第一章 4 第2课时 正方形的判定&问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形-【益卷】2026-2027学年九年级上册数学课时作业（北师大版·新教材）

陕西权度教育研究院 第2课时 基础过关 知识点1正方形的判定 1.在四边形ABCD中，AC,BD相交于O,下列条件 中，能判定这个四边形是正方形的是( ) A.A0=B0=C0=D0,AC⊥BD B.AB∥CD,AC=BD C.ADBC,∠A=∠C D.AO CO,BO CO,AB BC 2.如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正 方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD;②AC= BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是 (只需填一种组合即可) 3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,点E,F在对角线BD上，且BE=DF,OE=OA.求 证：四边形AECF是正方形 4.如图，已知正方形ABCD,P是对角线AC上任意 点，过点P作PM⊥AD于点M,PN⊥AB于点N. (1)求证：四边形PMAN是正方形； 12 正方形的判定 (2)若E是AM上一点，且∠EPA=15°，求∠MEP 的度数 知识点2中点四边形 5.顺次连接正方形各边中点所得的四边形一定 是() A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.等腰梯形 6.某学校计划将一块草坪改造成花坛.如图，在矩形 草坪ABCD中，AB=20m,AD=10m,E,F,G,H分 别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接各中点得 到四边形EFGH,将其用篱笆围起来作为花坛，则 四边形花坛EFGH的周长为 m. 能力提升 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,为了使 四边形BECF是正方形.可以添加的条件 是() A.CE=CF B.DE=DF C.∠A=45 D.E为AB的中点 8.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，进 行如下操作：第一次顺次连接菱形ABCD各边的中 点，得到四边形A1B1C1D1;第二次顺次连接四边形 A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2. 如此反复操作下去，则第n次操作后，得到的四边 形A BC D的面积是(） D 2 B.3 C.3 D③ 22n 9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点 O,E为OC的中点，过点C作CF∥BD交BE的延 长线于F,连接DF (1)求证：△FCE≌△BOE; (2)若AD=CD,当△ADC满足什么条件时，四边形 OCFD为正方形？请说明理由. 陕西权度教育研究院 10.（1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 ①，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥ CE于点F,GD⊥DF,AG⊥DG,AG=CF,试猜 想四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问 题：如图②，在正方形ABCD中，E是边AB上 一点，DF⊥CE于点F,AH⊥CE于点H,GD⊥ DF,交AH于点G,可以用等式表示线段FH, AH,CF的数量关系，请你思考并解答这个 问题 G D E E F B 图① 图② 13 陕西权度教育研究院 ☆问题解决活动：作内嵌 巩固训练 1.如图，将正方形剪去四个角后得到边长为2cm的 正八边形，则正方形的边长为 cm 2.如图是某种装饰瓷砖的图案，其中八边形EFGHM- NPQ的四个顶点分别在正方形ABCD的各边上， 四边形FHNQ的四个顶点是正八边形的四个顶 点.经测量可知，AE:EB=3:5,则四边形FHNQ与 正方形ABCD的面积之比为 B G 3.阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细 阅读，并完成相应的任务。 作矩形的最大内接菱形的方法 顶，点在矩形边上的菱形叫作矩形的内接菱形 在实践活动课上，数学老师提出来一个问题：如 何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱 形？实践小组成员经过思考后，分别给了3种不 同的方法 方法一：通过折，如图①，将矩形纸片横对折后 再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角 形，展开后就是菱形EHGF,则四边形EHGF是 矩形ABCD的内接菱形； 方法二：通过叠，如图②，取两个大小一样的矩 形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形 成四边形AECF,则四边形AECF也是矩形AB- CD的内接菱形. 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线 AC的垂直平分线EF,与AD边交于点E,与BC 边交于点F,连接AF,CE,则四边形AECF是矩 形ABCD的内接菱形. 实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析， 讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接 菱形 14 于正方形的正八边形 任务： (1)如图①，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面 积之比为 (2)请用尺规作图法，在图③中完成日记中的“方 法三”的作图过程；（保留作图痕迹，不写作 法) (3)若在矩形ABCD中，AB=3,BC=9,请你根据日 记中的三种方法，通过计算求出此矩形的内接 菱形的面积最大值， 图① 图② 图③..∠PAE=∠PAB=20°，AE=AB. :四边形ABCD是正方形， ..AE=AB=AD,∠BAD=90° .∠AED=∠ADE,∠EAD=∠DAB+∠BAP+∠PAE =130. ∴.∠ADF=25°. (3)如图②，连接AE,BF,BD. 由轴对称和正方形的性质，得EF=BF,AE=AB =AD. ∴.∠AEB=∠ABE,∠AED=∠ADE,∠FEB=∠FBE. ∴.∠ABF=∠AEF=∠ADF. ∠BAD=90°， ∴.∠ABF+∠FBD+∠ADB=90°. ∴.∠ADF+∠ADB+∠FBD=90. ∴.∠BFD=90° .BF2+FD2=BD2. 在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=2AB2, ..EF2+FD2=2AB2. 第2课时正方形的判定 1.A2.①②（或①③） 3.证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD .BE=DF, .∴.OE=OF ∴.四边形AECF是菱形 .0E=0A=OF, ∴.OE=OF=OA=OC,即EF=AC. 6 .菱形AECF是正方形. 4.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD. .∠BAC=∠DAC=45°，即AC平分∠BAD. PM⊥AD,PN⊥AB, ∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90. .四边形PMAW是正方形. (2)解：.∠MAP=45°，∠EPA=15°， .∴.∠MEP=∠EAP+∠EPA=45°+15°=60° 5.C6.20√5 7.C8.B 9.(1)证明：CF∥BD, .∠CFE=∠OBE,∠ECF=∠EOB. E为OC的中点， ∴.CE=OE. .△FCE≌△BOE(AAS). (2)解：当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形OCFD 为正方形，理由如下： :△FCE≌△BOE, .CF=OB. ·四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD. ∴.CF=OD. CF∥BD, .四边形OCFD为平行四边形. AD=CD,OA=OC, .OD⊥AC. .∴.∠C0D=90°. ∴.平行四边形OCFD为矩形. ∠ADC=90°， .OC=CD. ∴.四边形OCFD为正方形 10.解：(1)四边形ABCD是正方形.理由如下： ,GD⊥DF,DF⊥CE,AG⊥DG, .∠G=∠FDG=∠DFC=90°. 四边形ABCD是矩形， .∴.∠ADC=90° .∠FDG-∠ADF=∠ADC-∠ADF, 即∠ADG=∠CDF .AG=CF, .·.△ADG≌△CDF(AAS). .AD=CD. ∴.矩形ABCD是正方形 (2).DF⊥CE,AH⊥CE,GD⊥DF, .∴.∠DFC=∠DFH=∠H=∠GDF=90°. .四边形DGHF是矩形. .∴.∠G=90°=∠DFC. 同(1)理可得∠ADG=∠CDF. 四边形ABCD是正方形， .AD=CD. .△ADG≌△CDF(AAS). .DG=DF,AG=CF. .四边形DGHF是正方形. .HG=HF, .FH=HG=AH+AG=AH+CF. ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 1.(2+22) 2.17:32 3解：(11：2支) (2)如图③，四边形AECF即为所求 图③ (3)方法一：在矩形ABCD中，AB=3,BC=9, .S矩形BCD=AB·BC=3×9=27, 由(1)可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积 之比为1：2， 、.菱形EHCF的面积为 27 方法二：设菱形AECF的边长为x,即AF=CF=x, BC=9, ..BF=9-x. 在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2+BF2=AF2, 即32+(9-x)2=x2, 解得x=5. .菱形AECF的边长为5. .菱形AECF的面积为CF·AB=5×3=15, 方法三：由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为5， .菱形AECF的面积为15. .此矩形的内接菱形的面积最大值为15. 7