河南省信阳高级中学北湖校区2026-2027学年高一上期09月周末练习（一）数学试题

**基本信息** 立足高一新授课，融合河南地方文化（如特产概率题）与生活实践（阅读调查、书架调节），梯度覆盖函数、几何、代数、统计，培养数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）、语言（数据意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|概率计算、几何角度、函数新定义（仰顶函数）|结合“我为家乡代言”活动设计概率题，渗透文化传承| |填空题|5/15|因式分解、分式方程、正方形几何计算|基础与中档题结合，强化代数变形能力| |解答题|8/75|统计数据处理（阅读调查）、圆的证明与计算、函数综合应用（一次函数与反比例函数）、实际利润方案、几何探究（正方形矩形类比）|第17题通过阅读调查数据培养数据意识，第20题进货利润问题体现模型观念，第23题几何探究发展推理能力，贴合高考命题趋势|

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高一上期09月周末练习（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D C A A A D A 11． 12． 13． 14． 15． 16．（1）；（2） 【详解】（1）原式 （2）原式 17．(1)12 ， 8 (2)1.3 ， 1.3 (3)72 (4) 【分析】本题主要考查频数分布表，扇形统计图以及求概率： （1）在阅读时间在1.0~2.0h范围内的数据中可以得出的频数a，的频数b； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）先计算C组所占百分比，再乘以即可得到圆心角的度数； （4）运用列表得出所有等可能的结果数和选中“1男1女”的结果数，再根据概率公式求解即可 【详解】（1）解：阅读时间在范围内的数据中有1.3，1.2，1.3，1.1，1.4，1.3，1.2，1.3，1.0，1.3，1.4，1.2，共12个， 故； 内的数据为1.5，1.7，1.5，1.8，1.7，1.5，1.6，1.9，共8个， 故； 故答案为：12；8 （2）解：在中的数据按大小顺序排列为：1.0，1.1，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.3，1.3，1.4，1.4， 其中，1.3出现次数最多，故众数是1.3； 按大小顺序排列，最中间两个数据是1.3，1.3， 所以，中位数是 故答案为：1.3，1.3 （3）解：， 故答案为：； （4）解：列表如下： 男 男 女 男 （男，男） （女，男） 男 （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） 由上表可知，所有等可能的结果共有6种，其中恰好抽到1男1女的结果有4种， 所以恰好选中“1男1女”的概率是. 18．(1)证明：∵是的切线，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的 ． （1）先证明，则，由，得到，继而求证； （2）连接，为的直径，，则，，先求，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵半径为5 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴ ， ∴， ∴． 19．(1)， (2)或 (3)，4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设，表示出即可求解． 【详解】（1）∵在反比例函数的图象上 ∴ ∴反比例函数的解析式为 ∵在反比例函数的图象上 ∴，解得： ∴ ∵在一次函数的图象上 ∴，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）根据图象可得不等式的解集为：或； （3）由（1）可知，， 设，则， ∴ ∴ ∴当时，的面积最大为4， ∴． 20．(1)30元，50元 (2)A商品800件，B商品200件，17000元 【分析】设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元，根据题意可列方程组，即可求A、B两种商品每件的进价； （2）根据利润=A商品利润+B商品利润，列出函数关系式，再根据一次函数的性质可求最大利润． 【详解】（1）解：设A、B两种商品每件的进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种商品每件的进价分别是30元，50元； （2）解：设A商品a件，B商品件，利润为m元 根据题意得：， 解得：， ， ∴m随a的增大而减小 ∴时，m的最大值为17000元． ∴A商品800件，B商品200件． 【点睛】本题考查一次函数的应用、不等式组的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 21．(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）仿照材料中的解法，把转化为或． （2）把看作一个整体，由得或，分别求解即可． （3）由的解集形式可知，去绝对值后得到关于的不等式组，再与已知解集对比，求出、的值． 【详解】（1）解：表示数轴上到原点距离大于或等于的数， 或． （2）解：， 或， 当时，， 当时，， 不等式的解集为或． （3）解：的解集为， ， ， ， ． 又已知解集为， ， 解得：， ， ． 22． 【分析】过C作于F，过D作于G，于H，根据矩形的判定与性质得出，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，然后根据线段的和差关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：过C作于F，过D作于G，于H， 则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵C是的中点，， ∴， 在中，， ∴， 即点D到的距离为． 23．（1）如图1， 取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图2， 在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3， ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线与G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高一上期09月周末练习（一） 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．若，则的值是（　　） A．10 B． C．3 D． 2．河南地处中原，物产丰饶，许多特产闻名全国，灵宝苹果、新郑红枣、信阳毛尖、焦作山药就是其中的代表．小明参加学校举办的“我为家乡代言”活动，打算从以上四种特产中随机选择两种分别拍摄宣传短片．若选到每种特产的可能性相等，则恰好选中灵宝苹果和信阳毛尖的概率是（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线，若，则（     ） A． B． C． D． 4．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 5．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为(     ) A． B． C． D． 7．定义运算：．例如．则方程的根的情况为（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 8．新定义：对于二次函数和，若的顶点坐标在的顶点坐标上方，则是的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”．若无论取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，点在边上运动，连接，将矩形沿直线折叠，点的对应点为，当点落在矩形对角线所在的直线上时，的长为（   ） A．2 B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．分解因式______． 12．分解因式______． 13．若分式方程的解是，则的值为__________． 14．已知，化简得____________． 15．如图，在正方形中，点是边上一点，连接交对角线于点，连接．若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（9分）“一字一世界，一书一天堂.”读书能丰富人的精神世界，启智润心，要让读书成为一种习惯，成为一种有品质的生活方式.为了解成年人的阅读情况，某社区进行了家庭成年人阅读情况调查，社区工作人员随机抽取了40户家庭进行问卷调查，将调查结果分为A、之内、B、、C、、D、以上四个等级，下面是部分统计结果. 阅读时间在1.0~2.0h范围内的数据如下： 1.3，1.5，1.2，1.7，1.3，1.1，1.5，1.4，1.3，1.8， 1.7，1.2，1.3，1.0，1.3，1.4，1.5，1.6，1.2，1.9 等级 阅读时间/h 频数 A 16 B a C b D 4 合计 40 请结合以上信息解答下列问题： (1)______，______； (2)B组数据的众数是______，中位数是______； (3)统计图中C组对应扇形的圆心角为______度； (4)该社区宣传工作人员有2男1女，要从中随机选2人参加阅读宣传活动，请用画树状图法或列表法求恰好选中“1男1女”的概率. 18．（9分）如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 19．（9分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 20．（10分）某超市分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件） 购进所需费用（元） A B 第一次 30 40 2900 第二次 40 30 2700 (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定A商品以每件45元出售，B商品以每件75元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 21．（10分）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图的数轴上看，大于而小于的数的绝对值小于，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解集为或． (1)绝对值不等式的解集为____． (2)求绝对值不等式的解集． (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值． 22．（10分）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 23．（10分）如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证． 【思考尝试】 （1）同学们发现，取的中点H，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $