2.4 一元二次方程的应用【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从知识梳理到中考链接，覆盖一元二次方程应用全场景，梯度合理，兼顾基础巩固与核心素养（抽象能力、模型意识）培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心概念（步骤/模型/公式）|填空式前置铺垫，夯实认知| |基础达标|单一知识点（增长率/面积/利润）|对应具体考点，如矩形面积、销售利润基础题| |能力提升|综合知识应用|综合几何（小路平移）、利润大题，需检验合理性| |素养探究|复杂情境建模|动态几何+方案选择，培养数学建模与创新意识| |中考链接|中考真题演练|含选择/填空/解答，衔接阶段测评|

2.4 一元二次方程的应用【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】增长率、降低率基础应用题 2 【题型2】几何面积基础应用题 3 【题型3】数字问题与简单传播问题 4 【题型4】简单销售利润基础题 6 三.能力提升 7 【题型1】综合几何应用（小路平移、边框） 7 【题型2】销售利润中档大题 9 四.素养探究 11 【题型】动态几何+方案选择综合探究 11 五.中考链接 13 六.自我评价 16 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，掌握列一元二次方程解实际问题的步骤与常见模型。 1. 列一元二次方程解实际问题六步骤： ①审：审题，找出题目中的____________； ②设：设未知数，注意标注________，可直接设元或间接设元； ③列：根据等量关系列出一元二次方程； ④解：选用合适方法解一元二次方程； ⑤验：双重检验，既要检验根是否是方程的解，又要检验根是否____________，舍去不符合题意的根； ⑥答：完整写出答案，带上单位。 2. 平均增长率模型：设基数为，平均增长率为，经过两次增长后数量为，列方程：____________；平均降低率模型：____________。 3. 销售利润核心公式： 单件利润 = ________ − 进价； 总利润 = ________ × 销售数量。 4. 几何面积问题：常利用矩形、三角形面积公式或者________定理建立等量关系，注意线段长度必须为正数。 二.基础达标 【题型1】增长率、降低率基础应用题 核心考点：掌握两次变化增长率模型，正确列写方程，对根进行实际取舍 1.（25-26八年级下·广西贺州·期中）某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 2.（26-27九年级上·全国·单元复习）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 4.（25-26九年级上·宁夏固原·期中）某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． （1）求这两天收到捐款的平均增长率． （2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 【题型2】几何面积基础应用题 核心考点：矩形面积模型，小路、边框问题，根据面积条件列方程求解 1.（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 2.（2026·广东清远·二模）清晨，清远英德英西峰林薄雾缭绕、群峰叠翠，田园村落与溪流相映成趣，宛如一幅天然山水画卷．设计师为宣传英德文旅特色，准备给这幅英西峰林实景风景画四周安装宽度相等的空白画框（如图），制作成矩形装饰工艺品．该工艺品整体长，宽，中间英西峰林风景画的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为______．（只列方程） 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【题型3】数字问题与简单传播问题 核心考点：利用数字关系、传播规律建立一元二次方程，规范检验作答 1.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 2.（25-26九年级下·重庆·阶段检测）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（    ） A． B．1 C．1 D． 3.（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 4.（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． （1）在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【题型4】简单销售利润基础题 核心考点：掌握单件利润、总利润公式，基础销售情境列方程 1.（25-26九年级上·江苏扬州）《疯狂动物城2》于2025年11月26日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24元，当售价定为每个36元时，平均每天售出60个．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出10个． 根据以上信息，解决问题： （1）每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100个； （2）影院当天想获得650元利润，则每个玩偶应降价多少元． 2.（25-26八年级下·黑龙江）某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 4.（25-26八年级上·山东济南·期末）某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 三.能力提升 【题型1】综合几何应用（小路平移、边框） 1.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 2.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 4.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 核心考点：平移法处理小路面积，区分“含边框”“不含边框”，解后检验线段长度合理性 【题型2】销售利润中档大题 1.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 2.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 3.（2026·山西吕梁·二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 核心考点：完整利润大题，读懂涨价‑销量变化关系，求出解后检验是否符合题意限制条件 四.素养探究 【题型】动态几何+方案选择综合探究 1.（2026·湖北宜昌·中考真题）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善． （1）求n的值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； （3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值． 2.（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 3.（2025·福建漳州·模拟预测）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 4.（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 核心考点：动点几何，用时间表示线段，勾股定理或面积列方程；结合实际条件做方案取舍，培养数学建模素养 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    5．（2026·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 6．（2026·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是___________尺．    三、解答题 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 8．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 一元二次方程的应用【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】增长率、降低率基础应用题 2 【题型2】几何面积基础应用题 4 【题型3】数字问题与简单传播问题 7 【题型4】简单销售利润基础题 9 三.能力提升 13 【题型1】综合几何应用（小路平移、边框） 13 【题型2】销售利润中档大题 17 四.素养探究 21 【题型】动态几何+方案选择综合探究 21 五.中考链接 28 六.自我评价 28 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知，掌握列一元二次方程解实际问题的步骤与常见模型。 1. 列一元二次方程解实际问题六步骤： ①审：审题，找出题目中的____________； ②设：设未知数，注意标注________，可直接设元或间接设元； ③列：根据等量关系列出一元二次方程； ④解：选用合适方法解一元二次方程； ⑤验：双重检验，既要检验根是否是方程的解，又要检验根是否____________，舍去不符合题意的根； ⑥答：完整写出答案，带上单位。 2. 平均增长率模型：设基数为，平均增长率为，经过两次增长后数量为，列方程：____________；平均降低率模型：____________。 3. 销售利润核心公式： 单件利润 = ________ − 进价； 总利润 = ________ × 销售数量。 4. 几何面积问题：常利用矩形、三角形面积公式或者________定理建立等量关系，注意线段长度必须为正数。 【参考答案】 1. 等量关系；单位；符合实际意义 2. ； 3. 售价；单件利润 4. 勾股 二.基础达标 【题型1】增长率、降低率基础应用题 1.（25-26八年级下·广西贺州·期中）某小型公司通过优化生产、拓展市场，每月净利润稳步增长．已知该公司第1个月净利润为10万元，第3个月净利润为万元，且这两个月的净利润的月平均增长率相同．求该公司这两个月净利润的月平均增长率． 【答案】 【分析】设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x，根据第1个月和第3个月的净利润建立方程求解即可． 解：设该公司这两个月净利润的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该公司这两个月净利润的月平均增长率为． 2.（26-27九年级上·全国·单元复习）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均增长率的等量关系，列方程即可. 解：由题意，可列方程为. 3.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 4.（25-26九年级上·宁夏固原·期中）某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． （1）求这两天收到捐款的平均增长率． （2）按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 【答案】（1）；（2）1728元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． （1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 核心考点：掌握两次变化增长率模型，正确列写方程，对根进行实际取舍 【题型2】几何面积基础应用题 1.（25-26九年级上·山西临汾·阶段检测）一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【答案】的长是5米． 【分析】设的长为米，则，根据面积列方程求解． 解：设的长为米，， 根据题意得， 整理得，， 解得， ∴的长是5米． 2.（2026·广东清远·二模）清晨，清远英德英西峰林薄雾缭绕、群峰叠翠，田园村落与溪流相映成趣，宛如一幅天然山水画卷．设计师为宣传英德文旅特色，准备给这幅英西峰林实景风景画四周安装宽度相等的空白画框（如图），制作成矩形装饰工艺品．该工艺品整体长，宽，中间英西峰林风景画的面积为．设空白画框的宽度为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由题意可得方程为． 3.（25-26九年级上·四川宜宾·期末）某校积极实施劳动教育课程，建设校园农场．如图，该矩形农场长米，宽米，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为米．设道路的宽为米，则可列方程为______．（只列方程） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得试验田为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程即可． 解：由题意得，， 故答案为：． 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 【答案】可以，米 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 核心考点：矩形面积模型，小路、边框问题，根据面积条件列方程求解 【题型3】数字问题与简单传播问题 1.（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 2.（25-26九年级下·重庆·阶段检测）春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（    ） A． B．1 C．1 D． 【答案】C 【分析】设主干长出x支支干，则每根支干又会分出支小分支，再根据主干、支干、小分支的数量总和为21列方程即可． 解：设主干长出x支支干，则小分支一共有支， 由题意得． 3.（25-26九年级上·陕西西安·期末）一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 4.（25-26九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感染了该病毒，经过两轮传播后，共有25人感染． （1）在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？ 【答案】（1）每轮感染中平均一人传染4人；（2）三轮后共有125人被感染 【分析】（1）设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据经过两轮传播后，共有25人感染，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． （1）解：设每轮平均传染给人，刚开始1人，第一轮传染给人，第二轮传染给人，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：每轮感染中平均一人传染4人． （2）解：人 答：三轮后共有125人被感染． 核心考点：利用数字关系、传播规律建立一元二次方程，规范检验作答 【题型4】简单销售利润基础题 1.（25-26九年级上·江苏扬州·期末）《疯狂动物城2》于2025年11月26日上映．某影院抓住商机，购买了一批卡通玩偶，每个成本为24元，当售价定为每个36元时，平均每天售出60个．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出10个． 根据以上信息，解决问题： （1）每个玩偶降价______元时，影院每天销量可达到100个； （2）影院当天想获得650元利润，则每个玩偶应降价多少元． 【答案】（1）4；（2）7元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据“每降1元出售，平均每天多售出10个．”即可求解； （2）设每个玩偶应降价x元，根据题意，列出方程，即可求解． （1）解：元， 即每个玩偶降价4元时，影院每天销量可达到100个； 故答案为：4 （2）解：设每个玩偶应降价x元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：每个玩偶应降价7元． 2.（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用总利润每件利润销售量的关系，分别确定每件利润和销售量，即可列出方程． 解：每件元的商品，售价为每件元， 每件商品的利润为元， 又每天销售量为件，每天的利润为元， 可列方程为． 3.（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可知，销售量为个，每个商品的利润为元，再根据总利润等于每个商品的利润乘以销售量可列出方程． 解：由题意得， 故答案为：． 4.（25-26八年级上·山东济南·期末）某社区超市销售一款薯片，每袋进价5元．当每袋售价为15元时，平均每天能卖出20袋．超市计划降价促销以增加销量，调研发现：每袋价格每降低2元，每天销量会增加8袋． （1）若超市想让利给消费者，且每天销售该薯片的利润达到200元时，每袋薯片应降价多少元？ （2）该超市每天能否通过降低价格实现300元的利润？若能，求出每袋的降价金额；若不能，请说明理由． 【答案】（1）每袋薯片降价5元；（2）不能实现300元的利润． 设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， ， ∴方程无实数解， ∴不能实现300元的利润． 【分析】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设降价为元，根据题意，列出方程，即可求解． （1）解：设降价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵让利给消费者， ， 答：每袋薯片降价5元； （2）略 核心考点：掌握单件利润、总利润公式，基础销售情境列方程 三.能力提升 【题型1】综合几何应用（小路平移、边框） 1.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】（1）草莓产量的年平均增长率为；（2） 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． （1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 2.（2026·内蒙古通辽·模拟预测）小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为，所以可列关于x的方程． 解：设剪去的正方形边长为，由题意，得． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 4.（25-26八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售草莓．果园每月的承包费为2万元．    （1）解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是，求道路宽度x的值． （2）解决果园种植的预期利润问题（总利润销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）；（2）每平方米草莓平均利润下调元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （1）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 核心考点：平移法处理小路面积，区分“含边框”“不含边框”，解后检验线段长度合理性 【题型2】销售利润中档大题 1.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； （2）若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； （3）经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】（1）1600；；（2）每个A商品的售价为37元；（3）解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． （1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元（），每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 2.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 【答案】A 【分析】设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，根据总利润每件商品的利润销售量建立方程求解即可． 解：设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天的销售量为件，即件， 依题意得， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴每件商品降价10元． 3.（2026·山西吕梁·二模）太谷饼是山西晋中极具代表性的传统糕点，是“山西八大名点”之一，以香、酥、绵、软的独特口感闻名，距今已有近年历史，更是国家地理标志保护产品．某经销部门看中其市场潜力，以每盒元的价格从太谷本地厂家购进一批礼盒装太谷饼；据市场分析，若按每盒元销售，一天能售出盒，销售单价每上涨元，日销售量就减少盒．要使日销售利润为元，销售单价应定为多少元？设销售单价为，可列方程：___________． 【答案】 【分析】把日销售量、每盒的利润用含的代数式表示出来，再根据销售利润销量每盒的利润列方程即可． 解：设销售单价为元，则销售单价上涨了元， 日销售量就减少盒，每盒的利润为元， 根据销售利润销量每盒的利润， 可得：． 4.（26-27九年级上·全国·课后作业）凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序做成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色．某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件．该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】根据月销售利润达到6000元列出一元二次方程并解方程，再根据题意即可得到答案． 解：根据题意得：， 解得，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 核心考点：完整利润大题，读懂涨价‑销量变化关系，求出解后检验是否符合题意限制条件 四.素养探究 【题型】动态几何+方案选择综合探究 1.（2026·湖北宜昌·中考真题）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善． （1）求n的值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； （3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值． 【答案】（1）；（2）60家；（3） 【分析】本题考查了一元二次方程和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案； （2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案； （3）利用n的值即可得出关于Q和a的方程组，即可求出答案． （1）解：由题意可得：， 解得：； （2）解：由题意可得：， 解得： （舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）， （3）解：第一年用乙方案治理降低了， 根据题意得：， 解得： 2.（25-26九年级上·内蒙古锡林郭勒·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 3.（2025·福建漳州·模拟预测）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程：求出值即可判断正误；③列出二次函数解析式 ，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式 ，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 解：图①，设边长为，则边长为， 当时， ， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为 ∴， 整理得： 解得： 或， ∴或， ∵时， ， 满足，故②正确； 设矩形菜园的面积为 根据题意得：， ， ∴当时， 有最大值，最大值为，故③正确； 如图②，设则弧长， ， ， ∴当时， 有最大值，最大值为， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积. 故④不正确. ∴正确结论是②③. 故答案为： ②③． 4.（25-26九年级上·山西吕梁·阶段检测）综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 【答案】（1）解：当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）；（3）或 【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解； （2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可； （3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可． 解：（1）略 （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 核心考点：动点几何，用时间表示线段，勾股定理或面积列方程；结合实际条件做方案取舍，培养数学建模素养 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 2．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 3．（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 二、填空题 4．（2026·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 5．（2026·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 6．（2026·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是___________尺．    【答案】8，6，10 【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可． 解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， ∴（尺），（尺）， 即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺， 故答案为：8，6，10． 【点拨】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键． 三、解答题 7．（2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】（1）三边长分别为；（2）三边长分别为 【分析】此题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可； （2）设矩形围栏的面积为．根据矩形围栏的面积列出二次函数解析式，并根据二次函数的性质进行解答即可． （1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 8．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 ；（2）应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． （1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $