学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（云南专用，新教材人教版九年级上册第25～27章：一元二次方程+二次函数+反比例函数）

**基本信息** 立足九年级上册25-27章核心内容，以抗日战争胜利80周年纪念册设计、庭院石板路宽度等真实情境为载体，融合一元二次方程、二次函数与反比例函数知识，体现数学眼光观察、思维推理及语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|一元二次方程定义、二次函数性质|结合水滑梯滑道（二次函数应用）考查建模能力| |填空题|4/8|反比例函数图象、根与系数关系|通过函数对应值表辨析二次函数性质（推理意识）| |解答题|8/62|方程求解、函数综合应用|茶叶销售问题（二次函数利润最值）与抛物线证明题（运算能力与创新意识）梯度设计|

2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 4．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 5．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 7．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 8．点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 11．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 12．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 13．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 14．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 15．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到对称轴，求出直角边的长度，再利用证明，进而逐一判断各选项结论是否成立． 【详解】解：在中，，， 为等腰直角三角形，， 设， ， ，即， ， ∵， ∴ 该二次函数的对称轴为， 由图可知，函数图象对称轴为， ， 解得， 即． 连接， 是等腰斜边的中点， ，，， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形，故选项正确； 是面积的最大值， 当（对称轴处）时，，， ，即，故选项正确； 是等腰直角三角形， ， 为定点，在上运动， 当时，最小，此时为中位线， 则， 当与（或）重合时，最大， 由勾股定理：， ，即最大值为， 周长最大值为， 的周长不可能等于，故选项错误； 由，得， ， 是中点， ， 又， ， 即四边形的面积为，故选项正确． 综上所述，说法不正确的是C选项． 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．已知点在反比例函数的图象上，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将点代入，则， 解得， 故答案为：． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 18．m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键．m是抛物线与x轴交点的横坐标，即m是方程的根，由方程可直接得出的值． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根，即， ∴． 故答案为：2． 19．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④/④③ 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（7分）解方程： (1) (2)． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ 解得． 21．（6分）已知关于的方程． (1)判断此方程根的情况； (2)若是该方程的一个根，求代数式的值． 【详解】（1）解：， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程，得，即， ． 22．（7分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作了一本抗日战争胜利纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽．求封面四周边衬的宽度． 【详解】解：设封面四周边衬的宽度为， ∵封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽． ∴， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去） ∴封面四周边衬的宽度为， 23．（6分）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 【详解】（1）解：（立方米）， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：当时，（天）， ∴蓄水池剩余的水能维持36天． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质和意义是解题的关键． 24．（8分）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为5， ∴． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 【详解】（1）解：令，解得，则， 将代入，则， ∴， ∴， 取中点D，则，，即， 分别过点C，点D作y轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数交于点C， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，， 当时，反比例函数的图象在直线的图象上方，且反比例函数的图象与直线的图象都在轴上方， ∴的x的取值范围为． 26．（8分）综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为． （2）解：设每天获取的利润为元， 由题意得，， ∵该茶叶的日销售量不低于80千克， ∴， 解得， ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ∴时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为， 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元． 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，为整数，且的值为整数，求点的坐标； (3)若点在该抛物线图象上，且，，求证：． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：在该抛物线上， 把代入中， ， ， ， 为整数，而1的因数有， ∴或， 或1， ， ∴点的坐标为或； （3）证明：点在该抛物线图象上， ， ， ， ，即； ， ； ， ； ， ； ． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16._______________ 17. ___________ 18. _________________ 19. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 20.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22.（7分） 23．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． （8分） 25． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（8分）     27． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ===-==-。。==--=--。====-=●一一==- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 13.[A][B][C[D] 4.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 14.[A][B][C][D] 5.IA][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 15.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16. 17. 18 19 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 20.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(7分) 23.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 25.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(8分) 27.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版九年级上册（25—27章）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 4．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 5．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 6．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 7．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 11．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 13．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 14．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 15．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．已知点在反比例函数的图象上，则__________． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 18．m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 19．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（7分）解方程： (1) (2)． 21．（6分）已知关于的方程． (1)判断此方程根的情况； (2)若是该方程的一个根，求代数式的值． 22．（7分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作了一本抗日战争胜利纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽．求封面四周边衬的宽度． 23．（6分）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 24．（8分）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 26．（8分）综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，为整数，且的值为整数，求点的坐标； (3)若点在该抛物线图象上，且，，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版九年级上册（25—27章）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 4．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 5．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 6．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 7．已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 9．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 11．在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 13．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 14．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 15．如图，在中，，，分别是边，上的动点，且，是的中点，连接，，，设，的面积为，图是关于的函数图象，则下列说法不正确的是（     ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于 D．四边形的面积为 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．已知点在反比例函数的图象上，则__________． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 18．m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 19．已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（7分）解方程： (1) (2)． 21．（6分）已知关于的方程． (1)判断此方程根的情况； (2)若是该方程的一个根，求代数式的值． 22．（7分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作了一本抗日战争胜利纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积为，其中上、下、左、右边衬等宽．求封面四周边衬的宽度． 23．（6分）云南某山区冬季经常缺水，政府在山顶修建了一大型蓄水池．据统计，按每天用水立方米计算，蓄水池剩余的水一个月（30天）刚好用完．如果每天的用水量为x立方米，那么这个蓄水池的水能维持y天． (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)如果每天用水立方米，那么蓄水池剩余的水能维持多少天？ 24．（8分）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线，与y轴交于点A，与x轴交于点B，反比例函数与直线l交于点C，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据函数图象，直接写出的x的取值范围． 26．（8分）综合与实践：根据素材回答问题： 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元，经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． (1)任务1：求出与的函数关系式； (2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 27．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在该抛物线上，为整数，且的值为整数，求点的坐标； (3)若点在该抛物线图象上，且，，求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 6 7 10 11 12 13 14 15 C D C 第二部分（非选择题共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16.-2 17.-2025 18.2 19.③④ 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20.(7分) 【详解】(1)解：，x2-6x+8=0, :(-4x-2）=0 解得5=45=2 ;(3分) (2)解：(x+2y=(2x-3 :(x+2)-(2x-3}=0 .(c+2+2x-3[x+2-(2x-3]=0 .(3x-105-x)=0 解得5=35=5.(7分) 21.(6分) 1/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(d)解：A=(-2m)-4×1x(m2-3)=12>0 ·方程有两个不相等的实数根：(3分) (2)解：将x=-2代入方程，得4+4m+m2-3=0,即m2+4m=-1, ∴2m2+8m-3=2(m2+4m)-3=-2-3=-5 .(6分) 22.(7分) 【详解】解：设封面四周边衬的宽度为cm, ,封面设计成长24cm、宽20cm的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，且四周边衬所占面积 为84cm2,其中上、下、左、右边衬等宽. :(24-2r20-2r）=24×20-84 ÷12-10-r）=99 整理得r2-22r+21=0 :-00-21)=0 解得-↓5=21>20 (舍去) ∴，封面四周边衬的宽度为lcm,(7分) 23.(6分)【详解】(1)解：0.6×30=18（立方米）， V与之间的函数关系式为：y= x:(3分) 2少解：当x-05时.格-6（天， ∴.蓄水池剩余的水能维持36天.(6分) 24.(8分) =(m-3)xm-7+12x-1 【详解】(1)解：，函数 是关于x的二次函数， ∴.m2-7=2且m-3≠0， ∴.m=-3;(4分) 2/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 =-6x2+12x-1=-6(x-1)2+5 (2)由(1)可知，二次函数的解析式为 ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1, ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， -2≤x≤2 当=2时，函数值最小为”=6x2-少+5=49 当x=1时，函数值最大为5， ·-49≤y≤5.(8分) 25.(8分) 【详解】(1)解：令片=2x+4=0 解得=-2，则 (-2,0) 将x=0代入 、片=2x+4y=4 ,则 、A(0,4) .0A=4, -2+00+4 D 取AB中点D,则AB=2AD, 气2’2，即D(-1,2) 分别过点C,点D作y轴的垂线，垂足分别为G,H, G A H B Y .DH=1,OH=2」 AH=OA-OH=4-2=2, 3/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .AB=2AC,AB=2AD, .AD=AC. .∠AHD=∠AGC=90°，∠BAH=∠CAG, △ADH≌△ACG(AAS) ..DH=CG=1,AH=AG=2. ∴.OG=OA+AG=6, .C(1,6) :直线1：y=2x+4与反比例函数少=交于点C, 6-卡，k=6 6 ·反比例函数的解析式为少=x:(4分) (2解：4(0,4)1,6) k 当0<x<1时，反比例函数片=x的图象在直线1：片=2x+4的图象上方，且反比例函数片=x的图象与直 :片=2x+4 线 的图象都在“轴上方， 0<y<y2 的x的取值范围 0<x<1.(8分) 26.(8分) 【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=c+b, 起（60,120）(80,80) 代入得， 60k+b=120 80k+b=80, 4/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 [k=-2 解得b=240, :y与的函数关系式为 =-2x+240(60<x≤100) 3分) (2)解：设每天获取的利润为w元， 由题意得，w=(x-60)(-2x+240)=-2x+360x-1400=-20x-90y+1800 ,该茶叶的日销售量不低于80千克， -2x+240≥80， 解得x≤80 ,每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， ∴.60<x≤100. .60<x≤80， a=-2<0, ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线x=90, .x≤90时，w随x的增大而增大， ÷当x=80时，”取得最大值为-2(80-90+1800=1600 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元.(8分) 27.(12分) 【详解】（山）解：“抛物线'=ar-4ax+3g (1,0) 经过点 .a-4a+3=0,解得a=1, 六该抛物线的解析式为 =x2-4x+3 :(3分) .P(m,n (2)解： 在该抛物线上， “把P(川代入y=-4+3中， ∴.n=m2-4m+3 517 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 T=n+)+1 m-2, T-m2-m++1_a-2+1-m-2+ m-2 m-2 m-2 m,T为整数，而1的因数有±1， .m-2=1或m-2=-1, ∴m=3或1， .%=2=0 “点P的坐标为 0)或07分) ③)证明：“点D(≠0) 在该抛物线图象上， ∴.t=r2-4r+3=(-3)(r-1) 3-5r-31 C-_-30-1) 3-s r-3, .-1=1 3-s ∴r+s=4,即S=4-r: .r2-s2-8r+24=r2-(4-r）/-8r+24=r2-16+8r-r2-8r+24=8 -4r4+4r3s+8r2s2+48r3-64r+2048 =-4r+4r3(4-r）+8r2(4-r）+48r3-64r+2048 =-4r4+163-4r4+128x2-64r3+8r4+48r3-64r+2048 =128r2-64r+2048 ； 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 :M=4r+4rs+82g2+483-64r+2048 r2-s2-8r+24 M-1282-64r+2048=16r2-8+256=(4r-1+25, 8 ×(4r-1)2≥0 ∴.(4r-1)+255≥255 .M≥255.(12分) 7/7