河南省信阳高级中学（北湖校区）2025-2026学年高一下学期6月阶段检测（二）数学试题

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，以复数、向量、立体几何等为载体，通过端午节包粽子几何问题、演讲比赛统计分析等情境，考查空间观念、数据意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、向量运算、立体几何位置关系|基础概念与空间想象结合，如直观图还原| |多选题|3/18|复数性质、正方体动态问题、解三角形综合|多角度考查推理能力，如异面直线夹角范围| |填空题|3/15|向量投影、数据分位数、球内接几何体|强调运算准确性，如球体积与截面面积| |解答题|5/77|向量综合、解三角形、立体几何证明与计算、统计案例、翻折问题|情境化与综合性强，如演讲比赛成绩分析（数据意识）、翻折问题（空间观念）|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D A B C C B BD ACD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．/ 14． 15．（1）或；（2）；（3）. 【解析】（1）设，由向量平行和向量的模列出方程组可解得，得向量的坐标； （2）由可求得； （3）由求出的范围，去除两向量共线的情形即得． 【详解】（1）设，， 因为，所以，因为，所以， 解得：或，所以或. （2），， 因为与垂直，所以，解得：. （3），， 因为与的夹角为锐角，所以解得：且， 即. 【点睛】本题考查向量的模、向量共线与垂直，考查向量的夹角，掌握向量的坐标运算是解题关键．解题中要注意向量夹角为锐角，则，但反过来时，不能得出向量夹角为锐角，要去除两向量同向的情形．同样由要去除两向量反向的情形，才能得两得夹角为钝角． 16．(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 17．(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得抽到的高三学生的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，利用方差的计算公式，求得，结合，求得相应的概率，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以抽取的200名学生的平均成绩． （2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人， 这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为， 从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法， 其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法， 由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为． （3）依题意，由方差的计算公式，可得： ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为， 因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人． 19．(1) 翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M，可得二面角的平面角和二面角的平面角分别为和，由可得，根据几何关系证明为平行四边形，结合线面平行的判定定理即可证明结论； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心，过作交于点，设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球且面，结合长度关系即可求解； （ii）由题可得面且，得到，利用化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，，，则 4．已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ）． A．3 B．2 C． D．1 5．已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（   ） A．108 B．112 C．120 D．124 6．设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为6cm的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知为虚数单位，为复数，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最小值为1 10．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（     ） A．过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为 11．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，若，则（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．的取值范围为 C．若，则 D．若的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，若，向量在向量上的投影向量为_______. 13．某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 14．已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知平面向量，. （1）若，且，求的坐标； （2）当为何值时，与垂直； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（15分）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 17．（15分）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率）， 参考数据： 19．（17分）如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $