期中考前满分冲刺之优质压轴题（十种类型共60题）-2026-2027学年人教版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 聚焦期中压轴题，整合数学文化、代数推理、应用建模等模块，以题载知，强化知识迁移与逻辑推理，培养抽象能力与创新意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数学文化|6题（算筹/幻方）|结合古代数学史料，考查数的表示与规律探究|从算筹记数规则到幻方数字关系，体现数学文化与数感的结合| |代数推理|12题（结论判断/规律/整体思想）|多结论辨析、代数式规律推导、整体代入求值|从概念理解到符号运算，构建“观察-归纳-验证”的推理链条| |应用建模|6题（打折/数轴动点）|实际问题转化为代数模型，数轴动态分析|建立“实际情境-数量关系-代数式/方程”的模型意识| |综合拓展|12题（二进制/新定义/错位相减）|跨知识整合，新运算与定义理解，复杂化简|融合数系拓展、创新定义与数学方法，提升综合解题能力|

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、算筹与幻方问题(选、填) 1．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加减运算的应用，解题的关键是正确列式求解． 首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴1和x中间的数为 ∴ ∴， 故选：B． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减、代数式求值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，，，， ∴． 故答案为：A． 4．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解． 【详解】 解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 5．中国古代很早就用算筹来表示数并进行计算，算筹有横式和纵式两种，表示个位、百位、万位……时用纵式算筹，而表示十位、千位、十万位……时用横式算筹，下面的图1是算筹的横式与纵式所表示的数字1-9，当时并没有代表0的符号，而是用空位来表示0．算筹不仅使用了十进制，而且是“位值制”，从右往左，第一位表示有几个1，第二位表示有几个10，…依此类推．图2是用算筹进行加法计算的过程，请补全图2中的数字和图形：①处应填入的加数为__________；②处应补全的图形为__________． 【答案】 65 【分析】考查对材料的阅读理解，有理数的加法，解题的关键是对我国古代用算筹记数的规定的理解和掌握． 根据算筹记数规定可知加数，计算加法得到和，再依规定即可得到和表示的数． 【详解】解：由已知可得加数为65． 和为， 所以数字和的图形为 故答案为：65； 6．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．    （1）若，则A处的数值为________； （2）①用含m的代数式表示________； ②x的值为________ 【答案】 1 【分析】（1）由题意得，再将代入，即可得答案； （2）先根据每个三角形三个顶点处的数之和相等求出A、B，即可得到答案． 【详解】（1）由图可知，每个三角形三个顶点处数的和是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）① ； ② ． 故答案为：①，②． 【点睛】本题考查有理数的加法，解题的关键是利用每个三角形三个顶点处的数之和相等解决问题． 类型二、正确结论与个数问题(选、填) 1．若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，一元一次方程的解，体现了数形结合思想，掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解题的关键．根据有理数的乘法法则判断①；根据方程的解得定义判断②；根据判断③；分两种情况，根据绝对值的性质判断④；根据绝对值的几何意义判断⑤． 【详解】解：，且， ， ，故①符合题意； 将代入得：， ， ，故②符合题意； ， ， ， ，故③符合题意； 若，原式； 若，原式； ∴原式的值为2，故④不符合题意； ， ， ， ， ，故⑤符合题意； 综上所述，符合题意的有4个， 故选：C． 2．已知有理数a， b， c在数轴上的对应点的位置如图所示，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、绝对值的含义，整式的加减运算，根据，，再逐一分析即可，解决本题的关键是掌握绝对值的意义． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，， ∴，， 故①不正确，②正确， ∵，，， ∴，故③正确， ∵ ∴， ∴，故④不正确， ∵，， ∴，故⑤正确， 综上分析可知：正确的有3个． 故选：B． 3．设从四个有理数a，b，c，d中任取两个数之差记为M，另两个数之差的绝对值记为N，把的运算结果叫四个有理数a，b，c，d的“操作运算”结果．当时，对于a，b，c，d的“操作运算”结果的说法：①若，则结果为；②结果可能为；③结果一定不为；④共有5种不同的结果．其中正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查四个有理数的“操作运算”结果，解题的关键是掌握该新定义． 需要根据的条件，分析所有可能的值，并验证各说法的正确性． 【详解】解：①当时，， ∴，正确； ②当时，， ∴，成立，正确； ③共有12 种可能，但许多结果重复，实际有5种不同表达式： ；；；；； 结果的系数和为，由题意知所有可能结果系数和均为0，故不可能，正确； ④ 由③可得，共有5种不同结果，正确； 故选：A． 4．在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数2，4，进行第1次构造，得到新的一列数2，6，4，第2次构造后，得到一列数2，8，6，10，4，…；第次构造后，得到一列数2，，，，…，，4．记． （1）若进行第3次构造，则的值为_____． （2）根据上述构造游戏进行判断，下列结论正确的是_____．（写出所有正确的结论） ①为偶数；②；③；④． 【答案】 84 ①②③ 【分析】（1）先根据构造规则求出前几次构造后的和,推导数列的递推关系与通项公式，再逐一验证各个结论； （2）按（1）中推导的及的通项公式判断正误即可． 【详解】（1）根据上述游戏，进行第1次构造后得到的数据之和为，其中； 第2次构造后得到的数据之和为，其中； 第3次构造后得到的数据之和为，其中； 第4次构造后得到的数据之和为 ，其中； …… 第次构造后得到的数据之和为，其中， 综上所述，的值为84． （2）为偶数；；；， 故①②③正确． 5．已知三个数a，b，c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，称为第二次操作；……，以此类推，第n次操作后得到三个结果记为，，．给出下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，当，，中最小值为1时或或2； ③对于三个数，，，第10次操作后的结果，，，满足； ④对于三个数，，（，且x，y为整数），若，，三个数中最大者与最小者差为10，则y的值共有4个． 其中正确的个数有____个． 【答案】3 【分析】根据定义，计算得，，，最大的数是， ，可判断①正确； 当时，当时，当时，解答即可判断②； 根据，得到最大数是；最小数是，根据题意，得，得，于是的得到了，根据y为整数，得到符合题意的y值有，有4个，可以判断④正确； ③对于三个数，，，计算确定规律，可判定第10次操作后的结果，，，满足的正误； 本题考查了新定义问题中的整式的加减计算，熟练掌握定义，正确列式解答是解题的关键． 【详解】根据定义，当，，，最大的数是， ， 故①正确； 当时，解得；当时，解得；当时，解得；当时，，不合适； 判断②错误； ∵， ∴最大数是；最小数是，根据题意，得，得， ∴， 根据y为整数，得到符合题意的y值有，有4个， 故④正确； 对于三个数，，， 得， 计算，得，，，由此可得第10次操作后的结果，，，满足， 故③正确； 故答案为：3． 6．现定义一种“M运算”：对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和． 例如：对，1，6这三个数进行“M运算”，得，． 则，对，1，6这三个数进行“M运算”的结果为18． 若关于“M运算”有下列说法： ①对a，7这两个数进行“M运算”的结果是2，则a的值是9； ②对b，，10这三个数进行“M运算”的结果是36，则b的值最大为10，最小为； ③对c，，5，11这四个数进行“M运算”，则当时，该运算的结果取得最小值为39． 则以上关于“M运算”的说法中，正确的是______．（只填写所选择的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算． 说法①中，由“M运算”定义得，解得或9，说法不全面；说法②中，由条件得，解得；说法③中，分情况求值，进而判断即可． 【详解】说法①：对a，7进行“M运算”为，由结果为2得，则或，解得或，说法①错误； 说法②：对b， ，10进行“M运算”为，由结果为36得． 当时，，，则，解得； 当时，，则恒成立； 当时，，，则，解得（不在范围内）； 故，即b最大为10，最小为，说法②正确； 说法③：对c， ，5，11进行“M运算”，固定部分为，变量部分为，总结果． 当时，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，，； 当时，； 当时，； 故当时，该运算的结果取得最小值为39，说法③正确． 故答案为②③． 类型三、代数式的规律问题(选、填、解) 1．观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键． 观察分子和分母的规律，分子为奇数序列，分母为平方数加1，由此推导第n个数的表达式，即可解题． 【详解】解：∵分子序列：1，3，5，7，9，…为奇数， ∴第n个分子为， ∵分母序列第1个分母为， 第2个分母为， 第3个分母为，…以此类推， 分母序列第n个分母为， ∴第n个数为， 故选：C． 2．观察下列图形的构成规律，依照此规律，第8个图形中点的个数是（   ） A．71个 B．73个 C．75个 D．77个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的规律探索，正确探索发现规律是解题的关键． 根据题意，第1个图形中点的个数为（个），第2个图形中点的个数为（个），第3个图形中点的个数为（个），第4个图形中点的个数为（个），依次规律即可得第n个图形中点的个数为个，代入第8个图形即可求得个数． 【详解】解：根据题意，第1个图形中点的个数为（个）， 第2个图形中点的个数为（个）， 第3个图形中点的个数为（个）， 第4个图形中点的个数为（个）， …… 第n个图形中点的个数为个， 第8个图形中点的个数为（个）， 故选：B． 3．观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分别从符号、分子、分母三个部分归纳变化规律，整合后即可得到第个数的代数式． 【详解】解：符号规律：当序号为奇数时该数为正，序号为偶数时该数为负，所以符号可表示为； 分子规律：第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，第个数的分子为，所以第个数的分子为； 分母规律：第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，第个数的分母为，所以第个数的分母为； 综上，第个数为． 4．某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用代数式表示这段时间内，该树苗生长n个月时的高度（单位：）应为_______（用含n的代数式表示，n为自然数）． 【答案】 【分析】由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 用式子表示生长个月时，它的高度应为：． 5．观察下面有规律排列的三行数： (1)①请直接写出每行的第9个数分别是______，______，______； ②第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则______． (2)用如图所示的“H”形框在第二行数中平移，任意圈住7个数，使得7个数的和为m，圈住的这7个数正中间的数为______．（用含m的代数式表示） (3)取“H”形框中的数，这7个数中最大的数记为p，最小的数记为q， 若，此时“H”形框中左上角的数是第一行的第n个数，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)无整数解 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 对于（1），①第一行数后一个数是前一个的倍，第二行的每一个数比第一行少1，第三行的每一个数比第二行每一个数的倍多1，根据规律写出答案； ②设a对应的第二行的数为，再表示出b，c，然后代入计算； 对于（2），第一个数为，再分别表示出其余6个数，根据和为m得出等式，进而用代数式表示出即可； 对于（3），先表示出左上角每一行的第n个数为，再表示出另一列的三个数为，分两种情况：当n为奇数时，当n为偶数时，求出答案即可． 【详解】（1）解：①第一行的第7个数是，第8个数是256，第9个数是； 第二行的第9个数是；第三行的第9个数是； 故答案为：，，1027； ②设a对应的第二行的数为，可知，， 所以； 故答案为：0； （2）解：设左上方的数是，则其余6个数为（最中间的数），，，根据题意，得 ， 解得. 故答案为：； （3）解：左上角每一行的第n个数为， ∴另一列的三个数为， 当n为奇数时，，根据题意，得 ， 解得，不符合题意，舍去； 当n为偶数时，，根据题意，得 ， 解得， 此时无解． 综上所述，无整数解． 6．中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【答案】(1)18，37；24，61； (2)169个． 【分析】本题考查图形规律探究，通过分析研究总结出规律是解题的关键． （1）通过分析，总结出第n层新增基站数规律：个； （2）把代入，计算即可． 【详解】（1）解：第二层新增基站数：个，总基站数：个； 第三层新增基站数：个，总基站数：个； 第四层新增基站数：个，总基站数：个； 第五层新增基站数：个，总基站数：个； …… 第n层新增基站数规律：个． 故答案为：18；37；24；61；． （2）解：当时， ． 答：总基站数是169个． 类型四、打折划算问题(选、填、解) 1．“十一”黄金周，商场为促销开始打折，设商品原价为a元，则打m折后的售价可以表示为（    ）． A．am B． C．am% D．0.1am 【答案】D 【分析】直接利用原价乘以打折率计算即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D 【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，读懂题意是解题的关键．注意：打几折在计算时要乘以． 2．随着服装市场竞争日异激烈，某商场销售的一款运动装每套标价a元，第一次打折价格下调了25%，销售时每套又降价b元，则该运动装实际售价是多少元（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出式子即可． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是能够根据题意列出算式． 3．某种商品原标价每件元，先提价后再打八折出售，打折后售价每件是______元． 【答案】 【分析】考查列代数式，得到出售价格的等量关系是解决本题的关键；售价原价，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：提价后的价格为， ∴再打八折以后出售的价格为， 故答案为：． 4．某商店一台电脑的标价是4500元，为了促销，该商店计划打折销售，如果打了折，则这台电脑的售价是________元（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据售价等于标价乘以折扣列式即可得到答案. 【详解】解：根据题意：这台电脑的售价是， 故答案为：． 5．某校为提升生态环境质量，面向全市招募绿化养护公司，已知A、B两家公司每月每平方米绿化养护费用均为10元，且各自推出了如下收费方案： 公司A：每月每平方米绿化养护费用均打八折； 公司B：每月绿化面积在200平方米以内（含200平方米）不打折，超过200平方米的部分每月每平方米打六折． 设该校每月绿化面积为x平方米． (1)请用含x的式子分别表示选择A、B两家公司每月所需的绿化养护费用； (2)如果该校目前每月的绿化面积是600平方米，请通过计算说明选择哪家公司比较合算 【答案】(1)公司A所需的绿化养护费用为元；公司B所需的绿化养护费用为元 (2)选择公司B比较合算 【分析】（1）直接根据题意列出代数式即可； （2）将分别代入A、B求值后比较即可． 【详解】（1）由题意知，选择公司A所需的绿化养护费用为元； 选择公司B所需的绿化养护费用为（元）． （2）把代入中，公司A所需的绿化养护费用为（元）． 把代入中，公司B所需的绿化养护费用为（元）， 因为， 所以选择公司B比较合算． 【点睛】本题考查了列代数式和有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．某校为开展阳光体育活动，计划采购一批篮球和跳绳．某商店每个篮球标价为120元，每根跳绳标价为15元．该商店可提供两种促销方案： 方案一：每购买1个篮球，赠送1根跳绳； 方案二：所有商品按标价的付款． 该校计划购买篮球30个，跳绳m根． (1)若全部按方案一购买，需付款______元；若全部按方案二购买，需付款______元；（用含m的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明方案一和方案二哪种方案更省钱？ (3)经与商店协商，本次可以组合使用两种优惠方案：即部分商品按方案一购买，剩余商品按方案二购买．当时，请你为该校设计一种最省钱的购买方案，并计算出总付款金额． 【答案】(1)， (2)方案一购买较为合算 (3)按方案一买30个篮球，按方案二买20根跳绳，总付款3870元 【分析】（1）按照方案一的要求，根据篮球单价、跳绳单价及他们的购买数量列式求解即可得到答案；按照方案二的要求，根据篮球单价、跳绳单价及他们的购买数量列式求解即可得到答案； （2）由（1）中求出的代数式，将代入求值，比较大小即可得到答案； （3）先方案一买30篮球赠30跳绳，剩余20跳绳用方案二买，算总费用． 本题考查列代数式及求值，读懂题意，将文字描述准确转化成代数式，并代入求值是解决问题的关键． 【详解】（1）解：方案一：买1个篮球送1根跳绳， 购买篮球30个，跳绳m根且， 按优惠方案一购买需付款元； 方案二：篮球和跳绳均按定价的九折优惠，且要购买篮球30个，跳绳m根， 购买篮球30个，跳绳m根且， 按优惠方案二购买需付款元； 故答案为：，； （2）解：当时， 方案一付款：元； 方案二付款：元； ， 当时，在这两种优惠方案中，方案一购买较为合算； （3）解：先按方案一购买30个篮球，赠送30根跳绳，花费元， 还需购买跳绳根， 按方案二购买，花费元， 总付款金额为元； 综上，最省钱的方案是按方案一买30个篮球，按方案二买20根跳绳，总付款3870元． 类型五、代数式的整体思想(选、填、解) 1．若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用整体代入的方法计算，先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴移项得 ∴． 2．已知代数式的值是6，则代数式的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先根据已知条件得到的值，再对所求代数式变形，将整体代入计算即可． 【详解】解：∵代数式的值是6， ∴， ∴， ∴ ． 3．若，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 4．若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为________． 【答案】/ 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数， ∴， ∴，即， ∴． 5．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 6．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式 小伟把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （）整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 类型六、二进制问题(选、填、解) 1．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制35是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，根据，结合题意把十进制数35转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制35是二进制下的6位数， 故选：B． 2．二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 3．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 【答案】11001 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．本题的关键点是考生要在十进制的基础上理解二进制的表示方式，发现规律，应用规律，此题较为新颖，是近几年的常考题.根据题意，结合题意，将十进制数25表示为，继而得解． 【详解】解：，因此最高位为1，剩余； ，因此下一位为1，剩余； ，因此下一位为0； ，因此下一位为0； ，因此最后一位为1， ∴， ∴二进制表示为11001， 故答案为：11001． 4．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 【答案】11 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键．根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 5．综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了十进制数与二进制数之间的转化，理解进制数的表示是解题的关键．根据进制数的表示方法及转化方法求解即可． 【详解】解：任务一：， 任务二：八进制数3751表示的十进制数为： ， ， ， 任务三：二进制数101101101转成十进制数为： ， ， ， 因为365为奇数，所以密码为：． 6．【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制.爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定，）． 【示例呈现】 将25.5转化为二进制． 第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是…32，16，8，4，2，1，，，…； 从右到左，相邻两数是2倍关系； 第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0． 十进制 32 16 8 4 2 1 二进制 0 1 1 0 0 1 1 0 第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是； 第四步验证结果（二进制转化成十进制）：． (1)直接写出将10转化为二进制的结果； (2)计算：①（结果用二进制表示）； ②（结果用十进制表示）． (3)利用给出的表格，将转化为四进制； 十进制 四进制 a b c d e f 求的值． 【拓展提高】 (4)①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数； ②求的值（结果用十进制表示）； ③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值． 十进制 N进制 1 3 2 1 3 备用表格： 【答案】(1) (2)①；② (3) (4)①；②；③ 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）根据逢几进几进行计算即可； （2）先根据逢二进一进行计算，再转化为十进制； （3）根据题中的表格计算； （4）根据进制的规定继续推算即可． 【详解】（1） （2）① ② （3） （4）① ② ③由表格得： 类型七、错位相减与分数裂项(解) 1．阅读材料： 求的值． 解：设① 将①×2得：② 由②－①得：， 即 请你仿照此法计算：（其中n为整数） 【答案】 【分析】仿照材料中的方法解答即可． 【详解】解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， ②−①，得3S−S＝，即2S＝， 则S＝， 所以． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的解答方式，并灵活运用． 2．如果要计算的值，可以用如下的方法： 解：设，① 在等式两边同乘2，则有，② ②−①，得，即， 所以． [理解运用]计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． （1）利用题中的方法求出原式的值即可； （2）根据题中的方法利用加法即可． 【详解】（1）解：设，① ①式两边都乘以3，得，② 得：，即， 则； （2）解：设，① ①式两边都乘以3，得，② 得：，即， 则． 3．阅读材料，回答下列问题： 计算：． 解：设． 将等式两边同时乘2，得， 用下面的等式减去上面的等式，得，即． 故． (1)请你仿照此方法计算： ①； ②（其中为正整数）． (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查规律型：数字的变化类，有理数的乘方混合运算，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）①设，两边乘以2后得到关系式，与已知等式相减，变形即可求出所求式子的值；②同理即可得到所求式子的值． （2）同理即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：①设， 将等式两边同时乘以得：， 将下式减去上式得：，即， 则， ②设， 将等式两边同时乘得：， 将下式减去上式得：，即， 则； （2）解： ． 4．先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算：． 【答案】． 【分析】根据题中给出的材料可知利用通分的逆运算把分式拆成两个分数的加法或减法的形式，可使计算简便． 【详解】原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟悉分数的通分方法，利用通分的逆运算把分式拆成两个分数的加法或减法的形式，可使计算简便． 5．观察下列等式并回答： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …             … (1)按照发现的规律写出第5个和第6个等式； (2)求的值； (3)直接写出的值（用n的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给规律可进行求解； （2）根据题中所给规律可进行求解； （3）由（2）可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 第5个等式为；第6个等式为； （2）解：由题可得：第n个等式为， ∴ ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 6．观察下列等式，， 将以上三个等式两边分别相加得：＝ （1）猜想并写出：＝　 　； （2）直接写出下列各式的计算结果： ①＝　 　； ②（本小题结果不需要化简）＝　 　； （3）探究并计算（本小题结果不需要化简）＝　 　． 【答案】（1）﹣；（2）①；②1﹣；（3）1﹣． 【分析】（1）根据已知等式猜想得到拆项规律，写出即可； （2）①②原式各项利用得出的拆项规律变形，计算即可得到结果； （3）原式各项利用得出的拆项规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵， ， ∴=﹣ （2）① = =1- =； ② = =1﹣ （3）∵ ∴ = =1-． 故答案为（1）﹣；（2）①；②1﹣；（3）1﹣． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解. 类型八、有理数的圈次方与绝对值1、-1化简(解) 1．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 【答案】(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 2．阅读材料，回答下列问题： 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式，______；______； (3)想一想，将一个非零有理数a的n（）圈次方写成乘方幂的形式等于______； (4)算一算： 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的相关计算，正确理解除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的概念，即可计算得出答案； （2）根据除方和乘方的概念，可以写出相应的结果； （3）根据除方和乘方的概念，可以将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式； （4）结合除方的概念和有理数的混合运算，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解： ∴将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是； （4）解： ． 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． = ； =             ；=             ． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于             ； （3）算一算：． 【答案】初步探究 （1）；—8 （2）C 深入思考 （1）；；28 （2） （3）-1． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 4．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 5．探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义， （1）根据，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出、、、中有1个或3个负数，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b同号，即，或，， ∴或； ∴当时，； 故答案为：． （2）解：∵， ∴a、b、c中有3个负数或两正一负， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有两正一负时，设，； ∴时，的值为或； 故答案为：或． （3）解：∵， ∴、、、中有1个或3个负数 设， 设， ∴的最大值是 6．阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 【答案】(1)2或 (2)的值为1或； (3)的值为1或． 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，化简绝对值，熟练的化简绝对值是解本题的关键； （1）先判断，同号，再分两种情况化简绝对值，再计算即可； （2）先判断，，全负或，，两正一负，再分情况化简绝对值，再计算即可； （3）先判断，，两正一负，再结合（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，是有理数，当时， ∴，同号， 当，时， ， 当，时， ； 故答案为：2或； （2）解：∵ ∴，，全负或，，两正一负， ①当，，全负时， ②当，，两正一负时， 不妨设，，，， 综上所述，的值为1或； （3）解：∵ ∴，，． ∴ 又∵， ∴，，两正一负， Ⅰ）当，，时，， Ⅱ）当，，时，， Ⅲ）当，，时， ∴的值为1或． 类型九、绝对值的最值问题与数轴动点(解) 1．数学实验室，点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：    (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是____；数轴上表示1和的两点之间的距离是____． (2)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为____；若，则___． (3)若表示一个有理数，则的最小值=____． (4)若表示一个有理数，当为_____，式子有最小值，最小值为___． 【答案】(1) (2)；或 (3)5 (4)3，6 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据两点间的距离最短，以及绝对值的意义，进行计算即可； （4）根据两点间的距离最短，以及绝对值的意义，进行计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和6两点之间的距离是；数轴上表示1和的两点之间的距离是； 故答案为：； （2）数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 表示到的距离为， ∴或； 故答案为：；或； （3）表示到1之间的距离与到之间的距离之和， ∴当时，有最小值为到的距离：； 故答案为：5； （4）表示到之间的距离与到3之间的距离与到4之间的距离之和， ∴当时，有最小值，为到的距离：； 故答案为：3，6． 【点睛】本题考查两点间的距离．绝对值的意义，熟练掌握两点间的距离公式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 【答案】(1) (2)1或 (3)5 (4)4，15 (5)5， 【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可解答； （2）直接解绝对值方程即可解答； （3）当x在表示数1与两点之间时，的值最小，据此即可解答； （4）可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和，据此即可解答； （5）可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为： （2）解： 或 或 故答案为： 1或 （3）解：根据绝对值的定义有：可表示为点x到1与两点距离之和，根据几何意义分析可知： 当x在1与之间时，的最小值为5． 故答案为：5； （4）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到、3、4、7、9五点的距离之和， ∴当x为4时，有最小值， ∴的最小值为． 故答案为：4，15． （5）解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到3、两点的距离之差， ∴当时，有最大值； 当时，有最小值； 故答案为：5，． 【点睛】本题主要考查了数轴、绝对值的意义，读懂题目信息、理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 3．【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ． (2)若表示一个有理数，则 的最小值 ． (3)已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．    若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 【答案】(1)4， (2)6 (3)或8 (4)12秒或28秒 【分析】（1）根据题意数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值解答即可; （2）根据绝对值几何意义即可得出结论； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值几何意义解答即可； （4）设运动时间为，用表示移动后对应的数，表示，由题目知道，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，数轴上表示4和8两点之间的距离是：, 数轴上表示和7的两点之间的距离表示为： 故答案为：4，． （2）解：根据绝对值的定义有：可表示为点到2与两点距离之和， 根据几何意义分析可知: 当时，距离和最小，即 的最小值6 故答案为：6． （3）解： ∵ 或， ∵表示数轴上表示到，3，5之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， 或； 故答案为：或8． （4）解：设运动秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度 ， 或 答：运动12秒或28秒两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度． 【点睛】本题考查了绝对值几何意义和数轴上动点问题，包含数轴上两点的距离，解含绝对值的方程，数轴动点问题总结，熟练掌握绝对值几何意义是解题的关键． 4．先阅读，并探究相关的问题： 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长（点A到点B的距离）可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． 【问题探究】 (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A点、C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)A表示，B表示，C表示4， A、B、C三点的位置如图所示： (2)6；或3； (3)； (4)不会变化， 理由如下： 根据题意得：平移后，， ， ， 的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形； （2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）解：A：，即，A表示， B：，即，B表示， C：，即，C表示4， （2）解：（）； 设D表示的数为a， ， ，解得：或， 点D表示的数为或3； 故答案为：6；或3； （3）解：将点A向右移动，则移动后的点表示的数为； 故答案为： ； （4）略 5．阅读下面材料 如图1，若线段在数轴上，、两点表示的数分别是，，则线段的长（点到点的距离）可表示为.    请用上面的材料中的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动7个单位长度到达点. （1）此时点在数轴上表示的数为 ；点在数轴上表示的数为 ；并在图②中表示出、两点的位置. （2）若将点向左移动个单位长度，则移动后点表示为 （用含的代数式表示） （3）若点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速移动，同时，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，则当为何值时. （4）若点从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，同时，另一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，到达原点后立即原路返回向右运动，当时，画出图形并求出时间的值. 【答案】（1）点表示的数为-2；点表示的数为5；数轴表示见解析；（2）点表示为-2-；；（3）t =1秒或1.8秒；（4）t=1秒或t=秒或t=3秒或t=7秒时. 【分析】（1）根据左减右加可以得到移动后A、B点表示的数； （2）根据左减右加可以得到移动后A点表示的数； （3）先表示移动后A、B点表示的数，再分两种情况讨论，列方程求解即可； （4）先求出点N到达原点O的时间，以这个时间为界分两种情况讨论求解． 【详解】解：（1）点在数轴上表示的数为0-2=-2； 点在数轴上表示的数为-2+7=5； 点点位置如图所示：    （2）将点向左移动个单位长度，则移动后点表示为-2-；； （3）运动时间为秒时， 点A向右移动了2t个单位，则移动后的点A表示的数为-2+2t； 点B向左移动了3t个单位，则移动后的点B表示的数为5-3t； 分两种情况讨论： 当点A在点B左边时， ∵AB=2， ∴(5-3t)-( -2+2t) =2， 解得：t =1； 当点A在点B右边时， ∵AB=2， ∴( -2+2t) -(5-3t) =2， 解得：t =1.8； 综上所述，当t =1秒或1.8秒时AB=2； （4）运动时间为秒时， 点M向右移动了t个单位，则移动后的点M表示的数为t； 当t=2.5秒时，点N到原点O； 当t2.5秒时，点N向左移动了2t个单位，则移动后的点N表示的数为5-2t； 当t>2.5秒时，点N从原点向右移动了（2t-5）个单位，则移动后的点N表示的数为2t-5； 下面分两种情况讨论： 如图③，当t2.5秒时，MN=2，    则(5-2t)- t=2或t-(5-2t)=2， 解得t=1或t=； 如图④⑤，当t>2.5秒时，MN=2，    则t-(2t-5)=2 或(2t-5)- t=2， 解得t=3或t=7； 综上所述，当t=1秒或t=秒或t=3秒或t=7秒时，MN=2. 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点之间的距离，重点是掌握数形结合的思想和分类讨论的思想． 6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b．则A，B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：已知数轴上A，B两点对应的数分别为和9，P为数轴上一点，对应的数为x． (1)P，B两点间的距离可表示为______（用含x的式子表示）； (2)当点P在A，B两点之间且时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设A、B、P三点运动时间为t秒，则运动t秒后点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)；； (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和解含有绝对值符号的一元一次方程的一般步骤． （1）根据数轴上两点距离公式，列出算式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出点P对应的数，然后根据题意列出代数式，即可求解； （3）根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点P为数轴上一点，对应的数为x，B点对应的数为9， ∴P，B两点间的距离可表示为， 故答案为：； （2）解：∵A，B两点对应的数分别为和9，， ∴， 解得， ∴点P对应的数为， ∵点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度沿数轴正方向运动， ∴运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， 故答案为：；；； （3）解：依题意得：， ， ， ， 或， 解得或． 类型十、代数式与数轴的新定义(解) 1．定义：若一个三位数的十位数字的倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫做“倍和数”．例如三位数，因为，所以它是“倍和数”． 【理解定义】 (1)三位数是否为“倍和数”？ 【建模推理】 (2)设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为：______； (3)任意一个“倍和数”都能被整除吗？为什么？ 【答案】(1)不是， (2)； (3) 解：任意一个“倍和数”都能被整除，理由： 设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，， 所以这个三位数为， 由（）得：，即， 所以 ， 因为是正整数，为非负整数， 所以为非负整数， 所以能被整除， 即任意一个“倍和数”都能被整除． 【分析】（）根据“倍和数”即可求解； （）根据“倍和数”即可求解； （）设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，所以这个三位数为，由（）得：，即，整理得，从而求解． 【详解】（1）解：由三位数得： 因为， 所以它不是“倍和数”； （2）解：因为一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，， 所以； （3）略 2．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）不是，是 （2） （3）任意一个“极差数”都能被11整除，理由如下： 根据题意得，， ∵为正整数，为自然数，且， ∴是11的倍数， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，整式的加减，解题的关键是理解题中的定义． （1）根据“极差数”的定义进行判断即可； （2）根据“极差数”的定义列出关系式即可； （3）根据“极差数”的定义列出代数式，整理代数式进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴三位数265不是“极差数”； ∵， ∴三位数583是“极差数”； 故答案为：不是，是； （2）根据题意得，之间的关系式为， 故答案为：； （3）略 3．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)____________； (2)小晋同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，他的说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（请你继续完成小晋同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时x的值． 【答案】(1)3 (2) 解：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．则， ∴交换个位与百位后得数为：， ，c均为整数， 必为整数． (3)最小值为7，，3，4，6． 【分析】本题主要考查新定义题型、数字规律、整式的加减运算、绝对值等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“异数”和的定义求解即可； （2）根据题意可得，交换个位与百位后得数为：，再求得即可解答； （3）根据“异数”的定义，易得、，结合s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）可得的取值有2，3，4，6，9；的最小值，解化简根据绝对值求最小值即可解答． 【详解】（1）解：∵，交换百位数字与个位数字得到673，，则， ∴， ∴． 故答案为3． （2）略 （3）解：，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）， 的取值有2，3，4，6，9； ，， ，， ∴的最小值的最小值，即数轴上x到1和8的距离之和， 当时，，当时，由最小值7； 当时，； 当时，，当时，有最小值7． ∴最小值为7，此时，3，4，6． 4．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）①点P所表示的数为，0或4； ②点P所表示的数为，或 【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】解：（1） 略 （2）①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 5．定义：数轴上有三个点，，，如果点到，两个点的距离成三倍关系，则称点是（，）的“三倍关联点”．例如，如图1，点表示的数是，点表示的数是，表示的点到点的距离是，到点的距离是，点到点的距离是到点距离的倍，那么称点是（，）的“三倍关联点”．    (1)如图2，点A表示的数是，点表示的数是，点分别表示数，，则两个点中是的“三倍关联点”的是 ．    (2)如图3，点表示的数是，点表示的数是．点是数轴上一动点，当其恰好是的“三倍关联点”时，求点表示的数．    (3)点表示的数是，点表示的数是（），点表示的数的最大值为，最小值为，若点是的“三倍关联点”，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】(1) (2)C对应的数为：或或或． (3)， 【分析】（1）先计算，，，，再根据新定义判断即可； （2）设对应的数为，可得，，结合C是的“三倍关联点”时，可得，，再建立方程求解即可； （3）如图，当A在C的右边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，由，可得，而，再求解即可，如图，当A在C的左边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，由或，同法可求解． 【详解】（1）解：是的“三倍关联点”； 理由：点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为0， ，， ∴， ∴不是的“三倍关联点”； 点表示的数为，点表示的数为2，点表示的数为1， ∴，， ∴， 是的“三倍关联点”； （2）设对应的数为， ∴，， ∵C是的“三倍关联点”时， ∴，， 当时， ∴， ∴或， 解得：或， 当时， ∴， ∴或， 解得：或； 综上：C对应的数为：或或或． （3）如图，当A在C的右边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为，    ∴， ∴， ∴，而， ∴， 解得：， 如图，当A在C的左边时，其中，点是的“三倍关联点”， 点表示的数的最大值为，最小值为，设对应的数为， ∴或，    当时， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 当时， ， ∴， ∴， 解得：， 综上：的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查的是新定义的理解，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，不等式组的应用，理解题意，熟练的利用方程与不等式组解题是关键． 6．【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是或或或；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ①当点在点左侧，时， ， 解得：， ②当点在点左侧，时， ， 解得：， ③当点在点右侧，时， ， 解得：， ④当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、算筹与幻方问题(选、填) 1．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个幻方，则的值为（   ） A．9 B．1 C．5 D．4 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（   ） A． B．8 C． D．6 4．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 5．中国古代很早就用算筹来表示数并进行计算，算筹有横式和纵式两种，表示个位、百位、万位……时用纵式算筹，而表示十位、千位、十万位……时用横式算筹，下面的图1是算筹的横式与纵式所表示的数字1-9，当时并没有代表0的符号，而是用空位来表示0．算筹不仅使用了十进制，而且是“位值制”，从右往左，第一位表示有几个1，第二位表示有几个10，…依此类推．图2是用算筹进行加法计算的过程，请补全图2中的数字和图形：①处应填入的加数为__________；②处应补全的图形为__________． 6．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．有一种特殊的三角形幻方，是由4个较小的三角形和3个较大的三角形构成，且满足每个三角形三个顶点处的数之和相等．如图1，是这种特殊三角形幻方，阴影部分的三角形三个顶点处的数之和为，该图中每个三角形三个顶点处的数字之和都为15，图2是这种特殊的三角形幻方．    （1）若，则A处的数值为________； （2）①用含m的代数式表示________； ②x的值为________ 类型二、正确结论与个数问题(选、填) 1．若，且，以下结论： ； 关于的方程的解为； ； 的所有可能取值为或； 在数轴上点A、B、C表示数，，，且，则A、B两点间距离与B、C两点间距离的大小关系是其中正确结论的个数是（） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知有理数a， b， c在数轴上的对应点的位置如图所示，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．设从四个有理数a，b，c，d中任取两个数之差记为M，另两个数之差的绝对值记为N，把的运算结果叫四个有理数a，b，c，d的“操作运算”结果．当时，对于a，b，c，d的“操作运算”结果的说法：①若，则结果为；②结果可能为；③结果一定不为；④共有5种不同的结果．其中正确说法的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数2，4，进行第1次构造，得到新的一列数2，6，4，第2次构造后，得到一列数2，8，6，10，4，…；第次构造后，得到一列数2，，，，…，，4．记． （1）若进行第3次构造，则的值为_____． （2）根据上述构造游戏进行判断，下列结论正确的是_____．（写出所有正确的结论） ①为偶数；②；③；④． 5．已知三个数a，b，c，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为第一次操作；按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，称为第二次操作；……，以此类推，第n次操作后得到三个结果记为，，．给出下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，当，，中最小值为1时或或2； ③对于三个数，，，第10次操作后的结果，，，满足； ④对于三个数，，（，且x，y为整数），若，，三个数中最大者与最小者差为10，则y的值共有4个． 其中正确的个数有____个． 6．现定义一种“M运算”：对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和． 例如：对，1，6这三个数进行“M运算”，得，． 则，对，1，6这三个数进行“M运算”的结果为18． 若关于“M运算”有下列说法： ①对a，7这两个数进行“M运算”的结果是2，则a的值是9； ②对b，，10这三个数进行“M运算”的结果是36，则b的值最大为10，最小为； ③对c，，5，11这四个数进行“M运算”，则当时，该运算的结果取得最小值为39． 则以上关于“M运算”的说法中，正确的是______．（只填写所选择的序号） 类型三、代数式的规律问题(选、填、解) 1．观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列图形的构成规律，依照此规律，第8个图形中点的个数是（   ） A．71个 B．73个 C．75个 D．77个 3．观察下列一组数：，，，，，按此规律，第个数是______（用含的代数式表示）． 4．某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长的月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用代数式表示这段时间内，该树苗生长n个月时的高度（单位：）应为_______（用含n的代数式表示，n为自然数）． 5．观察下面有规律排列的三行数： (1)①请直接写出每行的第9个数分别是______，______，______； ②第二行数中，任意连续的三个数分别记为a，b，c，则______． (2)用如图所示的“H”形框在第二行数中平移，任意圈住7个数，使得7个数的和为m，圈住的这7个数正中间的数为______．（用含m的代数式表示） (3)取“H”形框中的数，这7个数中最大的数记为p，最小的数记为q， 若，此时“H”形框中左上角的数是第一行的第n个数，求n的值． 6．中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖．这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形          …… 每层新增数 6 12 …… (1)根据信息中的规律，填空： 第一层总基站数：1个； 第二层总基站数：个； 第三层总基站数：个； 第四层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第五层新增基站数：______个，总基站数：______个； 第n层新增基站数规律：______（用含n的式子表示）个； (2)如果第n层总基站数的规律符合关系式，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 类型四、打折划算问题(选、填、解) 1．“十一”黄金周，商场为促销开始打折，设商品原价为a元，则打m折后的售价可以表示为（    ）． A．am B． C．am% D．0.1am 2．随着服装市场竞争日异激烈，某商场销售的一款运动装每套标价a元，第一次打折价格下调了25%，销售时每套又降价b元，则该运动装实际售价是多少元（    ） A． B． C． D． 3．某种商品原标价每件元，先提价后再打八折出售，打折后售价每件是______元． 4．某商店一台电脑的标价是4500元，为了促销，该商店计划打折销售，如果打了折，则这台电脑的售价是________元（用含的代数式表示）． 5．某校为提升生态环境质量，面向全市招募绿化养护公司，已知A、B两家公司每月每平方米绿化养护费用均为10元，且各自推出了如下收费方案： 公司A：每月每平方米绿化养护费用均打八折； 公司B：每月绿化面积在200平方米以内（含200平方米）不打折，超过200平方米的部分每月每平方米打六折． 设该校每月绿化面积为x平方米． (1)请用含x的式子分别表示选择A、B两家公司每月所需的绿化养护费用； (2)如果该校目前每月的绿化面积是600平方米，请通过计算说明选择哪家公司比较合算 6．某校为开展阳光体育活动，计划采购一批篮球和跳绳．某商店每个篮球标价为120元，每根跳绳标价为15元．该商店可提供两种促销方案： 方案一：每购买1个篮球，赠送1根跳绳； 方案二：所有商品按标价的付款． 该校计划购买篮球30个，跳绳m根． (1)若全部按方案一购买，需付款______元；若全部按方案二购买，需付款______元；（用含m的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明方案一和方案二哪种方案更省钱？ (3)经与商店协商，本次可以组合使用两种优惠方案：即部分商品按方案一购买，剩余商品按方案二购买．当时，请你为该校设计一种最省钱的购买方案，并计算出总付款金额． 类型五、代数式的整体思想(选、填、解) 1．若，则的值为（    ） A． B． C．5 D．3 2．已知代数式的值是6，则代数式的值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．若，则代数式的值为________． 4．若和互为相反数，和互为倒数，则代数式的值为________． 5．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 6．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小伟的解题过程如下： 原式 小伟把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 类型六、二进制问题(选、填、解) 1．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1．将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的五位数，则十进制35是二进制下的（   ） A．5位数 B．6位数 C．7位数 D．8位数 2．二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 3．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 4．我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数________________． 5．综合与实践：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制也就是说逢几进一，就是几进制，几进制的基数就是几．规定当时，．日常生活中，我们用十进制来表示数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．例如：． 计算机中采用的是二进制，只要用到两个数码：0，1． 例如：十进制中的，表示的是二进制的10101000． 任务一：十进制数36改写成二进制数是________________； 任务二：类比二进制数的算法，试求八进制数“3751”所表示的十进制数； 任务三：有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数x后，再按以下规定获得密码：当x为奇数时，破解公式为，当x为偶数时，破解公式为．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 6．【学习任务】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，“逢几进几”就是几进制.爱思考的小紫，在学完二进制的方法时，研制出表格法，可以快速将十进制的数进行任意进位转换（规定，）． 【示例呈现】 将25.5转化为二进制． 第一步制作表格：十进制的数从左到右左依次是…32，16，8，4，2，1，，，…； 从右到左，相邻两数是2倍关系； 第二步计算填表：将25.5用表中列出的十进制中的数对比，不够32，够16的1倍，对应二进制标注1，，9.5够8的1倍，对应二进制标注1，，依此类推，够的在二进制标注1，不够的填0，直至差为0． 十进制 32 16 8 4 2 1 二进制 0 1 1 0 0 1 1 0 第三步给出结果：从有1的位数开始从左到右记数，25.5的二进位就是； 第四步验证结果（二进制转化成十进制）：． (1)直接写出将10转化为二进制的结果； (2)计算：①（结果用二进制表示）； ②（结果用十进制表示）． (3)利用给出的表格，将转化为四进制； 十进制 四进制 a b c d e f 求的值． 【拓展提高】 (4)①利用表格法，将十进制数500转换为五进制数； ②求的值（结果用十进制表示）； ③根据下表，将2025转化为N进制所给出的信息，直接写出n的值． 十进制 N进制 1 3 2 1 3 备用表格： 类型七、错位相减与分数裂项(解) 1．阅读材料： 求的值． 解：设① 将①×2得：② 由②－①得：， 即 请你仿照此法计算：（其中n为整数） 2．如果要计算的值，可以用如下的方法： 解：设，① 在等式两边同乘2，则有，② ②−①，得，即， 所以． [理解运用]计算： (1) (2) 3．阅读材料，回答下列问题： 计算：． 解：设． 将等式两边同时乘2，得， 用下面的等式减去上面的等式，得，即． 故． (1)请你仿照此方法计算： ①； ②（其中为正整数）． (2)求的值． 4．先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算：． 5．观察下列等式并回答： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …             … (1)按照发现的规律写出第5个和第6个等式； (2)求的值； (3)直接写出的值（用n的式子表示）． 6．观察下列等式，， 将以上三个等式两边分别相加得：＝ （1）猜想并写出：＝　 　； （2）直接写出下列各式的计算结果： ①＝　 　； ②（本小题结果不需要化简）＝　 　； （3）探究并计算（本小题结果不需要化简）＝　 　． 类型八、有理数的圈次方与绝对值1、-1化简(解) 1．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 2．阅读材料，回答下列问题： 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式，______；______； (3)想一想，将一个非零有理数a的n（）圈次方写成乘方幂的形式等于______； (4)算一算： 3．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． = ； =             ；=             ． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于             ； （3）算一算：． 4．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 5．探究题：阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，所以当时，；当时，． 请用上面的结论解决下列问题： (1)已知，是有理数，当时， ． (2)已知，，是有理数，当时， ． (3)已知，，，是有理数，当时，的最大值是 ． 6．阅读下列材料：，当时，；当时，．运用以上结论解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则_______； (2)已知，，是有理数，当的，求的值； (3)已知，，是有理数，，且，求的值． 类型九、绝对值的最值问题与数轴动点(解) 1．数学实验室，点、在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题：    (1)数轴上表示2和6两点之间的距离是____；数轴上表示1和的两点之间的距离是____． (2)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为____；若，则___． (3)若表示一个有理数，则的最小值=____． (4)若表示一个有理数，当为_____，式子有最小值，最小值为___． 2．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　　． (2)若，则　　　． (3)若x表示一个有理数，则的最小值　　　． (4)若x表示一个有理数，当x为　　　，式子有最小值为　　　． (5)最大值为　　　 ，最小值为　　　． 3．【数学实验室】 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ；数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ． (2)若表示一个有理数，则 的最小值 ． (3)已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． (4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．    若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？ 4．先阅读，并探究相关的问题： 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长（点A到点B的距离）可以用右边的数减去左边的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示． 【问题探究】 (1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置： (2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________； (3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为 ；（用代数式表示） (4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A点、C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 5．阅读下面材料 如图1，若线段在数轴上，、两点表示的数分别是，，则线段的长（点到点的距离）可表示为.    请用上面的材料中的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动7个单位长度到达点. （1）此时点在数轴上表示的数为 ；点在数轴上表示的数为 ；并在图②中表示出、两点的位置. （2）若将点向左移动个单位长度，则移动后点表示为 （用含的代数式表示） （3）若点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速移动，同时，点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，则当为何值时. （4）若点从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，同时，另一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，到达原点后立即原路返回向右运动，当时，画出图形并求出时间的值. 6．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b．则A，B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：已知数轴上A，B两点对应的数分别为和9，P为数轴上一点，对应的数为x． (1)P，B两点间的距离可表示为______（用含x的式子表示）； (2)当点P在A，B两点之间且时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设A、B、P三点运动时间为t秒，则运动t秒后点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； (3)在（2）的条件下，当时，求t的值． 类型十、代数式与数轴的新定义(解) 1．定义：若一个三位数的十位数字的倍等于百位数字与个位数字之和，则这个三位数叫做“倍和数”．例如三位数，因为，所以它是“倍和数”． 【理解定义】 (1)三位数是否为“倍和数”？ 【建模推理】 (2)设一个“倍和数”的百位、十位、个位数字分别为，，，则，，满足的关系式为：______； (3)任意一个“倍和数”都能被整除吗？为什么？ 2．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 （1）三位数265_____“极差数”，583_____“极差数”；（均填“是”或“不是”） 【建模推理】 若一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为为正整数，为自然数），这个“极差数”可用表示； （2）写出之间的关系式为_____； （3）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 3．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)____________； (2)小晋同学想用学过的“整式的加减”知识说明上述【发现】是正确的，他的说理过程如下：设“异数”n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c．（请你继续完成小晋同学的说理过程） (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的最小值，并写出此时x的值． 4．【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 5．定义：数轴上有三个点，，，如果点到，两个点的距离成三倍关系，则称点是（，）的“三倍关联点”．例如，如图1，点表示的数是，点表示的数是，表示的点到点的距离是，到点的距离是，点到点的距离是到点距离的倍，那么称点是（，）的“三倍关联点”．    (1)如图2，点A表示的数是，点表示的数是，点分别表示数，，则两个点中是的“三倍关联点”的是 ．    (2)如图3，点表示的数是，点表示的数是．点是数轴上一动点，当其恰好是的“三倍关联点”时，求点表示的数．    (3)点表示的数是，点表示的数是（），点表示的数的最大值为，最小值为，若点是的“三倍关联点”，则的最小值为 ，的最大值为 ． 6．【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $