23.1.1 锐角的三角函数（第1课时 正切）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角正切概念及应用，以汽车爬坡问题导入，通过对比不同坡面陡度的探究活动，引导学生从直观比较过渡到对边与邻边比值分析，结合相似三角形证明比值定值，构建正切定义及坡度描述的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过多情境探究发展数学思维，用坡度实例强化数学语言表达。如通过水平与垂直高度不同的坡面对比抽象正切概念，结合梯形护坡、滑梯坡度等实例应用，帮助学生形成数形结合能力，教师可借助结构化活动提升教学效率。

【新教材】沪科版·九年级上册 第23章 锐角的三角函数 23.1.1 锐角的三角函数 第1课时 正切 学 习 目 标 1 2 3 经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义。 能够用正切值表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单计算。 体验数形之间的联系，进一步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。 情景导入 汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度？ 怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？ 活动一：正切的概念 【交流思考】 提分笔记 在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面． A B C 100 20 A1 B1 C1 100 30 问题1：坡面AB和A1B1哪个更陡？ 坡面A1B1比坡面AB更陡． 问题2：你是怎样判断的？ 从图中很容易看出∠A＜∠A1 ，所以 坡面A1B1比坡面AB更陡． 活动一：正切的概念 【交流思考】 提分笔记 类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 你又是怎样判断的？ 坡面A1B1比坡面AB更陡． A B C 100 30 A1 B1 C1 80 30 因为BC= B1C1 ，所以只要比较AC和A1C1的长度即可， 因为A1C1＜AC ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 【归纳小结】 提分笔记 水平长度相等， 垂直高度不等． 水平长度不等， 垂直高度相等． 坡面的垂直高度和水平宽度的比值越大，坡面就应该越陡． 活动一：正切的概念 活动一：正切的概念 【交流思考】 提分笔记 再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 坡面A1B1比坡面AB更陡． A1 B1 C1 80 30 A B C 100 20 水平宽度和垂直高度都不一样 ∵ 0.2＜0.375， ∴ 坡面A1B1更陡． 如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比 ……有怎样的关系？ B C A B1 C1 B2 C2 试着测出这些对边与邻边的长度，并计算出比值． 你能证明这个结论吗？ 活动一：正切的概念 提分笔记 8 B C A B1 C1 B2 C2 证明：∵ ∠ACB=∠ AC1 B1= 90°，　　　　 　　　　∠A=∠A， ∴ Rt△ABC∽Rt△AB1C1 ． ∴ ，即 ． 已知：如图，在Rt△ABC、 Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中，∠ACB=∠AC1 B1=∠AC2B2=90°． 求证：　　　　　　　　． 　　　　　　　　 同理可得， ． ∴ ． 当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是固定值． 活动一：正切的概念 提分笔记 9 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 A B C c a ∠A的邻边b ∠A的对边 斜边 活动一：正切的概念 提分笔记 【归纳小结】 10 如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 i=h∶l h l (坡度通常写成h∶l的形式) ． 现在你会描述坡面的坡度了吗？ 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有 α 坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡． 活动一：正切的概念 11 【典例讲解】 提分笔记 例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tan A和tan B． 活动二：正切的实际应用 A B C 提分笔记 【练一练】 1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6， AB=10 ，求tan B的值. 活动二：正切的实际应用 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=6， AB=10 ， A B C 提分笔记 【练一练】 活动二：正切的实际应用 2. 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) A. B. C. D.6米 B 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝2，则∠A的正切值为(　　) B 随堂练习 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则tan B＝(　　) B 随堂练习 3．在Rt△ABC中，∠A＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则∠B的正切值(　　) A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 C 随堂练习 4. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan B＝ ，BC＝3，则AC的长是________． 向“勾股定理”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，BC＝8，则AB＝________． 随堂练习 5. 【新情境】如图是某公园的一滑梯侧面图，若滑梯架的高AB为1.6 m，水平宽度BC为2.4 m，则滑梯滑板的坡度为________． 2∶3 随堂练习 6. 【新情境】为了学生的安全，某校决定将一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1∶ ，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1∶4.则斜坡AF的长是________m. 随堂练习 随堂练习 7. 如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tan B'的值为_______.  A B C C′ B′ 课堂总结 正切 正切： 坡度： 在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即 22 22 【新教材】沪科版·九年级上册 感谢聆听! A． B．2 C． D． A. B. C. D. 4 5 $