1.4 正方形的性质与判定 分层作业 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 练习以“分层递进+素养导向”为特色，通过前置梳理、基础应用、能力拓展、素养探究及中考衔接五级设计，构建从概念到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心概念填空|前置预习夯实认知| |基础达标|单一性质与判定应用|题型分类对应基础考点| |能力提升|综合计算与证明|结合几何直观深化推理| |素养探究|动态问题与图形变换|融入动点最值培养创新意识| |中考链接|中考真题综合应用|对接中考提升应试能力|

1.4 正方形的性质与判定【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】正方形的性质——边、角、对角线 2 【题型2】正方形中的全等三角形 3 【题型3】正方形的判定 4 【题型4】正方形性质与判定综合 5 三.能力提升 7 【题型1】正方形中的角度与线段计算 7 【题型2】正方形的判定与证明 8 四.素养探究 10 【题型1】正方形中的动点与最值问题 10 【题型2】正方形与折叠、旋转综合 12 五.中考链接 14 六.自我评价 17 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）正方形的四个角都是_______，四条边都_______；正方形的对角线_______且互相________。 （2）正方形既是______，又是_______，因此它具有_______和________的所有性质。 （3）正方形的判定方法：①有一组邻边_______的矩形是正方形；②对角线互相______的矩形是正方形；③有一个角是_______的菱形是正方形；④对角线_______的菱形是正方形。 （4）正方形是轴对称图形，有________条对称轴；正方形绕它的中心至少旋转________°后能与原图形重合。 （5）在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则OA=OB=OC=OD=___AC，且AC___BD，AC与BD的夹角为________°。 二.基础达标 【题型1】正方形的性质——边、角、对角线 1.（25-26七年级下·河北张家口·期末）在正方形中，，， （1）________，________； （2）证明：为直角三角形． 2.（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在y轴正半轴上，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在等腰直角三角形中，，，以为边作正方形，则正方形的面积为______． 4.（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 【题型2】正方形中的全等三角形 1.（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 2.（25-26七年级下·广东河源·期末）为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·天津河东·二模）如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为___．    4.（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【题型3】正方形的判定 1.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 2.（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·全国·课后作业）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是________． 4.（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，点、分别为、的中点，连接，将绕点旋转得到．试判断四边形的形状，并证明． 【题型4】正方形性质与判定综合 1.（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． （1）求证：四边形是矩形； （2）当四边形是正方形时，求的长． 2.（2026·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江·模拟预测）如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为___________． 4.（2026·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 三.能力提升 【题型1】正方形中的角度与线段计算 1.（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图①，在正方形中，点P为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图②，过P点作，交射线于点E．求证：； 2.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形中，对角线与相交于点，为边上一点，，为的中点，若的周长为，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 4.（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，的角平分线交于点，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，且，求四边形的面积． 【题型2】正方形的判定与证明 1.（26-27八年级下·全国·课后作业）已知：如图，分别延长正方形的边，，，到点E，F，G，H，使，连接，，，，得到四边形． 求证：四边形是正方形． 2.（25-26八年级下·重庆北碚·阶段检测）如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 4.（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，在矩形中，点，分别在，上．连接，，，，连接．已知． （1）求证：． （2）求的度数． 四.素养探究 【题型1】正方形中的动点与最值问题 1.（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度向终点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求的值． （2）当____________时，四边形是矩形． （3）若，且点的运动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则点的运动速度是____________． （4）在点，运动过程中，四边形能否成为菱形，若能，请求出值；若不能，请说明理由． 2.（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 3.（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是边长为的等腰直角三角形，分别是上的点，，则的最小值为______． 4.（24-25八年级下·江苏镇江·阶段检测）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且． （1）四边形如图1所示，四边形是______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；____（填“”或“”）； （2）四边形如图2所示，且，四边形是_____（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． 【题型2】正方形与折叠、旋转综合 1.（25-26八年级下·广西南宁·期中）综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； （1）请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； （2）小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 2.（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为．则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 4.（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图1，点E为正方形内一点，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度，点B、E的对应点分别为点． （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 2．（2026·四川泸州·中考真题）的对角线，相交于点．下列结论中一定成立的是（     ） A． B． C．， D．， 3．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 4．（2026·江苏无锡·中考真题）已知正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则______． 5．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 6．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 三、解答题 7．（2026·贵州·中考真题）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 8．（2026·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 9．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． （1）求的长； （2）求证：四边形是黄金矩形； （3）如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $1.4正方形的性质与判定【分层作业】 2026一2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 二基础达标。 2 【题型1】正方形的性质—边、角、对角线 2 【题型2】正方形中的全等三角形 .5 【题型3】正方形的判定 10 【题型4】正方形性质与判定综合… .13 三.能力提升… .20 【题型1】正方形中的角度与线段计算 20 【题型2】正方形的判定与证明. ,26 四.素养探究 33 【题型1】正方形中的动点与最值问题 33 【题型2】正方形与折叠、旋转综合 43 五.中考链接 .53 六.自我评价。 .66 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： (1)正方形的四个角都是 四条边都 正方形的对角线 且互相 (2)正方形既是 又是 因此它具有 和 的所有性质。 (3)正方形的判定方法：①有一组邻边 的矩形是正方形；②对角线互相 的 矩形是正方形；③有一个角是 的菱形是正方形：④对角线 的菱形是正方 形。 (4)正方形是轴对称图形，有 条对称轴：正方形绕它的中心至少旋转 后能与原图形重合。 (5)在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则OA=OB=OC=OD=AC,且 ACBD,AC与BD的夹角为 0。 【参考答案】 (1)直角：相等：相等；垂直平分。 (2)菱形；矩形；菱形；矩形。 (3)相等：垂直；直角；相等。 (4)4:90。 1 (5)2;⊥；90。 二基础达标 【题型1】正方形的性质一边、角、对角线 1.(25-26七年级下河北张家口期末)在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1 B (1)BE2= EF2= (2)证明：△BEF为直角三角形. 【答案】(1)20：5：(2)证明：CF=CD-DF=4-1=3,BC=4,∠C=90° .BF2=BC2+CF2=25, BE2=20,EF2=5 :.BF2=EF2+BE2, ∴△BEF是直角三角形. 【分析】(1)对Rt△ABE,Rt△DEF运用勾股定理求解即可； (2)先对Rt△BCF运用勾股定理求解BF2,再对△BEF运用勾股定理逆定理求解. 解：(1)四边形ABCD是正方形， ∴.∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=CD=BC=4 AE=2, .BE2=AB2+AE2=20.DE AD-AE=2 DF=1, .EF2=DE2+DF2=5: (2)略 2.(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点A,C的坐标分别是-2,0)，(2,0)，点B在y轴正半轴上，则点D的坐 标为() B D A.(0,-2) B.（-22,0 C.(22,0 D.(0,2) 【答案】A 【分析】根据正方形的性质解决问题即可， 解：正方形ABCD中，OA=OB=OC=OD, A,C的坐标分别为(-2,0)，(2,0)， ∴OA=OC=2, 0D=2, 六点D的坐标是 0,-2) 3.(25-26八年级下·云南曲靖期末)在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， AC=BC=2,以AB为边作正方形ABDE,则正方形ABDE的面积为一 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出正方形边长AB的平方，根据正方形面积等于边长的平方，即可得 出结果 解：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=2, ∴由勾股定理得AB=AC2+BC2=2+2=8, :正方形ABDE的边长为AB,正方形面积等于边长的平方， ABDE AB2=8 正方形 的面积为 4.(25-26八年级下·陕西延安期中)如图，四边形ABCD,AECF分别是菱形与正 方形，连接AC,若LBAE=25°，求∠ABC的度数. B 【答案】40° 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解. 解：连接AC,如图所示： B ,四边形ABCD,AECF分别是菱形与正方形，且AC为对角线， .∠EAC=∠FAC,∠BAC=∠DAC. ∠DAF=∠BAE=25, ∴.∠BAD=∠EAF+∠BAE+∠DAF=140° ,四边形ABCD是菱形， :AD∥BC, ∴.∠B=180°-∠BAD=40° 【题型2】正方形中的全等三角形 1.(25-26九年级上陕西汉中·阶段检测)如图，在矩形ABCD中，菱形EFGH的三 个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上，AH=DG.求证：四边形 EFGH为正方形， G E B 【答案】证明：四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形， ∠D=∠A=90°，HG=HE 在Rt△AHE和Rt△DGH中， EH =HG AH=DG ∴.RtAAHE≌RtADGH(HL), .∠DHG=∠HEA, ∠AHE+LHEA=90°， .∠AHE+∠DHG=90°， .∠EHG=90°」 ∴四边形EFGH为正方形. 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的 关键. 根据题意利用菱形的性质以及全等三角形的判定先证得'，Rt△AHE≌Rt△DGH,进而证得四边 形EFGH为正方形. 解：略 2.(25-26七年级下·广东河源期末)为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均 为lcm的正方形按如图所示的方式摆放，A,4分别是正方形对角线的交点，则重 叠部分的面积和为() A A.zcm 1 B.1cm2 cm2 C.4 D.2cm2 【答案】A 【分析】利用正方形的性质和ASA证明重叠处两个小三角形全等，实现面积等量代换，可推 1 得单个重叠区域面积为正方形面积的4，两处重叠面积总和就是边长为]的正方形面积的2： 解：如图 :∠BAD+∠DAC=90°∠DAC+∠CAE=90° .∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE AD=AE ∠BDA=∠CEA=45° ∴△BA,D≌aCAE(ASA). ∴SB4D=Sc4E, 1x1=1cm2 1 ·重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即2 3.(2026·天津河东·二模)如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且 G是AB的中点，连接AE,若AB=V5,则AE的长为一· B 【答案】V8 2 【分析】四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=V5,如图所 示，过点E作EH⊥AD于H,交BC于O,AE与BC交于点P,可证△BCG≌△OEC(SAS) ,△EQP≌△ABP(SAS),根据勾股定理即可求解. 解：：四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=V5, BG=AG=)AB=x5=5 2 21 2 5 在 中，CG=VGB2+BC2 RtABCG 2 +5矿3 如图所示，过点E作EH⊥AD于H,交BC于Q,AE与BC交于点P, B :四边形CEFG为正方形， ∴.CE=CG, :∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， .∠1=∠3， 在△BCG,△QEC中， ∠1=∠3 ∠E0C=∠B=90°， CE=CG :.△BCG≌△QEC(SAS), E0=aC-5,0-G8-5,即o为C中点， 同理，可证△EQP≌△ABP(SAS)), 0-n-0-9-9 EP-AP-TAE 在RteABP中， AP=AB+BP -5+4) 5 5V85 =16 4 .'AE=2AP=2x- 85V85 4 2 √85 故答案为： 【点拨】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理是解题的关键。 4.(25-26八年级下·福建福州期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AB, AD上的点，连接DE,CF,若I=∠2，求证：AE=DF, E 2 【答案】证明：~四边形ABCD是正方形， ∴.∠EAD=∠FDC=90°，AD=DC, 在△EAD和△FDC中， ∠1=∠2 AD=DC ∠EAD=∠FDC AEAD≌△FDC(ASA), :AE=DF. 【分析】利用四边形性质得出∠EAD=∠FDC=9O°，AD=DC,结合题目条件通过ASA证明 △EAD≌aFDC,从而AE=DF. 解：略。 【题型3】正方形的判定 1.(25-26九年级上陕西西安阶段检测)如图，已知菱形ABCD的对角线交于点 O,E,F是对角线AC所在直线上的两点，且∠BEC=45°，AE=CF,连接 BE,ED,DF,BF,得四边形BEDF.求证：四边形BEDF是正方形. B 【答案】证明：，菱形ABCD, OB=OD,OA=OC,AC⊥BD, .AE=CF, ∴.OA+AE=OC+CF,即OE=OF, ∴.四边形BEDF为平行四边形形， 又EF⊥BD, ∴.四边形BEDF为菱形， .∠DEF=∠BEC=45°， .∠BED=90°， ∴.四边形BEDF为正方形 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题 的关键.根据菱形的性质，得到OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,线段的和差得到OE=OF,进 而得到四边形BEDF为菱形，得到∠BEF=∠DEF=45°，进而得到∠BED=90°，即可得出结 论. 解：略 2.(25-26八年级下·甘肃张掖期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于 点O,添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是(). A.AO=AD B.AC⊥BD C.∠AOB=60 D.OC=CD 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键. 有一组邻边相等的矩形是正方形： 对角线互相垂直的矩形是正方形. 解：在矩形ABCD中， 当AO=AD时不能判定四边形ABCD是正方形，故A不符合题意； 当AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，故B符合题意： 当∠AOB=60°时不能判定四边形ABCD是正方形，故C不符合题意： 当OC=CD时不能判定四边形4BCD是正方形，枚D不符合题意. 3.(25-26八年级下·全国课后作业)将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰 好落BC上的点F处，折痕为BE,将纸片沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形， 其用到的正方形判定方法是 F 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到∠A=∠ABF=∠BFE=90°， AB=BF即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 解：由折叠得∠A=∠ABF=∠BFE=90°， ∴.四边形ABFE是矩形， AB=FB, 四边形ABFE是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 4.(25-26九年级上陕西榆林期末)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC, 点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE,将△ADE绕点E旋转18O°得到△CFE. 试判断四边形BCFD的形状，并证明. 【答案】解：四边形BCFD是正方形. 证明如下： :点D、点E分别是AB、AC的中点， .AB=2BD,DE是△ABC的中位线， DE∥BC, ∴.∠ADE=∠B=90° 又：△CFE是由△ADE绕点E旋转180°而得， ∠F=∠BDF=∠B=9O°，点D、E、F在一条直线上， .四边形BCFD是矩形. AB=2BD.AB=2BC. :BD=BC, ∴四边形BCFD是正方形. 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，正方形的判定，难度适中.先由中位线 的性质得出DE∥BC,则∠ADE=∠B=90°，再根据旋转的性质得出∠F=∠BDF=∠B=90° ,则四边形BCFD是矩形，又BD=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形 BCFD是正方形. 解：略 【题型4】正方形性质与判定综合 1.(24-25九年级上·辽宁朝阳期中)如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一 点，EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分别为F、G.若正方形ABCD的周长是40cm, (I)求证：四边形BFEG是矩形； (2)当四边形EFBG是正方形时，求AF的长. E G 【答案】(1)证明：四边形ABCD是正方形， .∠B=90°， ,EF⊥AB,EG⊥BC, .∠BFE=∠BGE=90°， ∠B=LBFE=∠BGE=90°， ∴，四边形BFEG是矩形： (2)AF的长为5cm 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的 性质是解题的关键。 (1)根据正方形的性质，垂直的定义得到∠B=∠BFE=LBGE=90°，结合矩形的判定方法即 可求证： (2)根据四边形ABCD是正方形，周长是40cm,AC是对角线，得到AB=10cm,根据四边 形EFBG是正方形，得到△AEF是等腰直角三角形，即FA=FE,△GEC是等腰直角三角形， GE=GC 则有CG=GE=EF=FA=BF=)AB=5cm,由此即可求解. 解：(1)略 (2)解：，四边形ABCD是正方形，周长是4OCm,AC是对角线， .AB=BC=CD=AD=10cm,∠BAC=∠BCA=45°， 如图所示，四边形EFBG是正方形， .EF=FB=BG=GE,∠EFB=∠EFA=90°， :.∠FEA=90°-∠FAE=90°-45°=45°， ∴，△AEF是等腰直角三角形，即FA=FE, 同理，∠GCE=∠GEC=45°，△GEC是等腰直角三角形， GE=GC. 1 .CG=GE=EF=FA=BF=AB=x10=5(cm), 2 2 5cm 的长为 2.(2026·重庆铜梁一模)如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点， PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接EF.若∠BEF=a,则∠CDP一定等于 () A D P E ■ B A.90°-a B.2a C.180°-3a D.45°+a 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判 定定理和性质定理，连接BP交EF于O,可知∠CDP=∠CBP,根据四边形ABCD是正方形， PE⊥AB,PF⊥BC,可得四边形BFPE是矩形，故OE=OB,从而∠EBP=∠BEF=a,即得 ∠CBP=90°-∠EBP=90°-a,故∠CDP=90°-a. 解：连接BP交EF于O.如图： A 正方形ABCD的对称性可知，∠CDP=∠CBP, “四边形ABCD是正方形，PE⊥AB,PF⊥BC, ∴.∠PEB=∠EBF=∠BFP=90° ∴.四边形BFPE是矩形， ..OE =OB .∠EBP=∠BEF=a ∴∠CBP=90°-∠EBP=90°-a .∠CDP=90°-a. 故选：A. 3.(2025·浙江模拟预测)如图，在一张矩形纸片ABCD中，E,F分别是AD和BC 的中点.现将纸片按如图方式折叠，使点C与EF上的点G重合.若AG平分 ∠BAD,BC=2,则AB的长为， G 【答案】1+V5 【分折】根指赵意可得四边形BFE是矩形，4E=BF-号D=1,AABG是等腿直角三角 形，则AE=EG=1,如图所示，过点G作GK⊥AB,可得△AKG是等腰三角形，四边形 AEGK是矩形，是正方形，四边形BFGK是矩形，则AE=EG=GK=AK=1,BK=FG,根 据折叠，得到BG=BC=2,在Rt△BGK中由勾股定理得到BK=V3,由AB=AK+KB即可求 解。 解：，四边形ABCD是矩形， :.AB=CD,BC=AD=2,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， ,点E,F分别是AD和BC的中点， ∴EF∥AB, ∴.∠AEF=∠ABF=∠BFE=90°， ∴.四边形ABFE是矩形， :.AE=BF=1AD=1. ,AG平分∠BAD, ZBAG=∠DAG=)∠BAD=45P ∴.△AEG是等腰直角三角形，则AE=EG=1, 如图所示，过点G作GK⊥AB, K ∴.△AKG是等腰三角形， ∴，四边形AEGK是矩形，是正方形，四边形BFGK是矩形， .AE EG=GK =AK =1,BK=FG, ,折叠， ∴BG=BC=2, 在RteBGK中，BK=VBG2-GK2=V22-I=√3， :.AB=AK+KB=1+3, 故答案为：1+V3 【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折 叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键 4.(2026·甘肃兰州·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点 E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. (1)判断四边形ABEF的形状，并说明理由： (2)若AD=AE,AF=1,求DG的长 G 【答案】(1)四边形ABEF为正方形.理由如下： ~四边形ABCD为矩形， .∠DAB=∠B=90° EF⊥AD, ∠DAB=∠B=∠EFA=90°， ∴.四边形ABEF为矩形， 'AE是∠BAD的平分线， ..BE=FE ∴四边形ABEF为正方形. (2)1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的 判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键。 (1)根据矩形性质及EF⊥AD得∠DAB=∠B=∠EFA=90°，则四边形ABEF为矩形，再根据 AE是∠BAD的平分线得BE=EF,由此即可得出结论： (2)根据四边形ABEF为正方形，AF=I得BE=AF=1,证明△ADG和△AEB全等得 DG=BE,由此可得DG的长. 解：(1)略 (2)解：，四边形ABEF为正方形，AF=1, .BE =AF=1. DG⊥AE, ∴.∠AGD=∠B=90° ,AE是∠BAD的平分线， .∴∠DAE=∠EAB 在△ADG和△AEB中， ∠DAE=∠EAB ∠AGD=∠B=90° AD=AE .△AGD≌△AEB(AAS), .∴.DG=BE=1 三.能力提升 【题型1】正方形中的角度与线段计算 1.(25-26八年级下·甘肃庆阳期末)如图①，在正方形ABCD中，点P为对角线 BD上一点，连接AP,CP. (I)求证：AP=CP; (2)如图②，过P点作PE⊥PC,交射线AD于点E.求证：PE=PC: E B 图① 图② 备用图 【答案】(1)证明：正方形ABCD,BD为对角线， .AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=45°， :BP=BP, ,△ABP≌ACBP(SAS), :.AP=CP: (2)证明：过点P作PM⊥AD于点M,作PN⊥CD于点N,如图② B 图② 则四边形PMDN为矩形， ∠MPN=90°， ∠BDA=45°， :∠MPD=90°-∠MDP=45°， :.MD=MP, ∴四边形PMDN为正方形， :.PM=PN, CP⊥EP, ∴.∠CPE=90°=∠MPN. ∴.∠EPM=∠CPN=90°-∠EPN 又：PM=PN,∠CNP=∠PME=90°， :.△MPE≌aPCN(ASA), :PE=PC. 【分析】(I)证明△ABP≌aCBP(SAS),即可得证： (2)过点P作PM⊥AD于点M,作PW⊥CD于点N,证明△MPE≌aPCN(ASA),即可. 解：(1)略 (2)略 2.(26-27九年级上陕西西安开学考试)如图，正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,E为BC边上一点，CE=5,F为DE的中点，若aCEF的周长为l8,则 线段OF的长为() B E A 5-2 B.3 7-2 C D.4 【答案】C 【分析】利用正方形的性质得出BC=CD,∠BCD=9O°，根据直角三角形斜边中线的性质得 出CF=BF=DF-DE,根据，CEF的周长为18，求出DE=13利用勾取定理求出 BC=CD=12,进而求出BE=7,根据三角形中位线的性质即可求出OF的长. 解：：正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, BC=CD,∠BCD=90°，OB=OD, F为DE的中点， .'CF EF=DF= LDE ,aCEF的周长为18，CE=5, ..EF+CF+CE=2EF+5=18, .EF=13 2· .DE=13. .BC=CD=VDE2-CE2=V132-52=12, ∴.BE=BC-CE=12-5=7, .OB=OD,EF =DF, OF-号BE=2 3.(25-26七年级下山东青岛阶段检测)如图，若∠AOB=∠ACB=90°，OC平分 ∠AOB,OC=4,则四边形AOBC的面积是 B 【答案】8 【分析】作CN⊥OA于点N,作CM⊥OB于点M,证得△CAW≌aCMB,利用勾股定理求得 正方形CNOM的边长，即可求得面积. 解：如图，作CN⊥OA于点N,作CM⊥OB于点M, 5 2 M B ,∠AOB=∠ACB=90° .∠3+∠4=180° ∠5+∠4=180°， ∴.∠3=∠5 :OC平分∠AOB, ..CM=CN ∠CNA=∠CMB=90° .ACAN≌aCMB(AAS), .∴.CN=CM :∠OWC=∠OMC=∠MON=90°. :.四边形OMCN是矩形， ∴.四边形CNOM是正方形. .'△CAN≌ACMB ∴.ScN=S.CMB, ∴，四边形AOBC的面积等于正方形CNOM. 设正方形CNOM的边长为x,OC=4, 由勾股定理可知：x2+x2=42, .x2=8, .正方形CNOM的面积等于8， AOBC 四边形 的面积等于8. 4.(2026江苏扬州模拟预测)如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D DElAB,DFAC (I)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由： (2)若∠BAC=90°，且AD=22,求四边形AFDE的面积. B 【答案】(I)四边形AFDE是菱形，理由是： :DE∥AB,DF∥AC, ∴四边形AFDE是平行四边形， :AD平分∠BAC, ∠FAD=∠EAD, :DE∥AB .∠EDA=∠FAD, .∠EDA=∠EAD, .AE=DE, ∴.平行四边形AFDE是菱形： (2)4 【分析】(I)先证明四边形AFDE为平行四边形，然后证明AE=DE,即可证明四边形 AFDE是菱形： (2)先得到四边形AFDE是正方形，再由勾股定理求解边长，即可求解面积. 解：(1)略 (2)解：：∠BAC=90°，四边形AFDE是菱形 ·.四边形AFDE是正方形， ∴.∠AED=90°， .∴.AE2+DE2=AD2 AD=212. .AE2+DE2=(22月 2AE2=(22 DE=AE=2(舍负)， 六四边形4FD 的面积为2×2=4 【题型2】正方形的判定与证明 1.(26-27八年级下·全国课后作业)已知：如图，分别延长正方形ABCD的边AB ,BC,CD,DA到点E,F,G,H,使BE=CF=DG=AH,连接EF,FG,GH, HE,得到四边形EFGH. 求证：四边形EFGH是正方形. B D H 【答案】证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°， .∠EBF=180°-∠ABC=90°，∠FCG=180°-∠BCD=90°， .∠EBF=∠FCG; .CF=DG. ...BC+CF =CD+DG, .BF=CG. 又BE=CF, .△EBF≌aFCG(SAS), :.EF=FG,LBFE=∠CGF .∠CFG+∠CGF=90°， .∠CFG+∠BFE=90°，即∠EFG=90°， 同理可证明∠HEF=∠EHG=∠FGH=90°， ∴.四边形EFGH是矩形， 又EF=FG, ∴矩形EFGH是正方形. 【分析】证明△EBF≌aFCG(SAS),得到EF=FG,∠BFE=∠CGF,则可证明∠EFG=90°， 同理可证明∠HEF=∠EHG=∠FGH=90°，据此可证明四边形EFGH是正方形. 解：略 2.(25-26八年级下·重庆北碚阶段检测)如图，在正方形ABCD中，点E是AC上 一点，连接BE,过点B作EF⊥EB交AD于点F,连接BF,若∠ABF=a,则∠DFE 的度数是() B E D A.2a B.3a C.90°-2u D.45°+ 【答案】D 【分析】过点E作EM⊥AB于M,EN⊥AD于N,利用正方形对角线的性质证EM=EN, 结合EF⊥EB证△EMB≌△ENF,得EB=EF,再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系， 推导∠DFE的度数， 解：过点E作EM⊥AB于M,EN⊥AD于N, B 则∠EMA=∠ENA=∠EMB=90°， 四边形ABCD是正方形，AC是对角线， .∠BAD=90°，∠BAC=∠DAC=45°， ∴.四边形AMEN是矩形， :∠BAC=∠DAC,EM⊥AB,EN⊥AD, :EM EN, ∴，四边形AMEN是正方形， .∠MEN=90°. EF⊥EB, .∠BEF=90°. .∴∠MEB=90°-∠MEF=∠NEF 在△EMB和△ENF中， EMB=∠ENF=90° EM=EN ∠MEB=∠NEF ∴△EMB≌△ENF(ASA). ∴.EB=EF,∠EBM=∠EFN ∠BEF=9O°，EB=EF, ∴△BEF是等腰直角三角形， ∠EBF=45°」 :∠ABF=a, ,∠EBM=∠ABF+∠EBF=a+45°， ∴.∠EFN=a+45° ∴.∠DFE=∠EFN=45°+ 3.(25-26八年级下·重庆期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点 A,D分别在x轴、y轴上，对角线AC,BD交于点M.若OA=2,OD=3,则点 M的坐标为 ○ 【答案】(2.5,2.5) 【分析】过点M,分别作x,y轴的垂线段，垂足分别为F,E,证明△DME≌aAMF(AAS)得出 四边形EMF0是正方形，进而根据OA=2,OD=3,得出OE=EM=2.5,即可求解. 解：如图，过点M,分别作，y轴的垂线段，垂足分别为F,E, B ∴.∠MED=∠MFA=∠EMF=90°，则四边形EMFO是矩形 四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD交于点M. ∴.DM=MA,∠DMA=90° .∴.∠DME=∠AMF=90°-∠EMA ∴.△DME≌△AMF(AAS) ∴.MF=ME,DE=AF, ∴.四边形EMFO是正方形 ∴.EM=OF,OE=MF 设ME=MF=a,DE=AF=b ..DO=OE+DE=a+b=3.OA=OF-AF=a-b=2 解得：a=2.5,b=0.5 .∴.OE=ME=2.5 M(2.5,2.5) 4.(2026·浙江丽水·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC 上.连接DF,EF,DG=EF,DG∥EF,连接AG.已知△BEF≌△CFD (1)求证：FD⊥DG. (2)求∠BAG的度数. B 【答案】(1)证明：如图，连接GE, E DG=EF,DG∥EF, ∴四边形EFDG是平行四边形， :四边形ABCD是矩形， .∠B=90°， .LBEF+∠EFB=90°， △BEF≌△CFD. .∠BEF=∠CFD ∴.∠EFB+∠CFD=90°， ∠EFD=90°， 四边形EFDG是矩形， .∠FDG=90° .FD⊥DG (2)135° 【分析】(1)连接GE，首先证明四边形EFDG是平行四边形，由矩形的性质得到∠B=90° ,推出∠BEF+∠EFB=90°，结合全等三角形的性质得到∠EFD=9O°，证明四边形EFDG是 矩形，即可得到FD⊥DG: (2)过点G作GH⊥AD于点H,证明四边形EFDG是正方形，得到DG=DF,∠GDF=90° ,然后证明△GDH≌aFDC(M4S),得到GH=FC,DH=DC,然后证明△AHG是等腰直角 三角形，得到∠GAH=45°，进而求解即可. 解：(1)略 (2)解：如图，过点G作GH⊥AD于点H, ,'△BEF≌△CFD, .EF DF, ,四边形EFDG是矩形， ∴四边形EFDG是正方形， .DG=DF,∠GDF=90°， :四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ADC=∠C=90°=∠GDF,AD=BC, ∴.∠GDH=∠FDC, .∠GHD=∠C=90°. .△GDH≌aFDC(AAS). ∴.GH=FC,DH=DC, .·△BEF≌△CFD, .DC=BF, :.DH=BF, .AD-DH BC-BF, .AH=FC=GH, ,GH⊥AD, ∴.△AHG是等腰直角三角形， .∠GAH=45°， :∠B1G=∠BAD+∠GAH=90°+450=1350 四.素养探究 【题型1】正方形中的动点与最值问题 1.(25-26八年级下·吉林期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠ABC=90°， AD=6,BC=10,动点M从点A出发，以1cm/s的速度向终点D运动，同时动点N 从点C出发，以2cm/s的速度向终点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动 点也随之停止运动，设运动时间为t秒. (1)当四边形MDCN是平行四边形时，求t的值. (2)当t= 时，四边形AMNB是矩形， (3)若AB=4,且点N的运动速度不变，要使四边形AMNB能够成为正方形，则 M点的运动速度是 cm/s. (4)在点M,运动过程中，四边形MDNB能否成为菱形，若能，请求出t值：若不 能，请说明理由. 10 4 【答案】 (1)1=2:(2)3;(3)3;(4)四边形MDNB不能成为菱形，理由如下 连接BD,MB,DN, :四边形ABCD中，AD川BC,∠ABC=90°， ∠A=90°， :四边形MDNB是平行四边形， .MD BN, .6-t=10-2t, t=4, .AM=4,MD=2, 假设四边形MDNB是菱形， ∴.MD=BM=2, 在Rt△AMB中，∠A=90°， ,∴.MB是直角三角形的斜边，且直角边大于斜边，即AM>MB, 假设不成立， ∴.四边形MDNB不能成为菱形. M D 【分析】本题考查平行四边形，矩形，正方形，菱形的知识，解题的关键是掌握平行四边形， 矩形，正方形，菱形的性质，根据动点的运动轨迹和运动速度，进行解答，即可. (I)根据题意，则AM=t,CN=2t;根据四边形MDCN是平行四边形，则MD=CN,即 可： (2)根据矩形的性质，则AM=BN,即可； at=4 (3)根据正方形的性质，则AB=AM=BN=4:设M的运动速度为： acm/s'则10-21=4 ,解出a,即可； (4)根据菱形的性质，直角三角形的三边的关系，进行解答，即可. 解：(1)，设运动时间为t秒，动点M从点A出发，以lcm/s的速度向终点D运动，同时动 点N从点C出发，以2cm/s的速度向终点B运动， .AM=t,CN=2t, AD=6, .MD=6-t, ,四边形MDCN是平行四边形， .MD=CN, .6-t=2t, .t=2. (2)由(1)得，AM=t: :四边形AMNB是矩形， ∴.∠AMN=∠BNM=90°， :AD1‖川BC,∠ABC=90 .AM=BN; ..CN=2t,BC=10 ∴.BN=10-2t ∴.t=10-2t 10 3· (3),四边形AMNB是正方形， .AB=AM=BN=4. 设M的运动速度为：acm/s 「at=4 ÷110-21=4 [t=3 解得： 4, a= 3 4 “当点M是运动速度为3cm/s时，四边形AMNB是正方形. (4)略 2.(25-26八年级上湖北武汉·阶段检测)如图，两个全等的等腰Rt△ABC和等腰 Rt△CDA有公共斜边AC,且四边形ABCD的面积为36，△ABE为等边三角形，点E 在四边形ABCD内，在AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为 () A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形ABCD为正 方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE=AB=6,连接BP,依据正方形 的对称性可知PB=PD,则PE+PD=PE+BP,由两点之间线段最短可知：当点B、P、E 在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长 解：：连接BP, D B ,:两个全等的等腰Rt△ABC和等腰RtACDA有公共斜边AC, .AB=BC=CD=DA,∠ABC=90°， ∴.四边形ABCD为正方形， :正方形ABCD的面积为36， .正方形的边长为6， ,△ABE为等边三角形， .BE=AB=6. 四边形ABCD为正方形 ∴，△ABP与△ADP关于AC对称， .BP=DP, ∴.PE+PD=PE+BP≥BE, ,PE+PD有最小值为6， 故选：B 3.(24-25八年级上·浙江宁波开学考试)如图，△ABC是边长为V2的等腰直角三角 形，∠ABC=90°，CD⊥BC,E,F分别是AC,CD上的点，AE=CF,则(BE+BF)'的最小 值为 ID E F 【答案】4+2√2 【分析】如图所示，过点A作AG⊥CD于点G,可得四边形ABCG是正方形，可证 △AEH≌aCFB(SAS),得到HE=BF,所以连接BH,当点B,E,H三点共线时，BE+HE的 值最小，即BE+BF的值最小，则(BE+BF)'的值最小，如图所示，过点H作HⅢ⊥BC于点I ,交AG于点J,则AJLAG,可得△AW是等腰直角三角形，可求出AJ=HW=1,可证四 边形AB1J是矩形，可得HⅢ=1+√2，在Rt△BW中，根据勾股定理可得BH=√4+2V2,由此 即可求解 ,即可得到答案. 解：如图所示，过点A作AG⊥CD于点G, :△ABC是边长为V2的等腰直角三角形，∠ABC=90°，CD⊥BC, .AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠CGA=90°， ∴.四边形ABCG是正方形，AB=BC=CG=AG=V2, 过点A作AH⊥AC,且AH=CB,则∠HAC=90°，连接HE, 在△AEH,△CFB中， AH=CB ∠HAE=∠BCF=90°， AE=CF ∴△AEH≌aCFB(SAS), .HE=BF, :连接BH,当点B,E,H三点共线时，BE+HE的值最小，即BE+BF的值最小， .(BE+BF)的值最小， ∴.BE+BF=BE+HE=BH, 如图所示，过点H作Ⅲ⊥BC于点I,交AG于点J,则AJ⊥AG, :四边形ABCG是正方形，AC是对角线，AH⊥AC, ∴.∠CAG=45°， ∴.∠HAG=45°，且AH=BC=V2, ∴.△AHW是等腰直角三角形， :=m=2H=5×2=l, ,∠ABC=∠BAG=∠AJI=90°， ,四边形ABW是矩形， :.BI=AJ=1,AB=JI=2, .Hl=HW+Ⅱ=1+V2, 在R△Bw中，BH=VBI+m=P+1+V=V4+2N2, .(BE+BF)2=BH2=4+2V2. :.(BE+BF)2的最小值为4+2√2. 故答案为：4+2√2. 【点拨】本题主要考查正方形，矩形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，最短路 径，勾股定理等知识的综合运用，掌握正方形的性质，勾股定理，最短距离，图形结合分析思 想是解题的关键。 4.(24-25八年级下江苏镇江阶段检测)在△ABC中，B在C的左边，BA=BC=3, 将△ABC关于AC作轴对称，得四边形ABCD.P是对角线AC上的动点，E是直线BC 上的动点，且PE=PB. (1)四边形ABCD如图1所示，四边形ABCD是 (填“矩形”或“菱 形”或“正方形”)；∠DPE一∠ABC(填“=”或“≠”)： (2)四边形ABCD如图2所示，且∠ABC=90°，四边形ABCD是 (填“矩 形”或“菱形”或“正方形”)；(1)中∠DPE与∠ABC之间的数量关系还成立 吗？若成立，请说明理由. 图1 图2 【答案】(1)菱形，=；(2)正方形，成立，理由如下： 同理可证，四边形ABCD是菱形， :∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形， 过点P作MN⊥BC交AD于点M,交BC于点N, A M B NE C 图2 AB∥MN, .∠ABP=∠BPN, PE=PB,PN⊥BE, .PN平分∠BPE, .∠BPN=∠EPN, .∠ABP=∠EPN, ∠ABP=∠ADP, .∠EPN=∠ADP, .∠PMD=90° .·.∠DPM+∠PDM=90° .DPM+∠EPN=90°， .∠DPE=180°-（∠DPM+∠EPN)=180°-90°=90°. ∠DPE=∠ABC: 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的 判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键， (I)根据轴对称的性质，得到AD=AB,BC=CD,PB=PD,又因为BA=BC,即可证明 四边形ABCD是菱形，得到∠ABC=∠DCE再证明△BCP≌aDCP(SSS),得到∠PBC=∠PDC ,进而得到∠PDC=∠PEC,最后利用三角形内角和定理，即可得到∠DPE与∠ABC之间的数 量关系 (2)根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形ABCD是正方形，过点P作MN⊥BC ,先根据平行线的性质，得到∠ABP=∠BPV,再根据等腰三角形三线合一的性质，得到 ∠BPN=∠EPN,然后根据轴对称的性质得到∠ABP=∠ADP,推出∠EPN=∠ADP,最后利用三 角形内角和定理和平角的性质，求出∠DPE=9O°，即可得到∠DPE与∠ABC之间的数量关 系 (1)解：设CD、PE相交于点F, 图1 由轴对称的性质可得AB=AD,CB=CD, .BA=BC=3. ∴.AB=AD=CB=CD, .四边形ABCD是菱形： .AB∥CD, .∠ABC=∠DCE. 在△BCP和△DCP中， PB=PD BC=DC CP=CP ,∴△BCP≌aDCP(SSS), ∠PBC=∠PDC, PE PB, .∠PBC=∠PEC, .∠PDC=∠PEC, ∵∠PFD=∠CFE, ∴∠DPE=∠DCE, ∠DPE=∠ABC, 故答案为：菱形，= (2)略 【题型2】正方形与折叠、旋转综合 1.(25-26八年级下广西南宁·期中)综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几.在非遗工坊，他被一块四边 形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形.店员向小宁展示：沿壮锦的一条 对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合.小宁听 后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发 现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下. 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点O, 先沿着AC折叠，点B与点D重合，再沿着BD折叠，点A与点C重合，AC=BD: 图1 图2 图3 (1)请你判断：四边形ABCD 正方形（填写“是”或“不是”）： 【动手操作】如图2，在(1)的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在 边AD上取一点E,从点B到点E贴一条装饰带BE,他沿BE折叠壮锦，发现顶点A 恰好落在对角线BD上的点F处，连接AF并延长，分别交装饰带BE于点G,交边 CD于点H; (2)小宁观察到BE与AH的长度相等，请你帮小宁完成证明： 【拓展应用】 (3)如图3，在(2)的条件下，取AH的中点MBE的中点N,连接MN,若 AB=3,AH=0,请求出MN的长. 【答案】(1)是；(2)证明：已知四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=∠ADH=90° ,沿BE折叠，点A落在BD上的F处， .BE⊥AF, ∴.∠AGB=90°， .∠ABG+∠BAG=90° 又：在Rt△ADH中，∠DAH+∠BAG=90°， ∴.∠ABG=∠DAH, 在△ABE和△DAH中： ∠BAE=∠ADH=90° AB=DA ∠ABE=∠DAH .△ABE≌△DAH(ASA), ∴.BE=AH. (3)V2 【分析】(I)利用折叠性质，得出对角线互相垂直且平分，先判定是菱形：再结合已知对角 线相等，用对角线相等的菱形是正方形判定即可. (2)利用折叠得BE⊥AF,结合正方形直角，用同角的余角相等推出一组等角：再利用正方 形边长相等、直角相等，证△ABE≌△DAH,由全等对应边相等得BE=AH, (3)由正方形边长AB=3、AH=V0,用勾股定理求出DH=1；借助第二问全等，得 AE=DH=1、BE=AH=VI0:用面积法求出高AG;利用中点定义，得AM、BN长度，算 出GM;在Rt△AGN中勾股求NG:由AH⊥BE,在Rt△GMN中，再用勾股定理求出MN, (1)解：沿AC折叠，点B与点D重合， ∴.AC垂直平分BD,即AC⊥BD,OB=OD 沿BD折叠，点A与点C重合， ∴.BD垂直平分AC,即BD⊥AC,OA=OC, ∴.四边形ABCD是菱形， .AC=BD. ∴.四边形ABCD是正方形. (2)略： (3)解：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD=3,∠BAD=∠D=90° 在RtADH中，AD=3,AH=V10, 由勾股定理得： DH=VAH2-AD2=VN10)2-32=1 由△ABE≌△DAH, 得AE=DH=1.BE=AH=V0, ,点A恰好落在对角线BD上的点F处，连接AF并延长，分别交装饰带BE于点G,交边CD 于点H: ∴.AH⊥BE .∴.∠AGE=∠MGN=∠AGN=90° M是AH的中点，N是BE的中点， :AM=号4H=o 2 2NE9,Ns而 2 2 5-号4x4E=E×4G, 2 :4G=3x1-310 V1010· ..NG=AN2-AG2 31021 2 10 5 GM-AM-AG=10_3101o 2 10 5 ,在Rt△GMN中 MN2=GM2+GN2, MN=GM2+GN2 210 2.(25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测)如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形 (分别将正方形各边折叠至对角线AC上再展开，折痕所成四边形AECF即为菱 形)，已知正方形ABCD的边长为22.则菱形AECF的面积为() A.82-8 B.16-82 C.22 D.25 【答案】A 【分析】连接BD,利用正方形的性质，求出AC,利用折叠的性质，得到 ∠BAE=∠EAC=∠CAF=∠DAF=∠BAD=225°：根据角的数量关系，等角对等边，可得 4 AB=BF=2√2：AD=DE=2W2,求出BE=DF:利用线段的数量关系，求出EF,最后根 据菱形的面积公式，即可求解. 解：连接BD, ,四边形ABCD是正方形， ,AB=BC=AD=CD=2N2,AC=BD,∠BAD=90°， .AC=V2AB=4; ,四边形AECF是菱形， .AE=EC=CF=AF. .点E,F在BD上， 由折叠可得，∠BAE=∠EAC=∠CAF=∠DAF=∠BAD=22.5, 4 .∠BAF=∠BAD-∠DAF=90°-22.5°=67.5°， .∠BFA=∠DAF+∠ADB=22.5°+45°=67.5° ∴.∠BAF=∠BFA, :AB=BF=2V2; 同理，AD=DE=2V2, ∴.BE+EF=DF+EF, ∴.BE=DF: BE=BD-DE=4-22, :EF=BF-BE=22-(4-2W2)=4V2-4, ∴麦形ACr的面积为：×4CxP-×4×45-4)-85-8 B 3.(25-26九年级上吉林期中)如图，E为正方形ABCD内一点，∠CEB=90°， CE=3,CB=5,将△CBE绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△CDF,延长BE交 DF于点H,连接DE.则△DEH的面积为 E 【答】15 3 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股 定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键. 由旋转得，∠ECF=90°，∠CFD=∠CEB=90°，CF=CE,DF=BE,可得出四边形CEHF 为正方形，可得EH=FH=CE=3.在RtaBCE中，由勾股定理得，BE=VBC2-CE2=4, 则DF=4,DH=DF-FH=1,即可解答. 解：由旋转得∠ECF=90°，∠CFD=∠CEB=90°，CF=CE,DF=BE, :∠CEH=180°-∠CEB=90°， ∴四边形CEHF为矩形， .CF=CE ∴四边形CEHF为正方形， .EH=FH=CE=3, 在RtABCE中，由勾股定理得，BE=√BC2-CE2=V52-32=4, :.DF =BE=4, DH=DF-FH=4-3=1. SME=DH·EH 21x3 2 3-2 故答案为： 4.(25-26九年级上四川成都·阶段检测)如图1，点E为正方形ABCD内一点， AE=l1,BE=2,∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转C度 (0≤a≤180)，点B、E的对应点分别为点B八E'. (1)如图2，在旋转的过程中，点B落在了AC上，求此时CB的长； (2)若=90°，如图3，得到△ADE'(此时B'与D重合)，延长BE交DE'于点 F, ①试判断四边形AEFE的形状，并说明理由： ②连接CE,求CE的长： (3)在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE长度的取 值范围. D D D B E E E B B 图1 图2 图3 【答案】(1)V0-V5；(2)①解：四边形AEFE是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：AE=AE,∠EAE'=a=90°，∠AE'D=∠AEB=90°， ∠AEF=180°-90°=90°， 四边形AEFE是矩形， AE'=AE, ∴四边形AEFE是正方形： ②5 (3)V5≤CE'≤V10+1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三 角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转 变换的性质，证明是解题的关键 (1)由勾股定理得AB的长度，再由正方形的性质得AC的长度，然后由旋转的性质得 AB=AB=V5,即可求解： (2)①由旋转的性质得AE'=AE,∠EAE'=&=90°，∠AE'D=∠AEB=90°，再证四边形 AEFE是矩形，即可得出结论： ②过点C作CG⊥BE于点G,证△BCG≌△ABE,得CG=BE=2,，BG=AE=1,再由勾股定 理求解即可： (3)当a=0°时，E'与E重合，CE最短=V5;当E'落在CA的延长线上时，AE'=AE=1 ,即可得出答案。 1)解：AE=1,BE=2,∠AEB=90°， :.AB=AE+BE2=5, ~四边形ABCD是正方形， :BC=AB=V5,∠ABC=90°， ..AC=24B=10. 由旋转的性质得：AB'=AB=V5, :.CB'=AC-AB'=10-5: (2)解：①略 ②过点C作CG⊥BE于点G,如图3所示： F E G B 图3 则∠BGC=90°=∠AEB. ∴∠CBG+∠BCG=∠CBG+∠ABE=90°， .∠BCG=∠ABE. 在△BCG和△ABE中， ∠BGC=∠AEB ∠BCG=∠ABE, BC=AB ∴△BCG≌△ABE(AAS). .CG=BE=2 BG=AE=1. .EG=BE-BG=2-1=1, .CE=CG2+EG2=2+15: (3),直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转C度(0≤a≤180°)， 点B、E的对应点分别为点B'、E, ∴当a=0时，E'与E重合，CE最短=V5: 当E落在CA的延长线上时，AE'=AE=1,CE最长=AC+AE'=V10+1, :线段CE长度的取值范围是 5≤CE'≤V10+1 五.中考链接 一、单选题 1.(2026·黑龙江绥化中考真题)下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对 称图形的是() A.正六边形 B.矩形 C.正方形 D,等边三角 形 【答案】D 解：A、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意： B、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意： C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意： D、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意 2.(2026·四川泸州·中考真题)口ABCD的对角线AC,BD相交于点O.下列结论中 一定成立的是() A.OA=OB=OC=OD B.AC⊥BD C.AC⊥BD,AC=BD D.OA=OC,OB=OD 【答案】D 【分析】平行四边形的对角线性质为互相平分，根据平行四边形的基本性质逐一判断选项即 可 解：A选项只有矩形的对角线才满足OA=OB=OC=OD,，普通平行四边形不成立，A错误. B选项只有菱形的对角线才互相垂直，普通平行四边形不满足AC⊥BD,B错误. C选项对角线垂直且相等是正方形的性质，普通平行四边形不成立，C错误. D选项根据平行四边形对角线互相平分的性质，一定可得OA=OC,OB=OD,D成立. 3.(2025西藏中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E是BC的中点， 把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G,连接AG,则AG的长 为() D G A.3V5 B.2 C.210 D.42 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是 掌握翻折性质，由折叠的性质易知AABE≌△AFE,证明Rt△AFG≌Rt△ADG(HL),设CG=x ，则DG=6-x,由勾股定理得到EC2+CG=EG,求出DG,最后利用勾股定理即可求解. 解：：四边形ABCD为正方形， .AB=BC=CD=AD=6,∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， 由折叠的性质易知△ABE≌△AFE, .AF=AB=6,∠AFE=∠B=90°. ∴.AF=AD=6,∠AFG=∠D=90°， 又AG=AG, :RtAAFGS≌RtsADG(HL), ∴.FG=DG, E为BC边的中点， aE=CE-号0c=3 设CG=x,则DG=6-x, ..FG=DG=6-x,EG=EF+FG=3+6-x=9-x, 在RtAECG中，EC2+CG2=EG, 32+x2=(9-x)2, 解得x=4, ∴CG=4, .DG=6-4=2, .AG=V√AD2+DG2=2V10」 故选：C. 二、填空题 4.(2026江苏无锡中考真题)已知正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F 是CE的中点，则DF= √13 【答案】 2 【分析】建立平面直角坐标系，写出各点坐标，得到中点F的坐标，再利用勾股定理计算DF 的长度 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为V轴，建立平面直角坐标系， y D F A E B 正方形边长为2， .A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2): ,E是AB的中点， E的坐标为(1,0)， :F是CE的中点，C(2,2),E(1,0), p的横经标为2生华标为2生01，即F 2+13 D(0,2), :DF= 2 5.(2025·四川乐山中考真题)如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：① AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是 一（只需填一种组合即 可). 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题 的关键 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可. 解：当选择①AC⊥BD；②AC=BD时， ,四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD, “四边形ABCD是菱形， AC=BD, :.A0-0C=0B=1AC=BD. 21 2 ∴△AOB,△COB均是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠AB0+∠CB0=45+45°=90°， .四边形ABCD是正方形： 当选择①AC⊥BD;③∠ADC=90°时， :四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD, :四边形ABCD是菱形， ∠ADC=90°， .四边形ABCD是正方形： 当选择②AC=BD:③∠ADC=90°， 由于四边形ABCD是平行四边形，若AC=BD或∠ADC=9O°， 均只能得到四边形ABCD是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； .选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）. 6.(2025四川广元中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知点A(3,3) ,点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则 OB-OC= A(-3,3) 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三 角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键. 作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F,连接BC,证明△ABE≌△ACF(ASA),得到BE=CF ,拆分线段即可求解. 解：作AE⊥x轴于点E,AF1y轴于点F,连接BC,如图， A(-3, 3) A(-3,3) .AE=AF=3,∠FAE=90°， ∴四边形AEOF为正方形， ..OE=OF=3, 又：∠BAC=90°， ∴.∠BAE+∠EAC=∠FAC+∠EAC=90°， 即∠BAE=∠FAC, 在△ABE和△ACF中， ∠AEB=∠AFC AE=AF ∠BAE=∠CAF .△ABE≌aACF(ASA), .BE=CF, ..BE=OB-OE,CF=OC+OF, ..OB-OE =OC+OF. ..OB-OC=OF+OE=3+3=6. 故答案为：6. 三、解答题 7.(2026贵州中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，连接 BE,CE (I)求证：△ABE≌aDCE: (2)若正方形ABCD的边长为4，求aBCE的周长. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.BA=CD,∠A=∠D=90° ,点E是AD边的中点， ∴.AE=DE .△ABE≌aDCE(SAS): (2)4V5+4 【分析】(1)根据正方形的性质结合SAS即可证明； (2)先对Rt△ABE运用勾股定理求解BE,然后由全等三角形的性质即可得到CE的长度，即 可求解△BCE的周长. 解：(1)略 (2)解：，四边形ABCD是正方形 .AD=AB=BC=4,∠A=90° ,点E是AD边的中点 ∴.AE=DE=2 ∴.BE=VAE2+AB2=2V5 .△ABE≌△DCE .CE=BE =25 △BCE的周长=BC+CE+BE=4+2W5+2V5=4V5+4. 8.(2026山东青岛中考真题)己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平 分∠ABC,CE平分∠DCB,F是BC的中点，过点B作EC的平行线，交EF的延长线 于点G. (I)求证：△BFG≌△CFE: (2)若∠A=90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论. 【答案】(I)证明：点F为线段BC中点， ..BF=CF, EC∥BG. ∴.∠ECF=∠GBF, 又，∠CFE=∠BFG, 在△BFG和△CFE中， ∠BFG=∠CFE BF=CF ∠GBF=∠ECF .△BFG≌aCFE(ASA)」 (2) B G 四边形BGCE为正方形， 证明：，四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°， :四边形ABCD为矩形， .∠ABC=∠BCD=90° ,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD, .∠EBC=∠ECB=45°， ∴.∠BEC=90°，即△BEC为等腰直角三角形， .BE=CE. 由(I)得△BFG≌△CFE, ∴BG=CE, 又BG∥EC, ∴四边形BGCE是平行四边形， 又，∠BEC=90°， .四边形BGCE为矩形， 又，BE=CE, ∴四边形BGCE为正方形. 【分析】(I)根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可， (2)当∠A=90°时结合四边形ABCD为平行四边形，可得到四边形ABCD为矩形，通过矩形 的性质结合角平分线得到∠BEC=90°，最后再利用(1)得到的全等三角形即可进一步完成证 明. 解：(1)略 (2)略 5-1 9.(2025·广东广州中考真题)宽与长的比是 2 (约为0.618) 的矩形叫做黄金 矩形.现有一张黄金矩形纸片ABCD,长AD=√5+1.如图1，折叠纸片ABCD,点 B落在AD上的点E处，折痕为AF,连接EF,然后将纸片展开. (I)求AB的长： (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形： (3)如图2，点G为AE的中点，连接FG,折叠纸片ABCD,点B落在FG上的点 H处，折痕为FP,过点P作P№LEF于点O.四边形BFQP是否为黄金矩形？如果 是，请证明：如果不是，请说明理由 E G B F 图1 图2 【答案】(1)2；(2)证明：，折叠黄金矩形纸片ABCD,点B落在AD上的点E处， ∴.AB=AE,∠B=∠AEF, 又，四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAE=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD,AD=BC=V5+1, .∠BAE=∠B=∠AEF=90°， .四边形ABFE是矩形， ..AB=AE, ,四边形ABFE是正方形： .'AB=BF EF =AE, 由(1)可知，AB=2, ∴，AB=BF=EF=AE=2, ∴，DE=CF=5+1-2=V5-1, ∠C=∠D=∠DEF=90°， ∴四边形CFED是矩形， ..EF =CD=2, .DE 5-1 :FE 2 ∴四边形CDEF是黄金矩形. (3) 四边形BPQF是黄金矩形.证明如下： PO⊥EF,四边形ABFE是正方形， .∠B=∠BFE=LPOF=90°， :四边形BFQP是矩形： 由(2)可知， AB=BF=AE=EF=2. ,G为AE的中点， ..AG=EG=1, .FG=EG2+EF2+225, 如图，连接PG,由对折可得：FH=FB=2,BP=PH,∠PHF=∠B=90°， 设BP=PH=x,则AP=2-x, B SAPG+S.PBF+S.PGF=S梯形ABrc 1w2-*2x+5x-0+22. 解得：x=V5-1, BP=V5-1, BP5-1 2 四边形BFOP是黄金矩形. AB5-1 【分析】(1)根据黄金矩形的定义可得： D2，再进一步求解即可： (2)先证明四边形ABFE是正方形：可得AB=BF=EF=AE=2,DE=CF=5-1,证明 四边形CFED是矩形，从而可得答案： (3)先证四边形BPQF是矩形，然后求解FG=VP+22=5,由对折可得：FH=FB=2, 设Br=则A2-x由面积可得：x1x(2-+×2x+×5r-+2)x2,可得： x=V5-1,再进一步可得结论。 (1)解：：AD=V5+1,矩形ABCD是黄金矩形， 8 4B=5x5+1)=2: 2 (2)略 (3)略 【点拨】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式 的运算，理解黄金矩形的定义是关键， 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 口顺利口有困难 能力提升 口顺利口有困难 素养探究 口顺利口有困难 中考链接 口顺利口有困难