1.4正方形的性质与判定第2课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定定理及中点四边形判断，通过折叠长方形纸剪正方形的情境引入，回顾正方形定义与性质，搭建从定义到判定定理的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以情境探究培养数学眼光（几何直观），通过判定定理证明发展数学思维（推理能力），用表格归纳中点四边形规律体现数学语言（模型意识）。采用问题驱动和分层练习，助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 第2课时 学 习 目 标 1.掌握正方形的判定定理，并解决相关问题;（重点） 2.熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断;（难点） 3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用. 知识回顾 1.正方形的定义： 有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形. 邻边 2.正方形的性质： （1）正方形的四个角都是 ； （2）正方形的四条边 ； （3）正方形的对角线 ，互相 ，且每条对角线 . 垂直平分 直角 相等 直角 平行 相等 3.正方形的对称性： 正方形即是 图形，也是 图形，它有 条对称轴. 平分一组对角 中心对称 轴对称 4 情境引入 问题：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样才能剪出一个正方形? 提示：只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形. 你能说出你的理由吗？如何判定一个四边形是正方形呢？ 新知探究 探究一：正方形的判定 类比平行四边形、矩形和菱形,正方形的定义也是判定正方形的一种方法. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°， ∴四边形ABCD是正方形. 几何语言： 定义法： A B C D ∟ 新知探究 有一组邻边相等的矩形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形. 请证明你的结论，并与同伴进行交流. 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？ 新知探究 如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC. 求证:四边形ABCD是正方形. 1.求证：有一组邻边相等的矩形是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形. ∵AB=BC, ∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 新知探究 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AC平分BD. ∵AC⊥BD, ∴AC垂直平分BD, ∴AB=AD. ∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形). 如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 2.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形. 新知探究 如图,已知四边形ABCD是菱形,∠A=90°. 求证:四边形ABCD是正方形. 3.求证：有一个角是直角的菱形是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC. ∵∠A=90°, ∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义). 新知探究 如图,已知菱形ABCD的对角线为AC,BD,AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 4.求证：对角线相等的菱形是正方形. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=BC,AD∥BC. ∵AB=BA,BD=AC, ∴△ABD≌△BAC, ∴∠DAB=∠CBA. ∵AD∥BC, ∴∠DAB+∠CBA=180°, ∴∠DAB=∠CBA=90°, ∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 新知探究 知识归纳 正方形的判定定理： 定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 新知探究 知识归纳 定理3：有一个角是直角的菱形是正方形. 定理4：对角线相等的菱形是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. A B C D O 正方形的判定定理： 新知探究 2.如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB=AD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　　　.(填序号)  1.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：    　　 　　　　,可使它成为正方形.  ② AB=AD(答案不唯一) (1)如图所示，四边形ABCD是正方形，连接它各边的中点，可以得到一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想.如果四边形ABCD是矩形呢？ 新知探究 探究二：中点四边形 ①依次连接正方形各边的中点得到的是正方形。 证明方法提示：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD。​利用三角形的中位线定理证明.方法不唯一. A1 B1 D1 C1 新知探究 证明：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD，交于点 O。​ 在△ABC 中，∵ A1、B1 分别是 AB、BC 的中点， ∴ A1B1 ∥AC，且 A1B1 =AC.​ 同理，在△ADC 中，C1D1 ∥AC，且C1D1 =AC； ∴ A1B1 ∥C1D1，A1B1=C1D1， ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD，且 AC⊥BD.​ 在△ABD中，∵ A1、D1 分别是 AB、AD 的中点， ∴ A1D1 ∥BD，且 A1D1 =BD.​ ∴ A1B1=A1D1 ，A1B1⊥A1D1. ∴四边形A1B1C1D1是正方形.（正方形的定义） O ②如图，四边形ABCD是矩形，依次连接各边中点所得四边形是菱形。证明如下： 新知探究 已知:在矩形 ABCD中,点A1,B1,C1,D1分别为 AB, BC, CD, DA 边的中点,如图所示。 求证:四边形 A1B1C1D1是菱形。 证明: 如图所示,连接 AC, BD. ∵点A1,B1,C1,D1分别为AB,BC,CD,DA边的中点， ∴A1B1=C1D1=AC,A1D1=B1C1=BD(三角形的中位线等于第三边的一半). 又∵在矩形 ABCD中,AC=BD， A1B1=B1C1=C1D1=D1A1, ∴四边形 A1B1C1D1是菱形(四边相等的四边形是菱形 )。 新知探究 (答案不唯一)以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形. (2)类比上述两个问题，你还能提出什么问题?你能解决它们吗?与同伴进行交流。 已知:在菱形 ABCD中,点A1,B1,C1,D1分别为 AB, BC, CD, DA 边的中点,如图所示。 求证:四边形 A1B1C1D1是矩形。 证明:如图所示，连接AC, BD交于点O. ∵点A1,B1,C1,D1分别为AB,BC,CD,DA边的中点， ∴A1B1=C1D1，A1B1∥C1D1, ∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。 ∵A1B1∥AC，A1D1∥BD，AC⊥BD， ∴A1B1⊥A1D1，即∠B1A1D1=90°. ∴A1B1C1D1是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 新知探究 以四边形各边的中点为顶点的新四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关。 ①若原四边形的两条对角线相等,则以四边形各边中点为顶点的新四边形为菱形; ②若原四边形的两条对角线互相垂直,则以四边形各边中点为顶点的新四边形为矩形; ③若原四边形的两条对角线既相等又互相垂直,则以四边形各边中点为顶点的新四边形为正方形。 (3)在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律?请说明理由。 新知探究 知识归纳 中点四边形: 决定中点四边形的形状的是原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 原四边形对角线关系 不相等、不垂直 相等 垂直 相等且垂直 所得中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 新知探究 3.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( ) AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC C 新知探究 答案不唯一，类比学习，从边、角、对角线等方面探究，特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质。 经验：在探究问题的过程中获得对证明思路方法的总结。 回顾平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的探究过程，你有哪些感悟?积累了哪些经验?与同伴进行交流。 典例分析 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 例1 证明:∵BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. 又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB, ∴∠EBC=∠ABC=45°,∠ECB=∠DCB=45°. ∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC. ∴▱BECF是菱形(菱形的定义). 在△EBC中, ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°. ∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 典例分析 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠ADE=90°, ∴∠ABF+∠AFB=90°. ∵AE⊥BF, ∴∠DAE+∠AFB=90°, ∴∠ABF=∠DAE. 已知：如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,AE⊥BF,且AE=BF. 求证:矩形ABCD是正方形. 例2 在△ABF和△DAE中, ∵∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°,BF=AE, ∴△ABF≌△DAE(AAS), ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 巩固练习 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　A　）. A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 A 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF 巩固练习 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A．选①②   B．选②③   C．选①③   D．选②④ B D 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件　 　时，四边形DECF是正方形． (要求:①不再添加任何辅助线,②只需填一个符合要求的条件) 巩固练习 AC=BC 6.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形． AC=BD或AB⊥BC 7.已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形． 巩固练习 证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠DEB=∠DFB=90°， 又∵∠ABC=90°， ∴四边形BEDF为矩形， ∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF， ∴矩形BEDF为正方形． 8.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 巩固练习 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ∵ ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45°， ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形． 有一组邻边相等的矩形是正方形.对角线互相垂直的矩形是正方形. 课堂小结 正方形的性质与判定-第2课时 正方形的判定方法:定义法 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 正方形的判定定理 中点四边形 决定中点四边形的形状的是原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。 作业布置 1.必做题：习题1.4第3，5题。 2.探究性作业：习题1.4第9，10题。 感谢聆听! $