第04讲 2.2.2 直线的两点式方程（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的两点式方程”核心知识点，系统梳理两点式方程的定义、适用条件、截距式方程及中点坐标公式，衔接直线斜率、点斜式等前置知识，通过思维导图构建从概念到应用的学习支架。 资料以题型分层设计为亮点，从方程辨析到面积最值问题，结合典例与变式训练，培养学生数学思维的推理能力，融入实际情境问题发展模型意识。课中助力教师分层教学，课后精练帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第04讲 直线的两点式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 两点式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 知识点02：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 截距式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 第三部分 题型精讲 题型01直线的两点式和截距式方程辨析 【典例1】（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【分析】根据两点式方程可得直线经过两点，，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：，即可判断B，得到直线的斜率为，即可判断C. 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 【典例2】（多选）（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【答案】BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A：因为直线l过点，，所以直线l的斜率为， 设，则，故点不在直线l上，错； B：直线l的两点式方程为，对； C：若直线l的一个方向向量的坐标为，则，与A分析不符，错； D：由B中两点式方程，整理得截距式方程为，对. 故选：BD 【变式1】（多选）（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知直线，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的一个方向向量的坐标为 C．直线不经过第三象限 D．直线的截距式方程为 【答案】ACD 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用直线方向向量的概念可判断B选项；作出直线的图象，可判断C选项；将直线的方程化为截距式方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，A对； 对于B选项，直线的方向向量为， 故直线的一个方向向量为，B错； 对于C选项，作出直线的图象如下图所示： 由图可知，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，直线的方程可化为，其截距式方程为，D对. 故选：ACD. 【变式2】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段检测）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【答案】ABD 【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D. 【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确； 直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确． 故选：ABD. 【变式3】（多选）（25-26高二上·吉林延边·期中）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解. 【详解】对于A，直线方程的截距式为，其中， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，，，都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式，不能化为截距式方程，C错误； 对于D，在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为，D正确． 故选：ABC. 题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解） 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【典例2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 【变式1】5．（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______. 【答案】（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【分析】根据两点式方程的定义计算可得. 【详解】经过点和点直线两点式方程是：或. 故答案为：（答案不唯一，四种形式写出一种即可）. 【变式2】已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【答案】，直线l在轴上的截距为，直线l在轴上的截距为. 【分析】利用直线的两点式方程及直线的斜截式方程，结合截距的定义即可求解. 【详解】因为A，B两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为，整理得． 所以直线l的方程为， 所以直线l在轴上的截距为， 令，则，解得， 所以直线l在轴上的截距为. 【变式3】求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 题型03直线的截距式方程 【典例1】在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的截距式方程即可求解. 【详解】因为直线在轴、轴上的截距分别是、3， 所以直线方程是，即． 故选：C． 【典例2】（23-24高二上·辽宁丹东·阶段检测）已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出直线在坐标轴上的截距，结合题意求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意，解得， 直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积， 当时，， 此时直线l的方程是. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段检测）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 【变式2】（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 【变式3】（24-25高二上·山西大同·阶段检测）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】 过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式. 【详解】略. 题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【典例1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再求三角形面积即可. 【详解】令得，则该直线与轴交点； 令得，则该直线与轴交点； 所求三角形的面积. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【答案】// 【分析】利用截距式方程，求直线在两坐标轴上的截距，再求三角形的面积. 【详解】由条件可知，直线不过原点， 设直线，则，则， 所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用中点坐标和直线垂直的斜率关系，结合点斜式即可得解. （2）求出直线与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形面积. 【详解】（1）点，则线段的中点为 ，直线的斜率， 于是直线的斜率为，其方程为，即. （2）由（1）知，直线交轴于点，交轴于点， 所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【变式3】在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求： （1）点的坐标； （2）直线的方程； （3）直线与两坐标轴围成三角形的面积. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）设出点坐标，利用的中点在轴上，边的中点在轴上，即可求解. （2）利用、两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式写出方程. （3）利用直线的方程，可以求出三角形两直角边，即可得三角形的面积. 【详解】（1）设出点坐标为，边的中点在轴上，边的中点在轴上， 则 ，即得 ，所以点坐标为 （2）， 所以，即 ， 直线的方程为： （3）直线的方程为：， 令 ，得 ，令 ，得， 所以三角形的面积为 【点睛】本题主要考查了求直线的方程，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于基础题. 题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【典例1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设直线的方程为，代入点坐标，得到的方程，用表示出的面积，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图： 依题意设直线的方程为（，），则，且，， 所以，即，当且仅当，时，等号成立， 所以的面积，则面积的最小值为20. 故选：B 【典例2】在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______． 【答案】12 【分析】设直线的方程，由过点可得，然后结合基本不等式即可得出答案. 【详解】设直线的方程，由过点可得，则有；；； 解得：，当且仅当：时，，时取等号； 所以 故答案为：12 【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】不妨设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得， 由基本不等式可得，可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故，即面积的最小值为. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的截距式结合基本不等式计算求解. 【详解】设直线与与两坐标轴交于，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时取面积最小值，所以. 故选：D. 【变式3】过点的直线分别交轴正半轴和轴正半轴于点、，则（为原点）面积的最小值为________. 【答案】 【分析】设点、，其中且，可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】设点、，其中且，则直线的方程为， 由已知可得，由基本不等式可得，则， 当且仅当，时，等号成立，故. 故答案为：. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】利用两点式直线方程，令，来求直线在轴上的截距． 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】C 【分析】利用截距式及截距的定义即可得出． 【详解】直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为． 故选：C. 二、多选题 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 【答案】AD 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确. 故选：AD. 7．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 三、填空题 8．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 四、解答题 9．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，斜率为0； (4)斜率为，在y轴上的截距为； (5)斜率为，与x轴交点的横坐标为. 【答案】(1) ； (2) (3) (4) (5) 【分析】根据直线的点斜式方程和斜截式方程依次求解即可. 【详解】（1）因为直线过点，斜率为3， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即； （2）因为直线过点，斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即； （3）因为直线过点，斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即； （4）因为直线在y轴上的截距为，斜率为， 由直线的斜截式方程可得直线方程为：； （5）因为直线与x轴的交点的横坐标为， 所以该点的坐标为，又斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为：， 即. 10．（23-24高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再化成直线的截距式方程即得. （2）求出直线的斜率及方程，再化成直线的截距式方程即可. 【详解】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为. B能力提升 1．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 2．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 3．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】ABC 【分析】利用截距式方程，由点在直线上，及三角形面积公式列式求解即可. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线的方程为， 其中a，b分别为在x轴，y轴上的截距，，， 又点在直线上，所以， 又的面积为2，所以，即或． 当时，，即，解得或； 当时，，即，解得． 故选：ABC． 4．（多选）（23-24高二上·四川宜宾·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 【答案】ABC 【分析】利用直线方程的截距式、斜截式运算分析即可得解.. 【详解】解：对于选项A，直线方程的截距式为，其中， 不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误； 对于选项B，直线方程的截距式为，其中， 而与不是直线的截距式方程，故B错误； 对于选项C，直线方程的斜截式包含在轴上的截距为0的情况， 而此类不能化为截距式，比如，故C错误； 对于选项D，直线方程的截距式为，其中， 、是直线在轴、轴上的截距， 所以在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为，故D正确. 故选：ABC. 5．（25-26高二上·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设出直线的方程并求出两点坐标. 6．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数的值，即可得出直线的方程； （2）由题意可知直线的截距式方程为，且，，将点的坐标代入直线的方程得出，可得，求得，可得出，将代入的面积公式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件得出、的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）当时，直线过原点，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，此时直线的方程为； 当时，直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）由题意可知、，且，，则直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，可得， 由可得， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当的面积最小时，直线的方程为，即. 7．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式求出截距即可得方程； （2）点坐标代入直线方程，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 由为的中点可知：，， 故的方程为，即； （2）将代入方程，得， 故 当且仅当时，取等号，此时 故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直线的两点式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 两点式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 知识点02：直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 截距式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 知识点03：中点坐标公式 若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式． 第三部分 题型精讲 题型01直线的两点式和截距式方程辨析 【典例1】（24-25高二上·河北邢台·阶段检测）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【典例2】（多选）（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知直线l过点，，则（    ） A．点在直线l上 B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量的坐标为 D．直线l的截距式方程为 【变式1】（多选）（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知直线，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的一个方向向量的坐标为 C．直线不经过第三象限 D．直线的截距式方程为 【变式2】（多选）（24-25高二上·吉林·阶段检测）已知直线l过点，，则（    ） A．直线l的倾斜角为150° B．直线l的两点式方程为 C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的截距式方程为 【变式3】（多选）（25-26高二上·吉林延边·期中）下列说法中错误的是（　　） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在x轴、y轴上的截距分别是2，3的直线方程为 题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解） 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【变式1】5．（24-25高二上·广东·期中）写出一个过和的直线的两点式方程______. 【变式2】已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【变式3】求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 题型03直线的截距式方程 【典例1】在轴、轴上的截距分别是、3的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·辽宁丹东·阶段检测）已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·上海·阶段检测）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为__________． 【变式2】（24-25高二上·福建莆田·开学考试）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【变式3】（24-25高二上·山西大同·阶段检测）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题 【典例1】（25-26高二上·新疆·阶段检测）已知直线方程为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【典例2】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）若经过点的直线在，轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为__________. 【变式1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·北京·期中）已知两点，直线为线段AB的垂直平分线，求： (1)直线的方程； (2)直线与坐标轴所围成的三角形的面积. 【变式3】在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求： （1）点的坐标； （2）直线的方程； （3）直线与两坐标轴围成三角形的面积. 题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题 【典例1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知为坐标原点，直线过点，且与轴负半轴交于点，与轴负半轴交于点，则面积的最小值为（   ） A．16 B．20 C．24 D．40 【典例2】在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______． 【变式1】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线过点，且与两个坐标轴的正半轴分别交于点、，为坐标原点，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）四条不重合的直线、、、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】过点的直线分别交轴正半轴和轴正半轴于点、，则（为原点）面积的最小值为________. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2026高三·全国·专题练习）条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，则直线在轴上的截距为（    ） A． B．5 C． D．2 二、多选题 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 7．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 三、填空题 8．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）过点和点的直线的两点式方程是____________． 四、解答题 9．根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，斜率为0； (4)斜率为，在y轴上的截距为； (5)斜率为，与x轴交点的横坐标为. 10．（23-24高二上·广东东莞·阶段检测）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. B能力提升 1．已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 2．（25-26高三下·山东·阶段检测）若直线过点，则的最小值为（） A．7 B． C．6 D． 3．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知O为坐标原点，过点的直线与坐标轴交于A，B两点，若的面积为2，则直线在x轴上的截距可以是（    ） A． B． C．-2 D．2 4．（多选）（23-24高二上·四川宜宾·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B．与是直线的截距式方程 C．直线方程的斜截式都可以化为截距式 D．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为 5．（25-26高二上·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 6．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线过点且在轴和轴上的截距分别为和． (1)若，求直线的方程； (2)若，直线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点、，当的面积最小时，求直线的方程． 7．（24-25高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线过点，且分别与轴的正半轴交于点、轴的正半轴交于点. (1)若为的中点，求直线的方程； (2)求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $