2026-2027学年华东师大版九年级数学上册第一次学情自测（培优卷）

**基本信息** 聚焦二次根式与一元二次方程，融合秦九韶公式、《九章算术》等文化素材及智能手环销售、商铺出租等实际情境，梯度设计适配九年级培优学情，可量化知识掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二次根式取值范围、方程根定义、新定义运算|第10题以秦九韶公式考查数学文化传承| |填空|5/15|方程一般形式、同类二次根式、邻根方程|第15题“邻根方程”新定义培养创新意识| |解答|8/75|解方程、实际应用、新定义证明|第19题智能手环销售问题发展模型观念，第22题“和积方程”考查推理能力|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测（培优卷） 【新教材华东师大版】 本卷满分120分，考试时间100分钟。 测试范围：第20章 二次根式~第21章 一元二次方程 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时100分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 3．（本题3分）设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（本题3分）点在第四象限，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 7．（本题3分）用换元法解方程时，设，原方程可化为（    ） A．y2＋y－6＝0 B．y2＋y＋6＝0 C．y2－y－6＝0 D．y2－y＋6＝0 8．（本题3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）若，且，，则=（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）我国南宋时期数学家秦九韶（1202～1261）著有《数书九章》十八卷，是反映我国当时数学成就的代表作．书中记载了秦九韶独立发明的“三斜求积术”，是我国古代数学的辉煌成就之一．如果将三角形三边分别记为，，，则三角形的面积为，这就是著名的秦九韶公式．若在中，，，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）将方程化为一般形式__________． 12．（本题3分）为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 13．（本题3分）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 14．（本题3分）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____，_____ 15．（本题3分）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 三、解答题（共75分） 16．（本题6分）计算： (1)； (2)． 17．（本题9分）先化简，再求值：，其中． 18．（本题12分）解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 19．（本题9分）某电子产品店紧跟科技潮流，计划购进一批智能手环和智能手表进行销售，以满足大众的健康管理需求．首次购进智能手环和智能手表共200个．每个智能手环进价为50元，售价定为80元；每个智能手表进价为200元，售价定为300元． (1)若所有智能手环和智能手表全部售空，要求总利润不低于13000元，则该店最多可购进智能手环多少个？ (2)第二次购进时，因市场需求旺盛，该店决定共购进400个商品，进价不变．其中智能手环的进货量在（1）的最大值基础上增加个，售价提高元．而智能手表在运输过程中有损坏无法销售，售价保持不变．最终第二批商品全部售完后总利润为26700元，求的值． 20．（本题10分）阅读材料，完成任务：我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简___________；___________． (2)计算：； (3)已知，求的值． 21．（本题10分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 22．（本题9分）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 23．（本题10分）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级数学上学期第一次学情自测（培优卷）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A B D C C A D 1．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 2．A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 3．D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 4．A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 5．B 【分析】先由点所在象限确定a的取值范围，再将二次根式化为绝对值形式后化简计算． 【详解】解：∵点在第四象限 ∴， 解得 ∵ ∴， ∴原式． 6．D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 7．C 【详解】分析：换元法即是整体思想的考查,解题的关键是找到这个整体,此题的整体是 ,设=y,换元后整理即可求得. 详解：设y=,则原方程可变为y2－y－6＝0 , 故选C. 点睛：本题考查了用换元法解方程,解题关键是能准确的找出可用替换的代数式,再用字母y代替解方程. 8．C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 9．A 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 10．D 【详解】解：将，，代入，得 ， ， ， ， ， ． 11． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中a、b、c是常数，），据此计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】先根据完全平方公式化简，再分别将四个运算符代入计算，判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：， 当填时，原式，是有理数，符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求． 13． 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 14． 【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 15．或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 16．(1) (2) 【分析】（1）用平方差公式和完全平方公式展开，去括号合并常数项化简； （2）根据二次根式乘除法则分别计算，分式部分先化简分子根式再约分，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．， 【分析】先把括号内的式子通分，把除法变为乘法并利用平方差公式因式分解，再约分计算得出最简结果，最后代入的值计算即可得出答案． 【详解】解： 当时，原式 18．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 19．(1)100个 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该店购进智能手环x个，则购进智能手表个，根据总利润不低于13000元列出不等式求解即可； （2）根据题意可得智能手环的数量为个，每个的利润为元，则智能手表的数量为个，据此分别求出智能手环和智能手表的利润，再根据总利润为26700元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该店购进智能手环x个，则购进智能手表个， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为100， 答：该店最多可购进智能手环100个； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）． 20．(1)； (2)2024 (3)10 【分析】（1）根据材料提示分别将分母有理化即可解答； （2）分别将第一个括号内的每一项分母有理化，即可化简得到，再根据平方差公式计算即可； （3）先根据完全平方公式把原式化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴ ． 21．(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时 ， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 22．(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 23．(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为 ， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $