25.2.3 因式分解法&25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（人教版·新教材·江西专版）

25.2.3 因式分解法 色知识要点扫描 解得x1=7,x2=10. 1.因式分解法 当x=7时，三边的长分别为3,7,7，符合 通过因式分解将方程化为两个一次式的乘 题意，周长为3十7+7=17； 积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0， 当x=10时，3+7=10，不符合题意， 从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作 综上所述，这个三角形的周长为17. 因式分解法， 已基础对点训练 2.因式分解法的一般步骤 知识点① 用因式分解法解一元二次方程 (1)移项使方程的右边为0，即一移；(2)将 1.已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2 方程的左边因式分解，即二分；(3)将一元二次 =一4，则这个方程可能为 ( ) 方程转化为两个一元一次方程，即三化；(4)写 A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0 出原方程的解，即四写 C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0 经典例题剖析 2.一元二次方程x2=2x的解为 【例1】用因式分解法解下列方程： A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 (1)3x(2x+1)=4x+2. C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 (2)(3x-1)2+4(3x-1)+4=0. 3.方程x(x+3)十x十3=0的两个根为 【点拨】(1)先移项，再提取公因式(2x十1)； ( (2)可以把(3x一1)看作一个整体，再因式分解. A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 【解】(1)移项，得3x(2x+1)-(4x+2)=0, C.x1=1,x2=-3D.x1=-1,x2=-3 即3x(2x+1)-2(2x+1)=0. 4.结论开放题根据因式分解法解一元二次方 因式分解，得(2x十1)(3x一2)=0， 程的方法，写出一个以x为未知数，一2和4 .2x+1=0或3x-2=0, 为根的一元二次方程： (化为一般形式). 1 2 解得x1=一2x2=3 5.运算能力用因式分解法解下列方程： (2)因式分解，得(3x-1+2)2=0, (1)(x-3)2+4x(x-3)=0. .3x+1=0, 1 解得x1=x2= 3· 【例2】已知三角形两边的长分别为3和7， 第三边的长是方程x（x一7)一10(x一7)=0 (2)2x+8=(x+4)2. 的一个根.求这个三角形的周长。 【点拨】先利用因式分解法解方程，然后根 据三角形三边关系确定三角形的边长，再求出 周长即可 【解】因式分解，得(x-7)(x-10)=0, 九年级数学RJ版 知识点②选择合适的方法解一元二次方程 10.关于x的方程a.x2+bx十c=3的解与(x 6.下列一元二次方程最适合用因式分解法求 1)(x一4)=0的解相同，则a十b十c的值 解的是 ( 为 A.x2+4x=23 B.(x-1)(x-2)=3 11.已知关于x的方程x2一2kx十k2一1=0. C.x2+2x-1=0 D.3(x-3)2=x2-9 (1)若方程有一根为5，求k的值. 7.已知下列方程，请把它们的序号分别填在最 (2)求证：不论k取何值，方程总有两个不 合适的解法后的横线上· 相等的实数根。 ①2(x-1)2=6;②(x-2)2十x2=4;③(x -2)(x-3)=3;④x2-2x-1=0;⑤x2 2x-99=0. (1)直接开平方法： (2)配方法： (3)公式法： (4)因式分解法： 8.用合适的方法解下列一元二次方程： 易错点解方程时，方程两边同时除以含 (1)(2025一2026上饶弋阳期中)(x十1) 有未知数的代数式导致失根 =16. 12.(2025一2026赣州章贡区期中)小涵与 小彤两位同学解方程3x(x一6)=(x 6)2的过程如下： 小涵的解题过程： 第一步：两边同时除以(x一6)，得3.x=x一6， 第二步：移项，得3.x一x=一6， (2)(2025一2026上饶广信区期中)5.x2-3.x 第三步：解得x=一3. =x十1. 小形的解题过程： 第一步：移项，得3x(x一6)一(x一6)2=0 第二步：提取公因式，得(x一6)(3.x一x一6)=0， 第三步：则x一6=0或3x一x一6=0， 第四步：解得x1=6,x2=3. (1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵 第一次出错在第 步，小彤第 一次出错在第 步 (2)请你给出正确的解法. 知识点③因式分解法的应用 9.注重学习过程一般我们记A”= n(n-1)…(n-m+1).例如：A?=4×3= 12,A=5×4×3=60.如果A2=20,那么x 的值为 ( A.5或4 B.-5或4 C.5或-4 D.一5或一4 上册第二十五章 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 已知识要点扫描 根是一4，则它的另一个根是 1.一元二次方程的根与系数的关系 变式题已知两根积求另一根→已知两根 如果x1,x2为一元二次方程a.x2十bx十c=0 和求另一根 b (a≠0)的两个根，那么x1十x2= a'2= 若关于x的方程x2一7x十m=0的一个 a 根为2，则另一个根为 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 一元二次方程的根与系数的关系在有关 4.已知x1,x2是方程4x一x2=2的两根，求： 一元二次方程问题中的应用比较普遍，且比较 （1)x1十x2,x1x2的值. 简洁、实用.主要应用有：(1)猃根，不解方程， (2)+2的值. 利用根与系数的关系可检验两个数是不是方 程的根；(2)已知方程的一个根，求另一个根及 未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的 关系求关于两根的代数式的值， 经典例题剖析 【例】已知x1,x2是关于x的一元二次方 程a.x2十a.x一1=0的两个根.若x1十x2十 x1x2=一2，则a的值为 【点拨】根据根与系数的关系可得x1十x2 知识点② 利用根与系数的关系在一元二次 =一1，x1x2=一 .又根据已知x1十x2十 方程中求字母的值或取值范围 a 5.若关于x的方程2x2+x一2m十1=0有一正实 x1x2=一2，可得一1 =一2，解这个方程即 数根和一负实数根，则m的取值范围是( 可得出结果 7 A.m≥16 1 B.m>2 【解】1 C.m716 .1 已基础对点训练 D.m≥2 知识点① 一元二次方程的根与系数的关系 6.已知m,n是关于x的方程x2+(2b十3)x十 1.已知一元二次方程x2一6.x一2=0的两根分 6=0的两个实数根，且满足1十1=-1。 m n 别为m,n,则m十n的值是 ( ) 则b的值是 ) A.6 B.1 C.-5D.-6 A.3 B.3或-1 2.(2025一2026高安检测)若x1,x2是一元二 C.2 D.0或2 次方程x2一3.x一1=0的两个根，则2(x1十 7.推理能力若关于x的方程x2十2(m一1)x x2)-x1·x2= ( 十m2一m=0有两个实数根a,3,且a2十B A.4 B.-5C.7 D.-7 =12,则m的值为 3.已知关于x的方程x2+mx一20=0的一个 10 九年级数学RJ版(2)根据题意，得△=m2一8n=0. n=2,∴.m2一16=0，解得m1=4,m2=一4. 当m=4时，方程为2x2一4x+2=0,解得x1=x2= 1;当m=一4时，方程为2x2十4x十2=0，解得x1= x2=一1.综上所述，此时方程的根为1或一1. 第2课时用公式法解一元二次方程 1.A2.D3.B 4.解：(1)原方程可化为x2一7x十12=0. a=1,b=-7,c=12, ∴.△=b2-4ac=(-7)2-4×1×12=1, x=7±0 2X,解得1=4x,=3. (2)a=1,b=-(2+1),c=√2， ∴.4=(-√2-1)2-4×1×2=3-22=(2-1)2， x=E+1)±(2-1)_2+1)±(2-1D 2×1 2×1 解得x1=√2，x2=1. 5.解：（答案不唯一，可以选择条件②或条件③解答） 选择条件②，则一元二次方程为x2+3x十1=0. .a=1,b=3,c=1, .△=b2-4ac=32-4×1×1=5>0, x=二3±6 2 西1=3+5 2 x,=二3-6 2 解题技巧专练巧用根的判别式解题 1.A2.D 3.C【解析】，一元二次方程m.x2一2x一1=0无实数 根，.m≠0，且△=(-2)-4m·（-1)<0,解得m< 一1，∴.一次函数y=m.x十2的图象经过第一、第二、第 四象限，∴.一次函数y=mx十2的图象不经过第三 象限 4.解：(1)关于x的方程x2-4x十3a一1=0有两个实 数根， 4=(-4)2-4(3a-1)≥0，解得a≤3： 5 5 a的取值范围为a≤3 ②a<名且a为正整数，…a马 .方程x2-4x十3a-1=0可化为x2-4x十2=0， 此方程的根为x1=2十√2，x2=2一√2， 5.解：(1)，关于x的方程x2一2x十4一m=0有两个不 等的实数根， .△=（一2）2-4×1×(4一m)>0,解得m>3. (2).m>3, "31.m-3m+mD2 2· m+1 m-3 m-1 42 九年级数学RJ版 阳9-2 6.解：(1)△ABC是等腰三角形 理由：.x=一1是方程的根， ∴.(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0, ∴.a+c-2b+a-c=0, ∴.a一b=0, .a=b, .△ABC是等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形 理由：方程有两个相等的实数根， ∴.(2b)2-4(a十c)(a-c)=0, .4b2-4a2+4c2=0, .a2=b2+c2, ∴△ABC是直角三角形. (3),△ABC是等边三角形， ∴.a=b=c, .(a十c)x2十2bx+a一c=0可整理为2a.x2+2a.x =0. .a≠0， x2+x=0, 解得x1=0,x2=一1. 25.2.3因式分解法 1.A2.C3.D 4.(答案不唯一)x2-2x一8=0 5.解：(1)因式分解，得(x-3)(5x-3)=0, .∴.x-3=0或5x-3=0, 3 解得x1=3,x2=5 (2)移项，得2(x十4)-(x十4)2=0. 因式分解，得(x十4)(-x-2)=0, ∴.x十4=0或-x-2=0, 解得x1=-4,x2=一2. 6.D 7.(1)①(2)④⑤(3)③(4)② 8.解：(1)直接开平方，得x十1=士4， 解得x1=3,x2=一5. (2)原方程可化为5.x2-4x-1=0, .5x2-5x+x-1=0, .5x(x-1)+(x-1)=0, .(5x+1)(x-1)=0, 解得=一日=1 9.C【解析】.A2=20, ∴.x(x-1)=20, .x2-x-20=0,即(x-5)(.x+4)=0, ∴.x-5=0或x十4=0， 解得x1=5,x2=-4. 10.3 11.解：(1)x2-2k.x十k-1=0, ∴.(x-k)2-1=0, .(x-k-1)(x-k+1)=0, x1=k+1,x2=k-1. 当k+1=5时，k=4; 当k一1=5时，k=6. 综上所述，k的值为4或6. (2)证明：△=（一2k)2-4(k2一1）=4>0， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. 12.解：(1)一二 (2)正确的解法：3x(x一6)=(x一6)2， 移项，得3x(x一6)-(x一6)2=0， 提取公因式，得(x一6)(3x一x+6)=0, 则x-6=0或3.x-x十6=0， 解得x1=6,x2=一3. 25.2.4一元二次方程的根 与系数的关系 1.A2.C3.5变式题5 4.解：(1)方程4.x一x2=2化简成一般形式得x2-4x+2 =0. x1,x2是方程4x一x2=2的两根， .根据一元二次方程的根与系数的关系，得x1十x2= 一4 2 -1=4x1x:=1=2. (2)'x1十x2=4,x1x2=2, 4+=+x=x十)-2x4=4-2X2 2 =6. 5.B【解析】，关于x的方程2x2+x-2m+1=0有一 正实数根和一负实数根， x1,=-2m+1<0,且4=1-4X2(-2m+1D> 2 1 0,解得m>2· 6.A【解析】由题意，得m十n=一(2b十3)，mn=b2. :1+1=-1m+=-1,-(26+3》=-1, m n’· mn 即b2-2b-3=0,解得b1=3,b2=-1.当b=3时，原 方程为x2十9x十9=0，此时△>0，方程有两个实数 根，符合题意；当b=一1时，原方程为x2十x十1=0， 此时△<0，方程没有实数根，不符合题意，舍去.综上 所述，b的值是3. 7.-1【解析】由题意，得a十B=一2(m-1),a3=m -m. a2+B2=(a+B)2-2a3=12, ∴.[-2(m-1)]2-2(m2-m)=12, 解得m1=一1，m2=4. 当m=-1时，△=(-4)2-8=8>0，符合题意； 当m=4时，△=62-4×12=-12<0，不符合题意. 综上所述，m的值为一1. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 1.C2.C3.D变式题2 4.D【解析】如图，将边长为6和x的 两个正方形分别补成长为9、宽为6 和长为9、宽为x的矩形. 16 “·线段AB将原图形分成面积相等的两部分， 六2(6+9+x)·9-x(9-x)=2(6+9+x)·9-6 X(9一6)，解得x1=3,x2=6. 5./41 6.6【解析】设其中一个正方形的边长为xcm. 由题意，得r+(5)=10。 解得x1=6,x2=8. 故较小的一个正方形的边长为6cm. 7.6【解析】设小矩形的长为x,则小矩形的宽为8一x. 根据题意，得x[x一(8一x)]=24, 解得x1=6,x2=一2（不合题意，舍去）， .小矩形的长为6. 8.解：设原正方形空地的边长为xm 根据题意，得x2一4x-5.x十4×5=240. 整理，得x2-9x-220=0, 解得x1=一11（不合题意，舍去），x2=20. 故原正方形空地的边长为20m. 9.解：设小路的宽度为xm. 根据题意可知，每个地块的长为20,4虹， 3一m,宽为 二m,面积为24m,则可列方程为204虹× 14-4.x 3 3 14-4x=24, 3 化简，得(20-4x)(14一4x)=216, 展开并整理，得2x2-17x十8=0， 1 解得工1=2x,=8. 经检验，江二。符合实际意义 故小路的宽度为2m. 第2课时传播与平均变化率问题 1.D2.1+x+x(1+x)=225 3.解：依题意，得1十x十x2=133, 整理，得x2十x一132=0， 解得x1=11,x2=-12(不合题意，舍去). 4.解：由题意得n+n2+1=421,解得n1=-21(舍去)， n2=20. 故n的值是20. 5.D6.C7.30% 上册详解详析 3