25.2.3 因式分解法&25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【益卷】2026-2027学年九年级上册数学课时作业（人教版·新教材）

25.2.3 因式分解法 基础过关 (4)3x(x+1)=2x+2; 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.一元二次方程x(x-2)=0的解是() A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 2.已知一个一元二次方程的两个根为x1=1,x2=-3, 这个方程可能是() A.(x+1)(x+3)=0 B.(x+1)(x-3)=0 (5)(3x-1)2=(7+x)2. C.(x-1)(x+3)=0 D.(x-1)(x-3)=0 3.用因式分解法解下列方程： (1)x2+2x=0; 知识点2选择合适的方法解一元二次方程 4.用适当方法解下列方程： 028 (2)4x2-25=0; (2)x2-6x=1; (3)x2-2x-3= 2a6, (3)3x2+5x-2=0; 7 (4)x2+4x+4=(2x-3)2. 7.【阅读与理解】 解方程x2+2x-35=0可以这样求解： (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法 解答： ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)× (+7): ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加， 其结果等于多项式中的一次项)： 能力提升 7x+(-5x)=2x 5.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,若它的 ③横向写出两因式：x2+2x-35=（x+7)(x-5). 两个根相差1，则称这样的方程为“邻根方程”.若 关于x的方程x2-(m-2)x-2m=0(m是常数)是 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫 十字相乘法 “邻根方程”，则m的值是 (2)方程左边因式分解，得(x+7)(x-5)=0,所以 6.阅读下列题目的解题过程： 已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2= 原方程的解为x1=-7,x2=5. a4-b4,试判断△ABC的形状 【解决问题】 解a2c2-b2c2=a-b,① 试用上述方法和原理解下列方程： .c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).② (1)x2-10x+21=0; .c2=a2+b2.③ .△ABC是直角三角形.④ (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写 出该步的代号： 错误的原因为 (2)写出本题正确的解题方法. (2)3x2+10x-8=0. 8 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 (4)4x2+1=5x+3. 1.一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1,x2, 下列结论正确的是( ) A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 能力提升 2.已知一元二次方程的两根分别是3和-5，则这个 7.若m,n为方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则 一元二次方程可能是() m2+3m+n的值是 A.x2-2x+15=0 B.x2+2x-15=0 8.对于任意实数a,b,定义：a◆b=a2+ab+b2.若方程 C.x2-x-6=0 D.x2-2x-15=0 (x◆2)-5=0的两根为m,n,则(m+2)(n+2)的值 3.关于x的一元二次方程x2-x-2=0的根的情况 为 是() 9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+ A.没有实数根 m2+5=0的两实数根， B.有两个相等的实数根 (1)若x1,x2恰好是矩形的两邻边长，且m=3,求 C.有两个不相等的同号实数根 该矩形的周长和面积； D.有两个不相等的异号实数根 (2)若2x1,2x2恰好是菱形的两条对角线的长，菱 4.已知x1,x2是方程x2-3x-8=0的两个根，则x1x2+ 形的边长为6，求m的值 x1+x2= 5.一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为m,n, 则代数式m2+n2的值为 6.求下列方程两个根的和与积： (1)x2+3x+2=0; (2)2x2-3x-1=0: (3)x2+x=-6x+2; 94>0. 方程有两个不相等的实数根 4m±√42m±1 x=2(2m-1）2m-1' 2m+1 即x2m,=1. (2)由(1)可知，x2=1恒为正整数； 若x1= 2m+12m-1+2 2m-12m-1 1+2m为正整数，且m为 2 =1+ 整数， 则2m-1=1,或2m-1=2, 解得m=1或m=子（合去） .m的值为1. 25.2.3因式分解法 1.C2.C 3.解：(1)左边分解因式，得x(x+√2)=0. 于是x=0,或x+√2=0. 即x1=0,x2=-√2 (2)左边分解因式，得(2x+5)(2x-5)=0. 于是2x+5=0,或2x-5=0. 5 即1=7 (3)移项，合并同类项，得2-9=0 左边分解因式，得(2+3（分-3到=0 于是7+3=0，或7-3=0 即x1=-6,x2=6. (4)3x(x+1)=2(x+1). 移项、合并同类项，得(x+1)(3x-2)=0. 于是x+1=0,或3x-2=0. 即x1=-1,x2=3 (5)移项，得(3x-1)2-(7+x)2=0. 左边因式分解，得[(3x-1)+(7+x)][(3x-1)-(7+ x)]=0. 于是(3x-1)+(7+x)=0,或(3x-1)-(7+x)=0. 即4x+6=0,或2x-8=0. 3 所以x1=22=4. 4.解：(1)二次项的系数化为1，得x2=16. 由此可得x=±4. 即x1=4,x2=-4. (2)配方，得x2-6x+32=1+32. (x-3)2=10. 由此可得x-3=±√10. 即x1=3+√/10，x2=3-/10. (3)因为a=3,b=5,c=-2, 所以△=b2-4ac=52-4×3×(-2)=49>0. 方程有两个不相等的实数根 -5±√/49-5±7 x= 2×3 6 1 即x1=3x=-2 (4)(x+2)2=(2x-3)2. 移项，得(x+2)2-(2x-3)2=0. 左边因式分解，得[(x+2)+(2x-3)][(x+2)-(2x- 3)]=0. 于是(x+2)+(2x-3)=0,或(x+2)-(2x-3)=0. 即3x-1=0,或-x+5=0. 1 所以1=3x=5, 5.-1或-3 6.解：(1)③，除式(a2-b2)可能为零. (2)a2c2-b2c2=a4-b, .c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2). .c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0. .(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0. ∴.a2-b2=0,或a2-b2≠0时，c2=a2+b2. 当a2-b2=0时，a=b,△ABC为等腰三角形； 当a≠b,c2=a2+b2时，△ABC为直角三角形. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形 7.解：(1)左边因式分解，得(x-3)(x-7)=0. 于是x-3=0,或x-7=0. 即x1=3,x2=7. (2)左边因式分解，得(3x-2)(x+4)=0. 于是3x-2=0,或x+4=0. 即马号-4 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.B3.D4.-55.33 6.解：(1)x1+x2=-3,x1x2=2. 3 1 (2)x+x,=2x12=2 (3)方程化为x2+7x-2=0,所以x1+x2=-7,x1x2=-2. 5 (4)方程化为4x2-5x-2=0,所以名1+x2=4,x1, 1 2 7.20268.-1 9.解：(1)当m=3时，方程为x2-8x+14=0. 由根与系数的关系得x1+x2=8,x1x2=14. ∴.矩形的周长=2(x1+x2)=2×8=16,面积=x1x2=14. (2)由题可得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16≥ 0,解得m≥2. 菱形对角线互相垂直平分，边长为6， .由勾股定理得 21 2\ =62, 2 即x+x子=36. .(x1+x2)2-2x1x2=36, 即4(m+1)2-2(m2+5)=36, 解得m1=3,m2=-7(舍去). 故m=3. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.B 2.33.10 4.解：设人行通道的宽度为x米. 根据题意，得(30-3x)(10-2x)=216. 解方程，得x1=1,x2=14. x=14不符合实际，舍去， ∴.人行通道的宽度为1米. 5.解：(1)(50-2x). (2)由题意，得x(50-2x)=300, 5