0, x1=-1,2=4,.2=4,m=±6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2 =0. 4=9-4(2-m2)=4m2+1>0, “.方程有两个不相等的实数根。 .方程(x-1)(x-2)=m2, 即x2-3x+2-m2=0的两根为x1、2, x1+2=3,x12=2-m2, ·(名1-1)（为-1）=x12-(x1+x2)+1=2-m2-3+1 =-m2. m2≥0， .-m2≤0，即(1-1)(x2-1)≤0. 6.解：(1)当n=1时，方程为2x+4=0,有实数根； 当n≠1时，△=(2n)2-4(n-1)(n+3)=-8n+12≥0， 解得a≤子 综上，n的取值范围为n≤2 3 (2)不存在.理由如下： 由()可知，当n≤之且n1时，方程为一元二次方程且有 实数根 由根与系数的关系可得x1+2=-2肌 Γn-1’ 导 (名1-1)(2-1)=x13-(x1+)+1=10, 2+1=10,解得a-2,不行合条作， 不存在n的值使得方程有两个根1、2且满足(1- 1)(x2-1)=10. ·11.同步练测·九年级数学·上册·华师版 5.一元二次方程的根与系数的关系 《基础巩固练 [答案P10] 知限息@一元二次方程的根与系数的关系 知识点②一元二次方程的根与系数的关系的 1若方程3x2+7x-9=0的两个实数根分别为x1、 应用 x2,则x1+x2等于 6若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分 A-子B子 C.-3 D.3 别是a、b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定 不经过 () 2(湖北中考)一元二次方程x2-4x+3=0的两个 A.第一象限 B.第二象限 实数根为x1、x2,下列结论正确的是 C.第三象限 D.第四象限 A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 7(广安中考)已知方程x2-5x-24=0的两根分 C.x1x2=4 D.x1x2=3 别为a和b,则代数式a2-4a+b的值为 3已知实数x1、x2满足x1+x2=9,x1x2=20,则以 x1、x2为根的一元二次方程可能是 8(江苏南通期中)已知B是方程x2-2x+k=0 A.x2-9x+20=0B.x2+9x+20=0 的两个实数根，且a2-+B=5,则k的值为 C.x2+9x-20=0D.x2-9x-20=0 ④（眉山中考）已知方程x2-2x-5=0的两根分别为 9已知关于x的方程x2+(2k+1)x+2-2=0的 x1x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 两个实数根为x1、x2,且有x号+x号=11，求乃 5已知a、B是方程2x2+6x+3=0的两个实数根， 的值 求下列各式的值， 片+ (2)(a-2)(B-2); (3)a2+B2. 300 第21章 一元二次方程 《能力提升练 [答案P10] ①（重庆北碚区期末）关于x的方程(x-1)(x+ ⑤[核心素养]【阅读材料】已知实数m、n满足m2- 2)=p2(p为常数)的根的情况，下列结论正确 m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m、n是方程 的是 x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由根与系数 A.两个正根 的关系就可以知道m与n的和，m与n的积 B.两个负根 【材料理解】 C.一个正根，一个负根 (1)m+n= ,mn= D.无实数根 【类比应用】 2若mn≠1，且5m2+2026m+9=0,9m2+2026n+5 (2)已知实数a、b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1 =0,则m= =0,且a≠b,求a2+b2的值； ( 1n. 【思维拓展】 3 B.S (3)已知实数s、t满足2s2-7s+1=0,2-7t+2 C.-2026 D.-2026 =0,且81，求2子1的值 5 9 3若关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根分 别为x1=-5,x2=3,则点P(m,n)关于原点对 称的点的坐标是 4已知关于x的方程(m-1)x2+2mx+2=0的两 个根12满足多++名1+名，=2.当△ABC的 x1%2 三边a、b、c满足c=2,3,m2+a2m-8a=0,m2+ b2m-8b=0(a≠b)时，求m的值以及△ABC的 面积. 同步练测·九年级数学·上册·华师版 专题3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系[答案] 类型①)根的判别式与函数的综合应用 类型③根与系数的关系的运用 1函数y=x+b的图象如图所示，则关于x的一 4(泸州中考)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两 元二次方程kx2+bx-7b=0的根的情况是 根为aB,则2a2-3a+3B的值为 5(南充中考)设x1、x2是关于x的方程(x- A.没有实数根 1)(x-2)=m2的两根 B.有两个相等的实数根 (1)当x1=-1时，求x2及m的值； C.有两个不相等的实数根 (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. D.无法确定 1题图 2(广州中考)直线y=x+a不经过第二象限，则 关于x的方程ax2+2x+1=0实数根的个数是 A.0 B.1 C.2 D.1或2 类型⑧根的判别式与几何的综合应用 3已知口ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方 程-m+受-号=0的两个根 6关于x的方程(n-1)x2+2n+n+3=0. (1)当m为何值时，口ABCD是菱形？请求出此 (1)方程有实数根，求n的取值范围； 时该菱形的边长； (2)是否存在n的值使得方程有两个根x1、x2且 (2)若AB的长为2，则☐ABCD的周长是多少？ 满足(x1-1)(x2-1)=10?若存在，请求出 n的值；若不存在，请说明理由。 320