第二章 4 第1课时 一元二次方程的应用1-【益卷】2026-2027学年九年级上册数学课时作业（北师大版·新教材）

陕西权度教育研究院 4一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程的应用1 巩固训练 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=9cm,点P 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm,BC= 从点A出发，沿AB边向终点B以1cm/s的速度 移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以 6cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始运动（运 2cm/s的速度移动.若其中有一个动点先到达终 动方向如图所示)，点P的速度为1cm/s,点Q的 点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为ts. 速度为2cm/s,点Q运动到点C后停止，点P也随 当t(t≠0)为何值时，P,Q相距4cm? 之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2,则点P 运动的时间是() A.2s B.3s C.4s D.5s 2.若两个连续正偶数的积是224，则这两个数的和 是 5.如图，港口P位于东西方向的海岸线上，“远征” 3.如图，某海关缉私艇在点0处发现其正北方向 号、“和平”号轮船同时离开港口，各自沿固定方向 30 n mile的点A处有一艘可疑船只，测得它正以 航行，“远征”号沿东北方向行驶，“和平”号沿西北 60 n mile/h的速度向正东方向航行，随即调整方 方向行驶，“远征”号每小时航行16海里，“和平” 向，以75 n mile/,h的速度准备将其拦截.缉私艇需 号每小时航行12海里，它们离开港口一段时间后 分别位于点Q,R处，且相距30海里.求两船行驶 要多长时间能在点B处拦截住可疑船只？ 多长时间分别位于点Q,R处？ B N 远征 北 和平 +东 26 陕西权度教育研究院 6.如图，x轴表示一条东西方向的道路，y轴表示一 9.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别是BC, 条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为 点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度 由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度 由南向北前进.有一棵百年古树位于图中的P点 处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千 米.离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的 距离恰好相等？ (第9题图) (第10题图) 10.如图，A是一次函数y=2x-6图象上的一点（点A 小明 P 在第四象限)，点B,C分别在x轴、y轴上，且矩形 ·、A 西 小丽东 AB0C的面积等于4，则点A的坐标 为 11.如图，在菱形ABCD中，AC,BD交于点O,AC= 8cm,BD=6cm,动点M从点A出发，沿AC方向 以每秒2cm的速度运动到点C,动点N从点B 出发，沿BD方向以每秒1cm的速度运动到点 D,点M运动到终点后点N也随之停止运动.若 点M,V同时出发，则出发后几秒钟时，△MON的 面积为菱形ABCD面积的2 能力提升 7.对于三边的长是三个连续正整数的三角形，下列 说法错误的是() A.至少存在一个钝角三角形 B.至多存在一个直角三角形 C.至少存在一个锐角三角形 D.至多存在一个钝角三角形 8.如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦 图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形， 中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正 方形面积为1，则口ABCD的面积为 27(4)将方程化为4x2-5x-2=0. 这里a=4,b=-5,c=-2. 4=b2-4ac=(-5)2-4×4×(-2)=25+32=57>0, 所以方程有两个实数根， 设方程的两个实数根是x1,x2, 5 1 那么x1+2=4x12=2 7.2026 8.-1 9.解：(1)当m=3时，方程为x2-8x+14=0. 由根与系数的关系得x1+x2=8,x1x2=14. .∴.矩形的周长=2(x1+x2)=2×8=16,面积=x1x2=14. (2)由题可得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16≥ 0,解得m≥2. 由根与系数的关系，得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5. 菱形对角线互相垂直平分，边长为6， .由勾股定理得 =62, 即x+x2=36. .（x1+x2)2-2x1x2=36, 即4(m+1)2-2(m2+5)=36, 解得m1=3,m2=-7(舍去). 故m=3. 4一元二次方程的应用 第1课时一元二次方程的应用1 1.B2.30 3.解：设需要x小时能在B处拦截住可疑船只，则OB= 75x,AB=60x. 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得方程(75x)2=302 14 +(60x)2, 解这个方是，得5号女=子不合题意，合去) 2 答：缉私艇需要。小时能在B处拦截住可疑船只. 3 4.解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90° 根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, .'BP=AB-AP=(4-t)cm. 在Rt△BPQ中，根据勾股定理，得42=(4-t)2+4t2. 整理，得5t2-8t=0. 8 解这个方程，得1=0（不合题意，舍去），2=5 当：时，P,Q相距4m 5.解：根据题意，得∠2=45°，∠1=45° .∠1+∠2=90°. .△PQR为直角三角形 设航行时间为t小时，则PR=12t,PQ=16t. 在Rt△PQR中，根据勾股定理，得(16t)2+(12t)2 =302. 解得t=1.5(负值舍去，不符合题意). 所以两船行驶1.5小时后分别位于点Q,R处 6.解：设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距 离恰好相等 如图，分别过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别 为C,D 必 小明 p 西 、A 小丽 南 根据题意，得P(2,3),A(4x,0),B(0,5x), .PA2=AC2+PC2,PB2=PD2+BD2,PA=PB, .(2-4x)2+32=22+(3-5x)2. 14 解这个方程，得x1= 2=0(舍去). 14 答：经过。小时，两人与这棵古树的距离恰好相等。 7.A8.2 9.2-3 10.（1,-4)或(2，-2) 11.解：设出发后x秒时，△MOW的面积为菱形ABCD 面积的合 ,四边形ABCD是菱形， .A0=C0=4cm,B0=D0=3cm,S菱形BcD= -AC· BD=24 cm2. ·SAMON=-12克形cw=2cm2. ①当x<2时，点M在线段AO上，点N在线段 BO上. 根据题意，得宁(4-2)(3-)=2 解这个方程，得x1=1,x2=4(舍去). .∴.x=1. ②当2<x<3时，点M在线段OC上，点N在线段BO 上 根据题意，得2(2：-4)(3-)=2 整理，得x2-5x+8=0. 此时△<0，原方程无实数根 ③当3<x≤4时，点M在线段OC上，点N在线段 OD上 根据慰意，(2-4)(-3》=2 解这个方程，得x1=1(舍去)，x2=4. ∴.x=4 综上所述，出发后1s或4s时，△MON的面积为菱 形ABCD面积的12 第2课时一元二次方程的应用2 1.B2.10% 3.解：设这批椽的数量为x株 根据题意，得3(x-1)x=6210, 解这个方程，得x1=46,x2=-45(舍去). 答：这批椽的数量为46株. 4.解：(1)设每个月生产成本下降的百分率为x 根据题意，得600(1-x)2=486, 解这个方程，得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意， 舍去) 答：每个月生产成本下降的百分率为10%. (2)会跌破440万元.理由如下： 该公司9月份的生产成本为486(1-10%)=437.4 （万元)， .·437.4<440, 15