学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷02（新教材北师大版，范围：九年级上册第1～2章）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与特殊四边形，以中国结、电暖器销售等真实情境和探究性问题，考查几何直观、推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12/36|正方形判定、矩形性质、一元二次方程解|第8题结合方程根的判别式判断三角形形状，体现推理能力| |填空|4/16|配方法、菱形面积、双循环赛制方程|第15题以篮球比赛为背景构建方程，培养模型意识| |解答|9/98|三种解法、菱形证明、动点问题、探究题|第25题通过动点探究线段关系，发展创新意识与几何直观|

11 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13._______________ 14. ___________ 15. _________________ 16.__________________ 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1.已知四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件 可以是() A.∠D=90° B.AC=BD C.AD=BC D.AB=BC 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,连接AC,BD,若∠BCA=30°，则BD的长为（) A.3 B.25 C.6 D.3V5 3.若x=1是关于x的方程ax2-x+2=0的解，则a的值为() A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠BCD=120°，对角线AC的长为() y C A.20 B.15 C.55 D.5 5.若￥，七2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x+x2-x3的值是（) 1/8 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.-11 B.11 C.1 D.-1 6.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向右侧作一个等边△CDE,则∠CAE=() D A.25° B.30° C.35 D.45° 7.已知关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为() A.-1 B.1 C.-4 D.4 8.已知关于x的一元二次方程(a+b)x+2cx+(a-b)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果方程 有两个相等的实数根，则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 9.甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为-4和 -5,乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是() A.x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 10.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业额的 增长率为x,则下面所列方程正确的是() A.90(1+x)=297.9 B.90(1-x)2=297.9 C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)=297.9 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，连接AE,AF,EF,M,N分 别为AE,AF的中点，连接MN,则MN的长为() M B A.1 B.√2 C.2 D.22 12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AD边上一点，将△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE,DH 的延长线交BC于点F,若∠DEH=60°，则FC的长为()· 2/8 画学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D H F A.4-2W5 B.1 C.8-45 D.2W5-2 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将它化为(x+m)=n的形式，则+n= 14.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中 国结装饰.测得AC=12cm,BD=16cm,则该菱形的面积为cm. 15.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制 (即每两支球队之间进行两场比赛)，已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有支， 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,∠DBC的平分线BE交CD于点E,EF⊥BD于点F,点G为 BE的中点，连接AG,则AG的长为 E G 3/8 学科网·学易金卷 www zxxk.co m 做好卷，就用学易金卷 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17(12分)·解一元二次方程： (1)x2+4x+1=0(配方法) (2)2x2+3x-1=0（公式法) (3)x(x+2)=3x+6(因式分解法) 18(10分)·如图，AB=AC,画出点A关于BC的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABAC是菱 形 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19(10分)·如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥DC,AB⊥AD,求证：四边形ABCD是矩形. D B 20(10分)·关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0. (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围 (2)若方程有两个实数根x、且满足x2+x22=5,求k的值。 21(I0分)·如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC,连接EC. D B (I)求证：BD=EC. (2)求证：S菱形Bcn=S△AEc. 5/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22(10分)·随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经 调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施. (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由. 23(12分)·爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法.如：解方程 x(x+4)=6. 解：原方程可变形，得，[(x+2)-2][(x+2)+2]=6, 整理得，(x+2)-22=6, 所以，(x+2)2=10, 所以，直接开平方得，x+2=10,或x+2=-0. 所以，原方程的解为：x=-2+V10,x2=-2-√10 (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程(x-3)(x-9)=3时，写的解题过程. 解：原方程可变形，得，[(x+m+n[(x+m)-n=3, 整理得，(x+m-n2=3, 所以，(x+m)=3+m2, 所以，直接开平方得，x+m=V3+n,或x+m=-√3+n, 所以，原方程的解为：；=-m+V3+n，七，=-m-√3+m. 请直接写出上述过程中的，n的值及方程(x-3)(x-9)=3的根： (2)请用小强同学发现的新解法解方程：(x-11)(x+5)=36. 6/8 学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24(12分)·如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A(0,5),C(25,0).动点M在线段AB上以 每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段OC上以每秒1个单位长度的速度由点O向点 C运动（当点M到达点B时，点N停止运动），设运动时间为t秒. A B 0 (1)AM= BM- ON= CN= (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，四边形MOB是平行四边形？ (3)若改变点N的运动速度，其他条件不变，直接写出当N的速度为 时，能够使四边形MONB成 为菱形. 7/8 学科网·学易金卷 www zxx k.com 做好卷，就用学易金卷 25(12分)·我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多 题归一，做到举一反三、推陈出新， 【问题提出】M是正方形ABCD边AB上的一个动点（不与A,B重合），∠DMN=90°，且MN交正方形外 角∠CBE的平分线BN于点N,探究DM与MN的数量关系. M B B M E 图1 图2 【问题猜想】 (1)DM_MN;(填>”，“<”或者=”) 【问题探究】 (2)如图1，当M是AB上的中点时，探究DM与MN的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为AB延长线上的任意一点时，探究DM与MN的数量关系，并说明理由. 8/8 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13.________________ 14.________________ 15.________________ 16.________________ 三、解答题（共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18（10分） 19（10分） 20（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22（10分） 23（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6][B][G]D] 10 [A][B][c][D] 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 11[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][c][D] 12 [A][B][C][D] 二、填空题（每小题4分，共16分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题（共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18(10分) 19(10分) A D C 20(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22(10分) 23(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][DJ 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13. 15. 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 19.(10分) D 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 25.(12分) B M 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 四边形是矩形． ，，选项的条件均为矩形的固有性质，无法推出该四边形是正方形． 选项中，可推出该四边形是正方形． 2．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 4．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 【答案】D 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 5．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 6．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 7．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 8．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 11．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 12．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， ∵沿所在直线折叠得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 过作于，延长交于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵即， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 【答案】96 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴该菱形的面积为． 15．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有8支． 16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：取的中点H，连接,则， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 如图：过G作于I，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17（12分）．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，， ， 则， ∴，； （3）解： ​​​或 ∴，． 18（10分）．如图，，画出点A关于的对称点．请用两种不同的方法证明四边形是菱形． 【答案】如图：作，垂足为，延长到点，使，连接、， 方法一：∵，， ∴， 由作法知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 方法二：由作法知，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 19（10分）．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． 20（10分）．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 21（10分）．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； (2)证明：设点到的距离为，则，， ∵， ∴， ∴． 22（10分）．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）解：设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 解得． 答：每台电暖器应降价15元或20元． (2)不能．理由如下： 设每台电暖器降价元．根据题意，得 ， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数根． ∴该商场平均每天盈利不能达到2500元． 23（12分）．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 24（12分）．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． (1)___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 【答案】(1)，，， (2) (3)单位/秒 【详解】（1）解：矩形，，， ，， ，，． 又动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动， ，，，． （2）解：四边形是矩形， ，即． 则当时，四边形是平行四边形． ， ， ， 当时，四边形是平行四边形． （3）解：设点运动速度为每秒个单位长度， 则，，． 满足平行四边形：，①； 满足邻边相等：，，，由勾股定理： ， 则②； ， ， 解得， 代入①中有， ， 当的速度为单位/秒时，能够使四边形成为菱形． 25（12分）．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) = (2)解：， 理由：如图，作的中点P，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． (3)解： ， 理由：如图，延长使， ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 : ○ 第I卷 : : : 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1.己知四边形ABCD,∠A=B=∠C=90°，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条 .: 件可以是() A.∠D=90° B.AC=BD C.AD=BC D.AB=BC 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,连接AC,BD,若∠BCA=30°，则BD的长为() : D . A.3 B.2W5 C.6 D.35 3.若x=1是关于x的方程2-x+2=0的解，则a的值为() : A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠BCD=120°，对角线AC的长为() .. : : B C 班 区 A.20 B.15 c.55 D.5 5.若x1,53是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2-1x2的值是() 试题第1页（共8页） : 可学科网·学易金卷做概费：限彩是” A.-11 B.11 C.1 D.-1 6.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向右侧作一个等边△CDE,则∠CAE=() D A.25° B.30° C.35 D.45 7.已知关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为() A.-1 B.1 C.-4 D.4 8.已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2Cx+(a-b)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.如果方 程有两个相等的实数根，则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 9.甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为-4 和-5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是() A.x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 10.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业 额的增长率为x,则下面所列方程正确的是() A.90(1+x)2=297.9 B.90(1-x)2=297.9 C.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+901+x)}=297.9 11.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，连接AE,AF,EF,M,N 分别为AE,AF的中点，连接N,则MN的长为() A o M E A.1 B.√2 C.2 D.22 12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为AD边上一点，将△ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE,DH 的延长线交BC于点F,若∠DEH=60°，则FC的长为(). 试题第2页（共8页） 西学科网·学易金卷筒好器：限是合” A E D A.4-25 B.1 C.8-4V5 D.2W5-2 第IⅡ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，将它化为(x+m)=n的形式，则m+n= 14.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱 形中国结装饰.测得AC=12cm,BD=16cm,则该菱形的面积为cm2. 15.在“五月风华，校园飞扬的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛 制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有支. 16.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,∠DBC的平分线BE交CD于点E,EF⊥BD于点F.点G 为BE的中点，连接AG,则AG的长为 G B 试题第3页（共8页） 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17(12分).解一元二次方程： (1)x2+4x+1=0(配方法) (2)2x2+3x-1=0(公式法) (3)x(x+2)=3x+6(因式分解法) 兵 >河 擗 18(10分).如图，AB=AC,画出点A关于BC的对称点A'.请用两种不同的方法证明四边形ABA'C是 菱形. A 习 肉 性 试题第4页（共8页） 19(10分).如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥DC,AB⊥AD,求证：四边形ABCD是矩形 D C 20(10分).关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0. (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围. (2)若方程有两个实数根x1、七且满足x2+x2=5,求k的值. 0 21(10分).如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC,连接EC. D 柴 怒 B (I)求证：BD=EC. (2)求证：S菱形ABcD=S△4EC· O 试题第5页（共8页） 可学科网·学易金卷做树瓷：就限彩是普 22(10分).随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元， 经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台.为了增大利润，商场决定采取适当的降价措 施 (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少：如果不能，请说明理由. 23(12分).爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法.如：解方程x(x+4)=6, 解：原方程可变形，得，「(x+2)-2「(x+2)+2=6, 整理得，（x+2)-22=6, 所以，(x+2)2=10, 所以，直接开平方得，x+2=√0，或x+2=-0, 所以，原方程的解为：出=-2+√10，x2=-2-√10 (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程(x-3)(x-9)=3时，写的解题过程. 解：原方程可变形，得，[(c+m)+n[(c+m)-n]=3, 整理得，（x+m-n2=3, 所以，(x+m)=3+n2, 所以，直接开平方得，x+m=√3+n,或x+m=-√3+， 所以，原方程的解为：x=-m+V3+2,x2=--√3+n2, 请直接写出上述过程中的m,n的值及方程(x-3)(x-9)=3的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：（x-11)(x+5)=36. 试题第6页（共8页） @学科网·学易金卷做怒烧：然限是音普 24（12分).如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A(0,5),C(25,0).动点M在线段AB上 以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段OC上以每秒1个单位长度的速度由点O 向点C运动（当点M到达点B时，点N停止运动）.设运动时间为t秒 环 A O (1)AM= BM= ON= CN= (用含t的代数式表示) (2)当t为何值时，四边形MONB是平行四边形？ (3)若改变点N的运动速度，其他条件不变，直接写出当N的速度为 时，能够使四边形MONB 成为菱形. 试题第7页（共8页） 25(12分).我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、 多题归一，做到举一反三、推陈出新 【问题提出】M是正方形ABCD边AB上的一个动点（不与A,B重合），∠DMN=90°，且MN交正方形 外角∠CBE的平分线BN于点N,探究DM与MN的数量关系. 年 AM B E B M E 图1 图2 帐 【问题猜想】 (1)DM_MN;（填>”，<或者=) 【问题探究】 (2)如图1，当M是AB上的中点时，探究DM与MW的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为AB延长线上的任意一点时，探究DM与MN的数量关系，并说明理由， 擗 习 肉 性 O 试题第8页（共8页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 4 > 8 10 11 12 D C A D 0 B A B D B 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 √85 13.3 14.96 15.8 16.3 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17. 【答案】（④=-2+5与=-2-5 ②专3+ 4, 53方 4 8)-25=3 【详解】(1)解：x2+4x+1=0 x2+4x+4=3 (x+2)2=3 (2分) x+2=±V5 :5=-2+56=-2-5 (4分) (2)解：2x2+3x-1=0 a=2,b=3,c=-1 △=32-4×2×(-1)=17>0 (6分) 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则*3达仿 4, :考34何 6-3而 4. 4 (8分) (3)解：x(+2)=3r+6 x(x+2)=3(x+2) x(x+2)-3(x+2)=0 (x+2)(x-3)=0 (10分) x+2=0或x-3=0 :=-25=3 (12分) 18. 【答案】如图：作AO⊥BC,垂足为O,延长AO到点A,使OA=OA,连接AB、AC, (2分) 方法一：：AB=AC,AO⊥BC, ..OB=OC, 由作法知OA=OA, .四边形ABA'C是平行四边形， (4分) .AA⊥BC, 四边形ABAC是菱形： (6分) 方法二：由作法知，OA=OA,AA⊥BC, .AB=A'B,AC=A'C, 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AB=AC, (8分) .AB=A'B=A'C=AC. 四边形ABA'C是菱形. (10分) 19. 【答案】 证明：，AB⊥AD, .∠A=90°， (4分) AB∥DC. .∠D=180°-∠BAD=90°， (4分) 又∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形. (10分) 20. 【答案10> (2)k=1 【详解】(1)解：，方程有两个不相等的实数根， :△=(2+1-4(k2+1)=4k-3>0 解得、3 4· (4分) 》解淡于台天三发方积4以+加+术-0有商个安数根气与 片+5=-2-1与x=2+1 (5分) +=G+-2名=(-2k-1-2k2+1)=5 =-3k2=1 解得 (7分) 方程有两个实数根， A=(2+-4:+)=4-320,解得k≥ , (9分) k=1 (10分) 21. 318 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】(I)证明：：四边形ABCD是菱形， .BC=CD,CDI AB (1分) ..BE=BC, ∴.CD=BE, 四边形BECD为平行四边形， (4分) BD=EC: (5分) (②F明：设点C到AB的距离为h,则Sgo=B,么，Sc方4止A, (7分) AB=CD=BE, 1 AB=号AE (9分) S菱形ABCD=S△ABC (10分) 22. 【答案】(1)解：设每台电暖器降价x元.根据题意，得 (50-x)30+2x)=2100 (3分) =15,x2=20 解得 (4分) 答：每台电暖器应降价15元或20元. (5分) (2)不能.理由如下： 设每台电暖器降价x元.根据题意，得 (50-x)30+2x)=2500 (7分) 整理，得x2-35x+500=0. .△=（-35)}-4×1×500=-775<0 (9分) 该方程无实数根 ∴.该商场平均每天盈利不能达到2500元 (10分) 23 【答案】（①）m=-6.n=3x=6+25 x2=6-23 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2②=136=-7 【详解】(1)解：原方程可变形， 得，【-6)+3][0x-6-3]-=3 整理得， (x-6)-32-=3 所以， (x-6)}=3+32 所以.直接开平方得，《-6=3+3，或-6=一3+3 所以，原方程的解为：=6+V3+32,5=6-V3+3 即m=6,n=3,=6+V3+32=6+25.x=6-V3+32=6-25 (6分) (2)解：原方程可变形，得，[x-3)-8][(x-3)+8=36 整理得， (x-32-82=36 所以， (x-3)2=36+82 (9分) 所以，直接开平方得，x-3=V56+8=10,或x-3=56+89=-10, 所以，原方程的解为：方=13，。=-7 (12分) 24. 【答案】()3t,25-3t,t,25-t 25 (24 13 (3)4单位/秒 【详解】(1)解：“矩形0ABC,A(0,5).C(25,0) ∴.0A=5.0C=25. .B(25,5)AB=0C=25.BC=0A=5 518 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又动点M在线段AB上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段OC上以每秒1 个单位长度的速度由点O向点C运动， .AM=3t,BM=AB-AM=25-3t,ON=t,CN=OC-ON=25-t. (4分) (2)解：四边形OABC是矩形， .AB‖OC,即BM IION 则当BM=ON时，四边形MONB是平行四边形. .25-3t=t, .4t=25, 25 :当=4时，四边形MONB是平行四边形. (8分) (3)解：设点N运动速度为每秒v个单位长度， ON=vt,AM =3t,BM=25-3t 满足平行四边形：BM=ON,25-31=t①： 满足邻边相等：BM=M0,M(B,5)O1=5,由勾服定理： M02=AM2+0A2=(3t)+52=92+25 则25-30=9r+25@. 625-150t+9t2=92+25 150t=600」 解得t=4, 代入①中有25-12=4v, 3 4 13 :当N的速度为4单位秒时，能够使四边形MONB成为菱形. (12分) 25」 【答案】(1)= (2分) (2)解：DM=MN 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 理由：如图，作AD的中点P,连接PM, D 04人3 M B E .DP=AP :四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠A=∠ABC=90° .∠CBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°， P,M分别是AD,AB的中点， ∴.AP=AM=PD=MB, ∴.∠1=∠PMA=45°， .∠2=180°-∠1=180°-45°=135°， .BN是∠CBE的角平分线， .∠3=45°， ∴.∠MBN=180°-∠3=180°-45°=135°， .∠2=∠MBN .·∠DMN=909 ∴.∠AMD+∠4=90° 又.∠AMD+∠5=90° .∠4=∠5 在△DPM和△MBN中， [∠5=∠4 DP=MB ∠2=∠MBN' ,△DPM≌△MBN(ASA) .DM =MN (7分) (3)解：DM=MW, 理由：如图，延长AD使DP=BM, 718 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 N 义2 K4 BIM E ,四边形ABCD是正方形 .DC∥AB,AD=AB,∠A=∠ADC=∠ABC=90°， .∠3=180°-∠ADC=180°-90°=90°，∠CBE=180°-∠ABC=180°-90°=90°， ,BN是∠CBE的角平分线， .∠4=45°， AD=AB,DP=BM, .'AD+DP=AB+BM .AP=AM, .∠P=∠AMP=45°， .∠4=∠P, .DC∥AB, .∠2=∠1， .∠3=∠DMN=90°. .∠2+∠3=∠I+∠DMN, 即∠PDM=∠BMN, 在△PDM和△BMN中， ∠P=∠4 PD=BM ∠PDM=∠BMN' △PDM≌△BMN(ASA) ∴.DM=MW (12分) 818………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 5．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 6．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 10．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 15．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17（12分）．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 18（10分）．如图，，画出点A关于的对称点．请用两种不同的方法证明四边形是菱形． 19（10分）．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形． 20（10分）．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 21（10分）．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 22（10分）．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 23（12分）．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 24（12分）．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． (1)___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 25（12分）．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 5．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 6．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 7．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，则的形状是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 10．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，，为边上一点，将沿所在直线折叠得到，的延长线交于点，若，则的长为（     ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 14．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 15．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 16．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题：本题共9小题，共98分。 17（12分）．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 18（10分）．如图，，画出点A关于的对称点．请用两种不同的方法证明四边形是菱形． 19（10分）．如图，在四边形中，，，，求证：四边形是矩形． 20（10分）．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 21（10分）．如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 22（10分）．随着气温的降低，某电器商场销售一批电暖器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，经调查发现，如果每降价1元，商场平均每天可多售出2台．为了增大利润，商场决定采取适当的降价措施． (1)商场每天要盈利2100元，每台电暖器应降价多少元？ (2)该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由． 23（12分）．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 24（12分）．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，．动点在线段上以每秒3个单位长度的速度由点向点运动，同时动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动（当点到达点时，点停止运动）．设运动时间为秒． (1)___________，___________，___________，___________（用含的代数式表示） (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点的运动速度，其他条件不变，直接写出当的速度为___________时，能够使四边形成为菱形． 25（12分）．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $