精品解析：河南省信阳高级中学（北湖校区）2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足（其中是虚数单位），则（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ， . 2. 已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到的坐标，再利用与垂直求解. 【详解】解：因为向量， ， ， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 故选：D 3. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角. 【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 4. 若，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率. 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 5. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确； 对于选项B，，，，所以， 因为，，所以，，，所以，所以，故B正确； 对于选项C.，若，则或，故C错误； 对于选项D， 若，，平面 作直线，则， 又因为，所以，因为，，所以，，所以，故D正确. 6. 已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数的定义结合已知条件求出 、 的值，即可求得的值． 【详解】解：甲组数据25，27，36， ，43，57共6个数， 乙组数据23， ，32，43，47，54共6个数， 由，则甲组数据的分位数为27，可知； 由，则乙组数据的分位数为，可知，． 则． 故选：B． 7. 如图，在棱长为12的正方体中， 分别是棱的中点，平面与直线交于点 ，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A. 8. 在锐角 中，角的对边分别为， 的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，求得，得到，再由 为锐角三角形，求得，结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，且， 所以，由余弦定理可得， 又因为，所以， 因为 为锐角三角形，则满足，可得， 由正弦定理得， 又因为，所以，可得，可得. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知，，则在上的投影向量的坐标是 C. 若两非零向量，满足，则 D. 平面直角坐标系中，，，，则 为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可判断A错误；根据投影向量的概念可判断B正确；由，同时平方可得，故可判断C正确；由，，可得，，进而可得，即，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以与不可以作为平面内所有向量的一个基底，故A错误； 对于B，在上的投影向量的坐标为，故B正确； 对于C，因为，所以，化简得，又，是非零向量，所以，故C正确； 对于D，因为，，，所以，， 所以，所以，所以 不是锐角三角形，故D错误. 故选：BC. 10. 某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（ ） A. 若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人 B. 若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人 C. 这次一年级数学月考的平均及格率为 D. 若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据随机抽样，分层抽样，以及平均数公式，可判断ABC，分别根据3个班的及格人数，可判断概率大小. 【详解】A.如果是按照分层抽样甲班应抽取人，但是用简单随机抽取 就不一定了，故A错误； B.按照分层抽样，丙班应抽取人，故B正确； C.一年级的平均及格率为，故C正确； D.甲班及格的有20人，乙班及格的有30人，丙班及格的有28人，从这次一年级数学月 考及格的学生中随机抽1人，来自甲班的概率为，来自乙班的概率为， 来自丙班的概率为，所以该学生来自乙班的概率最大，故D错误. 故选：BC 11. 如图，在四棱锥中，，， ，，平面，设 ， ， ，的中点分别为 ， ， ， ，则（ ） A. ， ， ， 四点共面 B. 平面平面 C. 四棱锥的表面积为 D. 异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间中点，直线，平面的位置关系，可判断选项A，选项B，利用三角形及梯形的面积公式可判断选项C，利用异面直线所成角的定义及求解可判断选项D. 【详解】选项A，因为 ， ， ，的中点分别为 ， ， ， ，所以，，所以，所以 ， ， ， 四点共面，故选项A正确； 选项B，因为平面， 平面，所以，又因为 ，，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面平面 ，故B选项正确； 选项C，因为，，，， 所以，， ，， 又因为，所以， 所以， 故四棱锥的表面积为，故C选项错误； 选项D，因为 ，的中点分别为 ， ，所以，所以即为异面直线与所成角，在 中， ，，，所以，即异面直线与所成角的正切值为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则 ________． 【答案】1 【解析】 【分析】求出组数据的平均数和方差，令方差为3.6求出 即可. 【详解】这组数据的平均数为， 所以这组数据的方差为， 得，解得舍去，或. 故答案为：1. 13. 如图，是 用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为_______ 【答案】## 【解析】 【详解】因为，，所以，，，，. . 14. 在三棱锥中，，点 在底面的投影 为 的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得 的外心为斜边 的中点，且 的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为 ，外接球的半径为 ，连接，利用勾股定理求出 ，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以 的外心为斜边 的中点，且 的外接圆的半径， 因为平面 ，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为 ，外接球的半径为 ，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知m为实数，设复数． （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出关于 的不等式组，解出即可； （2）先得z在复平面内对应的点的坐标，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以； 【小问2详解】 复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点的坐标满足，所以． 解得或， 所以m的取值范围为. 16. 抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为 ，黄色骰子与地面接触的面上的数字为 ， （1）求“为偶数”的概率； （2）求“”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数，两次数字之积为偶数包含的基本事件个数为12，利用古典概型求概率． （2）利用列举法求出基本事件总数，满足包含的基本事件个数为10，利用古典概型求概率． 【小问1详解】 由题意知，样本空间，，共16个样本点. 设事件“为偶数”，则 ，共12个样本点. 所以，即“为偶数”的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，样本空间包含16个样本点. 设事件“”，则，，共10个样本点. 所以，即“”的概率为. 17. 每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中 的值； （2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 【答案】（1） （2） （3）59，60 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可得到 的值； （2）再将各区间的中点值乘以对应的频率，并求和，即可得样本数据的平均值； （3）由分层抽样的方差公式求解. 【小问1详解】 由题意知，， 解得 ； 【小问2详解】 根据频率分布直方图， 所以； 【小问3详解】 由频率分布直方图知， 落在､的样本数据的频数分别为60，40， 所以， 所以. 18. 已知 ，，分别是 的内角 ， ， 的对边，且. （1）求; （2）若,且 的面积为，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由和差角公式可得求解， （2）根据同角关系可得，进而由面积公式得，利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在 中，， 由正弦定理得:，则， 即，即， 由正弦定理得，即; 【小问2详解】 由，,得， 则，得， 由余弦定理得， 即，整理得， 即，解得 ， 则， 所以 的周长为. 19. 如图，在四棱台中，底面 是正方形，平面 ，，，. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）若点P是正方形 内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面 所成角为 ，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于 ，则可得，进而得到四边形为平行四边形，利用线面平行的判断即可证得平面； （2）利用等体积法可求线面距离； （3）由空间中垂直关系的转化可得点 的轨迹为 ，根据线面角的定义可知为与面 所成的平面角，然后可得的取值范围. 【小问1详解】 连接AC交BD于 ，连接，则，因为， 由四棱台的性质可得，且，故四边形为平行四边形， 故，平面面，故面. 【小问2详解】 面， 直线到平面的距离等价于点 到平面的距离， ， ，，，， 取DC中点 ，连，， 可得，而平面 ， 故平面 ，由 平面 ， 故，，得， ，，故， 故，故. 【小问3详解】 连接，因为，由四棱台的性质可得， 故四边形为平行四边形，故， 故平面 ，而平面 ，故， 又 ，，平面，故平面， ，点 在面 内的动点， 点面面， 面 ，为与面 所成的平面角， ，DO最小为，最大为4 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期06测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z满足（其中是虚数单位），则（   ） A. B. C. D. 2. 已知向量， ， ，若与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据——甲组：25，27，36，m，43，57；乙组：23，n，32，43，47，54．若这两组数据的分位数和分位数分别对应相等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为12的正方体中， 分别是棱的中点，平面与直线交于点 ，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 8. 在锐角 中，角的对边分别为， 的面积为S，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知，，则可以作为平面内所有向量的一个基底 B. 已知，，则在上的投影向量的坐标是 C. 若两非零向量，满足，则 D. 平面直角坐标系中，，，，则 为锐角三角形 10. 某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（ ） A. 若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人 B. 若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人 C. 这次一年级数学月考的平均及格率为 D. 若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大 11. 如图，在四棱锥中，，， ，，平面，设 ， ， ， 的中点分别为 ， ， ， ，则（ ） A. ， ， ， 四点共面 B. 平面平面 C. 四棱锥的表面积为 D. 异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则 ________． 13. 如图，是 用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为_______ 14. 在三棱锥中，，点 在底面的投影 为 的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知m为实数，设复数． （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 16. 抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为 ，黄色骰子与地面接触的面上的数字为 ， （1）求“为偶数”的概率； （2）求“”的概率. 17. 每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中 的值； （2）求样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）已知落在样本数据的平均值是53，方差是4；落在样本数据的平均值是68，方差是9.求落在样本数据的平均值和方差. 18. 已知 ，，分别是 的内角 ， ， 的对边，且. （1）求; （2）若,且 的面积为，求 的周长. 19. 如图，在四棱台中，底面 是正方形，平面 ，，，. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）若点P是正方形 内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面 所成角为 ，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $