期中考前满分冲刺之解答题（69题）（二十三种覆盖训练）-2026-2027学年人教版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 聚焦期中高频考点，以“概念-运算-应用-拓展”为逻辑主线，覆盖23个知识模块，通过解答题系统训练数学抽象、运算能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数轴与有理数|9题|基础作图与分类|从数的表示到分类，构建有理数体系| |代数式运算|21题|化简求值与整式综合|从合并同类项到整体代入，强化代数变形能力| |应用与建模|24题|方案选择/水费电费/几何应用|用数学语言表达现实问题，发展应用意识| |规律与拓展|15题|新定义/数列规律/动点问题|通过探究培养推理能力与创新意识|

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一数轴上表示数并比较大小 1．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 2．完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 3．把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数：0，，，，；并用“”号连接． 覆盖二 有理数的分类 4．把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①5，②，③1.4，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨ 正有理数：（______________________________）自然数：（______________________________） 负分数：（______________________________）整数：（______________________________） 5．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 6．下面的大括号表示一些数的集合，把第1、2两题中的各数填入相应的大括号内： ，0，，，，，1，，，，325，，10.10，1000.1，． 正整数集：{                                           …}； 负整数集：{                                           …}； 整数集：{                                             …}； 有理数集：{                                           …}； 正有理数集：{                                         …}； 负有理数集：{                                         …}； 自然数集：{                                           …}． 覆盖三 有理数的混合运算 7．计算： (1) (2) 8．计算下面各题： (1)； (2) 9．计算 (1) (2) (3) (4) 覆盖四合并同类项与去括号化简 10．化简 (1) (2) 11．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)． 覆盖五化简求值 13．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 14．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 15．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 覆盖六整式A、B型化简 16．已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 17．已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 18．已知多项式，． (1)化简：； (2)当，时，求的值． 覆盖七相反数、绝对值、倒数的应用 19．a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值是2，并且，求的值？ 20．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．已知互为相反数，互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数为6，求的值． 覆盖八成反比例关系应用 22．某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 23．一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 24．某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 覆盖九有理数的混合应用 25．某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 26．张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 27．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 覆盖十代数式与几何应用 28．如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 29．如图，某地对一个长方形广场进行扩建，扩建后的广场的形状仍是长方形．（单位：） (1)求广场扩建部分（空白部分）的面积．（用含x的代数式表示） (2)若，则广场扩建部分的面积是多少平方米？ 30．小王家新买的一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：）， (1)厕所与卧室的面积和为______平方米；（用含a，b的式子表示） (2)若，，地面装修市场价：客厅和卧室每平方米200元，厨房和厕所每平方米250元．小王爸爸计划用3万元完成全屋地面装修，预算是否足够？ 覆盖十一绝对值数轴化简 31．已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． 32．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空： ； ； ； (2)化简：． 33．已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a 0； ② 0； (2)比较a、b、、的大小；（用“”把它们连接起来） (3)化简：． 覆盖十二方案划算问题 34．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价50元，售价60元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品20件，B商品30件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？ 35．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：买一件运动外套送一件卫衣； 方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折． 运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x件． (1)分别用代数式表示两种方案需付款金额； (2)当时，请计算并比较这两种方案哪种更划算； (3)当时，如果用方案一购买件运动外套，其余用方案二购买，取何值时，最省钱？ 36．某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表： 进价 （元） 售价 （元） 网球拍 100元/副 元/副 网球 5 元/个 元/个 某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍，720个网球．“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副网球拍赠送15个网球； 方案二：每购买120个网球，赠送 1副网球拍． (1)分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（结果用含a，b的代数式表示） (2)若，则按方案一、方案二购买，各需花费多少元？ (3)在（2）的条件下，若允许两种方案可以同时使用，该中学最少需花费 元． 覆盖十三 水费、电费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 注：水费按月结算 每月用水量 不超过的部分 超出但不超出的部分 超出的部分 单价 元 4元 8元 (1)填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费_____元； (2)若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分用水量为，水费12元；另外一部分用水量为_____，此部分应收水费_____元；则4月份总共应收水费_____元．（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民5月份用水（），求该户居民5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 38．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 2元 超过但不超过的部分 3元 超过的部分 4元 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费________元（用含的代数式表示）． (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费低于元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的代数式表示）． 39．某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电140千瓦时，应交电费_________元，若月用电240千瓦时，应交电费________元； (2)若居民王大爷家12月用电量为千瓦（），请计算他们家12月应缴电费_________元（用含的代数式表示）； (3)若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时（），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 覆盖十四代数式的规律应用 40．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 41．规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 42．如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 覆盖十五代数式的整体思想 43．【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 44．【阅读材料】 整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路．例如：已知，求代数式的值．明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：解：由得，，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，求代数式的值； (2)已知当时，，求当时，代数式的值； 45．【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】（1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】（3）若，求代数式的值． 覆盖十六代数式的新定义运算 46．定义一种新运算“f”：表示在运算作用下的结果．若表示在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 47．a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算： (1)； (2)． 48．若定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)计算的值． 覆盖十七二进制问题 49．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 50．综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 51．综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 覆盖十八错位相减 52．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 53．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发现了的简便解法： 设， 则 取：． 请用你学到的方法解决以下问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座层塔共挂了盘灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯？ 54．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)________； (2)________． (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程，答案用含有a和n的式子表示） 覆盖十九行列规律 55．观察下面三行数： 第①行：，4，，16，，64，…； 第②行：0，6，，18，，66，⋯； 第③行：，2，，8，，32，．．．． (1)第①行中的第个数是_____（用含的代数式表示）； (2)观察第②、③行与第①行中每个对应位置上的数，写出第②、③行的第个数（用含的代数式表示）； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 56．观察下面有规律排列的三行数： ，4，，16，，64，……① ，2，，14，，62，……② 0，6，，18，，66，……③ (1)第①行中的数可以看成按什么规律排列？ (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)取第①行中的第8个数，第②行中的第9个数，第③行中的第10个数，计算这三个数的和． 57．观察下列具有一定规律的三行数： 第一行 1 4 9 16 25 … 第二行 -1 2 7 14 23 … 第三行 2 8 18 32 50 … (1)第一行第个数为_______（用含的式子表示）； (2)取出每行的第个数，这三个数的和为482，求的值； (3)第四行的每个数是将第二行相对应的每个数乘以得到的，若这四行取出每行的第个数，求这四个数的和． 覆盖二十有理数的圈次方 58．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）比较： ；（填“＞”“＜”或“＝”） （4）计算：． 59．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作④，读作“的圈4次方”．一般地，把（个，）记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ (2)试一试：将一个非零有理数的圈n次方写成幂的形式是________． (3)算一算： 60．综合与探究： 【概念学习】 类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，记作，读作“2的圈3次方”， ，记作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ， ． （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 覆盖二十一分数裂项 61．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 62．观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出： ． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； (3)探究并计算． 63．阅读下面的材料： ∵ ＝×，＝×，＝×，…，＝×， ∴＋＋＋…＋＝×＋×＋×＋…＋× ＝×＝×＝．   请解答下列问题： （1）在和式＋＋＋…中，第100项是 ； （2）化简＋＋＋…＋，并求n=100时分式的值； （3）根据上面的方法，解方程：＋＋＝． 覆盖二十二绝对值的最值问题 64．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．阅读材料完成下列问题． 材料一：如图，已知数轴上两点．则两点之间的距离为两数差的绝对值，即，如：到5距离为两数差的绝对值，即，表示点到3的距离． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． (1)数轴上表示和5的数的两点之间的距离是_______； (2)为数轴任意一点，则有没有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出的取值范围． (3)数轴上点分别表示数，1，，若点与线段的距离为2，则求出的值． 65．[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 66．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C在数轴上表示数分别为：，，9一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q点运动几秒钟后到点A、B、C各点距离之和最短？ 覆盖二十三数轴动点求t 67．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 68．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的2倍． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图2，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 69．已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足． (1)_____，_____，_____，点和点之间的距离为_____； (2)若点在数轴上对应的数为，当点、点间距离是点、点间距离的4倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一数轴上表示数并比较大小 1．解答下列各题 (1)如图，数轴上点A，B，C，D分别表示什么数？ (2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，，0，5，，，3，． 【答案】(1)数轴上点A，B，C，D分别表示； (2)数轴上的点表示各数，如图： 【详解】（1）略 （2）略 2．完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)略 (2) 略 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 3．把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数：0，，，，；并用“”号连接． 【答案】 由可得数轴如下： ∴用“”号连接为． 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及大小比较、化简多重符号、绝对值，熟练掌握数轴上有理数的表示及大小比较、化简多重符号、绝对值是解题的关键；因此此题可根据数轴上有理数的表示及大小比较、化简多重符号、绝对值进行求解即可． 【详解】略 覆盖二 有理数的分类 4．把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①5，②，③1.4，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨ 正有理数：（______________________________）自然数：（______________________________） 负分数：（______________________________）整数：（______________________________） 【答案】①③⑧⑨；①⑥；④⑤⑦；①②⑥ 【分析】根据正有理数、自然数、负分数以及整数的定义逐个判断并填空即可． 【详解】解：根据正有理数的定义，大于0的有理数属于正有理数，可得正有理数内序号为①③⑧⑨； 自然数为非负整数，可得自然数内序号为①⑥； 负分数是小于0的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，可得负分数内序号为④⑤⑦； 整数包含正整数、0、负整数，可得整数内序号为①②⑥． 5．把下列各数填入相应的大括号里：，，，，，，，，． 正有理数集合： 非正整数集合： 正分数集合： 负分数集合： 【答案】；；； 【分析】根据正有理数（正整数和正分数）、非正整数（零和负整数）、正分数（正的有限小数和正的无限循环小数）、负分数（负的有限小数和负的无限循环小数）的定义，对每个数逐一判断，分别填入对应的集合． 【详解】解：正有理数集合：； 非正整数集合：； 正分数集合：； 负分数集合：． 6．下面的大括号表示一些数的集合，把第1、2两题中的各数填入相应的大括号内： ，0，，，，，1，，，，325，，10.10，1000.1，． 正整数集：{                                           …}； 负整数集：{                                           …}； 整数集：{                                             …}； 有理数集：{                                           …}； 正有理数集：{                                         …}； 负有理数集：{                                         …}； 自然数集：{                                           …}． 【答案】解：正整数集：{，1，325 …}； 负整数集：{，，…}； 整数集：{0，，1，，，325，…}； 有理数集：{，0，，，，，1，，，，325，，10.10，1000.1，…}； 正有理数集：{，，1，，325，10.10，1000.1…}； 负有理数集：{，，，，，，…}； 自然数集：{0，，1，325…}． 【详解】略 覆盖三 有理数的混合运算 7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算下面各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 覆盖四合并同类项与去括号化简 10．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接合并同类项得到化简结果； （2）先去括号，再合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项即可； （4）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减： （1）先去括号，再合并同类项； （2）先用乘法分配律去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 覆盖五化简求值 13．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 14．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）解：原式 ； 当时，原式； 15．先化简，再求值． (1)，其中， (2)，其中，满足 【答案】(1)化简结果为，值为 (2)化简结果为，值为 【分析】（1）先去括号再合并同类项，最后将，代入计算即可； （2）先去括号再合并同类项，再根据非负性求出，最后代入计算即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 解得 原式． 覆盖六整式A、B型化简 16．已知、、都是一次式，且，，． (1)化简； (2)求出当，时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，，代入，去括号合并同类项求出整式； （2）将，代入（1）中化简得到的中即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）得，， 将，代入得， ． 17．已知，． (1)化简； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键． （1）根据整式的加减计算法则求出的结果即可； （2）再把整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ， 原式． 18．已知多项式，． (1)化简：； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2)当，时， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，正确化简是解答的关键． （1）将A、B代入中，利用整式的加减运算法则化简即可； （2）将，代入（1）中化简式子求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ； （2）解：当，时， ． 覆盖七相反数、绝对值、倒数的应用 19．a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值是2，并且，求的值？ 【答案】188 【分析】本题考查的是相反数、倒数、绝对值性质、整式加减运算及求值，由题意得，再进行整式加减运算后代入求值即可． 【详解】解：依题意：， ∴， ∴ ． 把代入上式得： ． 20．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 21．已知互为相反数，互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数为6，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数、单项式、多项式、求代数式的值，根据多项式的次数求出m，根据单项式的系数求出n，根据倒数的定义求出，然后代入所给代数式求解即可． 【详解】解：因为多项式是六次四项式， 所以， 解得：， 因为单项式的次数为6， 所以，则， 解得， 因为互为相反数，互为倒数， 所以， 所以． 覆盖八成反比例关系应用 22．某机床要加工一批零件，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工的件数 63 42 35 30 … 加工时间（） 10 15 21 … (1)这批零件共________件； (2)表中________； (3)用表示每小时加工零件的件数，用表示加工时间，用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ 【答案】(1) (2) (3)；与成反比例关系． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，合理从表格中获取相关信息是解题的关键． （1）根据工作时间工作效率总数解答即可； （2）根据工作时间工作效率总数解答即可； （3）列出函数式子判断即可． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：件； （2）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴与成反比例关系． 23．一本《诗词大全》，小林每天读的页数和需要读的天数如表所示． 每天读的页数（页） 需要读的天数（天） (1)小林需要读的总页数为 页，“”盖住的数字为 ； (2)随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会怎样变化？ (3)设每天读的页数为，需要读的天数为，判断与之间成什么比例关系？ 【答案】(1)，； (2)越来越少； (3)与成反比例关系． 【分析】本题主要考查了有理数的运算的应用，成反比例关系，理解题意，根据表格得出结果是解题的关键． （）用表格中的一组数据，求出两数的积即可； （）观察表格数据即可求解； （）根据书的总页数等于每天读的页数乘以天数，得到与的关系，根据积一定，两个变量成反比例关系，作答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：观察表格数据可得：随着每天读的页数越来越多，需要读的天数将会越来越少； （3）解：∵， ∴与的关系是， ∴与成反比例关系． 24．某报刊报道了“涵养好家风·共筑家国梦”家风家教主题宣讲活动在榆林高新区举办的情况．小张录完这篇报道稿所需的时间与每小时录入的字数情况如下表： 每小时录入的字数/万字 … … 录完这篇报道稿所需的时间/小时 … … (1)小张录完这篇报道稿所需的时间是怎样随着每小时录入的字数的变化而变化的？ (2)用表示录完这篇报道稿所需的时间，表示每小时录入的字数，用式子表示与的关系．与成什么比例关系？ (3)若小张录完这篇报道稿用了小时，求小张每小时录入的字数． 【答案】(1)每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少 (2)，与成反比例关系 (3)每小时录入万字 【分析】本题考查变量的变化关系，反比例关系的判定与表达式，函数关系式的应用，识别两个变量之间的变化趋势是解题关键． （1）观察表格里每小时录入字数和所需时间的数值变化，可得出录入字数增加时，所需时间随之减少的结论； （2）根据报道的总字数为定值，可知为定值，与成反比例关系，设反比例关系式，代入一组数据求出的值，确定具体关系式； （3）把已知的时间代入第（2）问求出的反比例关系式中，通过解方程计算对应的每小时录入字数． 【详解】（1）解：据图表可知，每小时录入的字数从，，，不断增加， 所需时间从，，，不断减少， 故每小时录入的字数越多，完成录入所需的时间越少． （2）解：根据题意可知，报道的总字数为定值，即为定值， 故与为反比例函数关系，设反比例函数的解析式为， 将，代入，可得， 则与的函数关系为． 答：，与成反比例关系． （3）解：令，代入， 解得， 故当所需时间为小时时，每小时需录入的字数为万字． 答：每小时录入万字． 覆盖九有理数的混合应用 25．某文具厂工人刘师傅一天生产盒铅笔，以每盒克为标准，超过或不足的克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值（单位：克） 0 1 3 盒数 1 5 2 4 3 5 (1)盒铅笔中，最重的一盒比最轻的一盒重多少克？ (2)这盒铅笔的实际总质量是多少克？ (3)若生产每克铅笔的成本是元，这批铅笔按每盒元的价格售出盒后，剩余盒以每盒元的优惠价卖出．这盒铅笔全部售出后，刘师傅一共盈利多少元？ 【答案】(1)克 (2)克 (3)元 【分析】（1）先找到最重、最轻对应的质量差值，再用最重差值减去最轻差值，求出重量差． （2）先算出20盒铅笔的标准总质量，再计算所有盒数对应的质量偏差总和，标准总质量加上偏差总和得到实际总质量． （3）先计算全部销售总收入，再根据实际总质量算出生产总成本，利用盈利=总收入‑总成本求出盈利． 【详解】（1）解：（克）， 答：最重的一盒比最轻的一盒重7克． （2）解：（克） （克）， （克）， 答：这20盒铅笔的实际总质量是1002克． （3）解： （元）， （元）， （元）， 答：刘师傅一共盈利179.9元． 26．张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 27．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【分析】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【详解】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 覆盖十代数式与几何应用 28．如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 29．如图，某地对一个长方形广场进行扩建，扩建后的广场的形状仍是长方形．（单位：） (1)求广场扩建部分（空白部分）的面积．（用含x的代数式表示） (2)若，则广场扩建部分的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）将扩建后的长方形广场的面积减去原长方形广场的面积即可； （2）代入到（1）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得广场扩建后的长是，宽是， 所以广场扩建部分的面积是． 答：广场扩建部分的面积是． （2）解：当时，． 答：广场扩建部分的面积是平方米． 30．小王家新买的一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：）， (1)厕所与卧室的面积和为______平方米；（用含a，b的式子表示） (2)若，，地面装修市场价：客厅和卧室每平方米200元，厨房和厕所每平方米250元．小王爸爸计划用3万元完成全屋地面装修，预算是否足够？ 【答案】(1) (2)预算足够 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用； （1）由图可知厕所面积为，卧室的面积为，即可求解； （2）求出客厅的面积为，厨房的面积为，再由（1）中的面积，求出总费用进行比较，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，厕所面积为：，卧室的面积为：， ∴厕所与卧室的面积和为， 故答案为； （2）解：预算足够； 理由如下：由图形可知： 客厅的面积为（）， 厨房的面积为（）， 当，，厕所面积，卧室面积． 客厅和卧室地面装修费用元， 厨房和厕所地面装修费用元， ∵元万元， ∴预算足够． 覆盖十一绝对值数轴化简 31．已知有理数a，b，c，满足a，b互为相反数，，． (1)若，，请画出数轴，并在数轴上表示出有理数a，b，c． (2)若，用“”或“”填空：______0；______0；______0． (3)若，化简式子：． 【答案】(1) 如图，有理数a，b，c在数轴上表示， (2)，，； (3) 【分析】本题主要考查相反数的概念，数轴上点的大小关系，有理数的加减运算，绝对值的化简，利用已知条件推导大小关系是解题的关键． （1）先根据相反数求得b，进而画出数轴表示a，b，c即可； （2）根据有理数的加减及正负数判断即可求解； （3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合（2）结论化简即可． 【详解】（1）解：∵，，a，b互为相反数， ∴； （2）解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， 故答案为：，，； （3）解：若，由（2）得：，，， ∴， ∴． 32．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空： ； ； ； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值及整式的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值及整式的加减运算是解题的关键； （1）由数轴可得，且，然后问题可求解； （2）根据（1）及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，且， ∴； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知：， ∴ ． 33．已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a 0； ② 0； (2)比较a、b、、的大小；（用“”把它们连接起来） (3)化简：． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，绝对值，解题的关键是掌握有理数的大小比较，数轴知识，绝对值的定义． （1）利用数轴知识和有理数的大小比较解答； （2）根据数轴的特点以及相反数的意义标出、的位置，再由数轴上右边的数总比左边的数大的特点比较出a，b，，的大小即可； （3）先由数轴判断出，，，再由绝对值的性质化简即可得出结论． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴； 故答案为：①，②； （2）解：、的位置如图所示： 由数轴可得； （3）解：由数轴得， ∴，，， ∴ ． 覆盖十二方案划算问题 34．某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：A商品每件进价80元，售价100元；B商品每件进价50元，售价60元． 方案二：所购商品一律按进价加价销售． (1)某单位购买A商品20件，B商品30件，选择哪种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件，该单位选择哪种方案更合算？ 【答案】(1)选择方案二划算，便宜 80 元 (2)方案二更合算 【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，整式加减的应用． （1）分别求出方案一和方案二所付的款数，然后选择省钱的方案，求出所省的钱数； （2）分别表述出方案一和方案二所需付款，再作差比较大小即可． 【详解】（1）解：方案一费用：元， 方案二费用：元， 元，选择方案二划算，便宜80元； （2）解：∵某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的3倍多5件， ∴购买B商品件， 方案一费用：元， 方案二费用：元， 可知方案一比方案二多元， 即方案二更合算． 35．随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式．某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：买一件运动外套送一件卫衣； 方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折． 运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣x件． (1)分别用代数式表示两种方案需付款金额； (2)当时，请计算并比较这两种方案哪种更划算； (3)当时，如果用方案一购买件运动外套，其余用方案二购买，取何值时，最省钱？ 【答案】(1)方案一需付款元；方案二需付款元 (2)方案一更划算 (3)当时，值最小，即最省钱 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，根据题意解题即可． （1）根据题意即可列出代数式； （2）将分别代入(1)中求得的代数式，比较得出的结果即可； （3）根据题意列出总费用的代数式，结合a的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：方案一：购买运动外套100件，送100件卫衣，则还需购买件卫衣， 方案一需付款元； 方案二：购买运动外套100件，卫衣件，均打8折， 方案一需付款元． （2）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案一更划算． （3）解：由题意知： ， 当时，值最小，即最省钱． 36．某体育用品商店出售的网球拍和网球的进价、售价如表： 进价 （元） 售价 （元） 网球拍 100元/副 元/副 网球 5 元/个 元/个 某中学计划从该体育用品商店购买20副网球拍，720个网球．“双十一”期间，该商店推出了两种不同的促销方案： 方案一：每购买一副网球拍赠送15个网球； 方案二：每购买120个网球，赠送 1副网球拍． (1)分别按方案一、方案二购买，各需花费多少元？（结果用含a，b的代数式表示） (2)若，则按方案一、方案二购买，各需花费多少元？ (3)在（2）的条件下，若允许两种方案可以同时使用，该中学最少需花费 元． 【答案】(1)方案一：元、方案二：元． (2)6320元和6980元． (3)5920 【分析】本题主要考查了列代数式、整式加减运算的应用，能根据实际问题准确列出代数式，并进行化简、计算是解题的关键． （1）分别按两种方案表示出花费即可； （2）按照两种方案分别表示出各自花的钱数即可； （3）将分别代入方案一，方案二的花费表达式，进行计算比较，再确定方案三的花费最后确定出最省钱的花费． 【详解】（1）解：方案一： 元； 方案二： ． 所以方案一、方案二购买的花费分别为元和元． （2）解：当时， 按方案一的消费为：元； 按方案二的消费为：元． 所以按方案一、方案二购买，花费分别为6320元和6980元． （3）解：若两种方案同时使用，则为方案三：先买480只网球，则送4副球拍，同时再买16副球拍，则送240个网球， 则花费为： ， ∵， ∴两种方案同时购买的花费最省，为5920元． 故答案为：5920． 覆盖十三 水费、电费问题 37．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的，如表所示是该市自来水收费价格见价目表． 价目表 注：水费按月结算 每月用水量 不超过的部分 超出但不超出的部分 超出的部分 单价 元 4元 8元 (1)填空：若某户居民2月份用水，则2月份应收水费_____元； (2)若该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分用水量为，水费12元；另外一部分用水量为_____，此部分应收水费_____元；则4月份总共应收水费_____元．（用含的整式表示并化简） (3)若该户居民5月份用水（），求该户居民5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简） 【答案】(1)8 (2)，， (3)元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得（元），即可作答． （2）根据题干的信息，一部分用水量为，水费12元；另外一部分用水量为，此部分应收水费元；则4月份总共应收水费元，即可作答． （3）因为该户居民5月份用水（），所以列式进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， 故答案为：8； （2）解：∵该户居民4月份用水量（在6至之间），则应收水费包含两部分，一部分用水量为，水费12元； ∴另外一部分用水量为， ∴（元）， 即此部分应收水费元； ∴（元）， 则4月份总共应收水费元． 故答案为：，，； （3）解：依题意，元 答：该户居民5月份共交水费元． 38．某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）： 户月用水量 单价 不超过的部分 2元 超过但不超过的部分 3元 超过的部分 4元 (1)某用户一个月用了水，求该用户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为立方米，当时，则该用户应缴纳的水费________元（用含的代数式表示）． (3)甲、乙两用户一个月共用水，已知甲用户缴纳的水费低于元，设甲用户这个月用水，试求甲、乙两用户一个月共缴纳的水费（用含的代数式表示）． 【答案】(1)元 (2) (3) 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，理解题意并根据用水量计算对应区间的水费是本题的关键． （1）根据收费标准计算即可求解； （2）根据收费标准列出算式即可； （3）根据题干条件“甲用户缴纳的水费低于30元”可判断出甲的用水量，进而得出乙的用水量，再根据各收费标准分别计算甲、乙的水费并求和即可． 【详解】（1）解：（1） （元）， 答：该用户这个月应缴纳元水费； （2）解：当时，该用户应缴纳的水费为： 元， 故答案为：； 答：当时，该用户应缴纳元水费； （3）解：∵甲、乙共用水的总水费，甲水费低于元，说明甲用水量， 则乙用水量为， 甲的水费：元， 乙的水费（分三部分）： 以内：， 到：， 超过的部分：， 乙总水费：元， 总水费：元， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费元． 39．某市居民用电电费目前实行梯度价格表． 每月用电量 单价 不超出180千瓦时的部分 0.5元/千瓦时 超出180千瓦时不超出400千瓦时的部分 0.6元/千瓦时 超出400千瓦时的部分 0.8元/千瓦时 (1)若月用电140千瓦时，应交电费_________元，若月用电240千瓦时，应交电费________元； (2)若居民王大爷家12月用电量为千瓦（），请计算他们家12月应缴电费_________元（用含的代数式表示）； (3)若居民李大爷家11、12月份共用电380千瓦时（其中11月份用电量少于12月份），设11月用电千瓦时（），求李大爷11、12月共交电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)， (2) (3)11、12月共交电费元． 【分析】本题主要考查了整式加减的实际应用，列代数式及有理数乘法的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出题中等量关系以及不同情况下的收费标准，进行分类讨论． （1）根据表格可知，用电140千瓦时，按照单价元/千瓦时收费，即可求解；月用电240千瓦时，超过了180千瓦时，前面180千瓦时按照元/千瓦时收费，超过部分按照元/千瓦时收费，即可求解； （2）按照收费标准，列出代数式即可； （3）设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时，根据，得到，再根据单价列式即可． 【详解】（1）解：月用电140千瓦时，应交电费：（元）， 月用电240千瓦时，应交电费：（元）； （2）解：∵王大爷家12月份用电量超过了400千瓦时， ∴王大爷家12月份应缴电费为： 元， 则他们家12月应缴电费为元； （3）解：设11月用电a千瓦时，则12月用电千瓦时， ∵， ∴， ∴11、12月共交电费为：元． 覆盖十四代数式的规律应用 40．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 【答案】(1) (2) (3)①2500；②2400 【分析】（1）根据已知等式填写即可； （2）把已知等式发现规律即可； （3）①根据，确定； ②转化成的差，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：； （2）解：因为；；；…， 所以； （3）解：①原式； ②原式 ． 41．规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【答案】(1)； (2)①2500；②7500 【分析】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． （1）观察式子是连续的奇数相加可知是，观察图形的变化可得规律，根据发现的规律即可猜想的值； （2）①根据（1）中的规律即可求解；②每个数进行拆分，再根据①的结果，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵第1个图形中有（张）正方形； 第2个图形有（张）小正方形； 第3个图形有（张）小正方形； 第4个图形有（张）小正方形； …… 第n个图形有（张）小正方形； ∴． （2）解：， ∴． ． 42．如图是由大小相同的五角星摆出的一组有规律的图形，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，第个图形中有颗五角星，，按照这样的规律摆下去． (1)第个图形中有_____颗五角星； (2)请你用含的代数式表示第个图形中五角星的数量； (3)求第个图形中五角星的数量． 【答案】(1) (2)颗 (3)颗 【分析】本题考查了图形变化以及列代数式： （1）根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，根据发现的规律求出第 6 个图形中的五角星即可； （2）根据（1）中发现的规律即可； （3）根据发现的规律求出代入数值计算． 【详解】（1）由所给图形可知，第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 第个图形中五角星的数量是（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗， 当时， ， 故答案为：． （2）由（1）可知，第个图形中五角星的数量是颗． （3）当时，（颗）， 所以第个图形中五角星的数量是颗． 覆盖十五代数式的整体思想 43．【概念解读】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求出某一个(或多个)未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 ，求 的值，我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)把 看成一个整体，合并 的结果是 ； (2)如果， 求的值； (3)求 ，其中， 【答案】(1) (2)2021 (3)18 【分析】本题考查“整体思想”的应用，正确理解“整体思想”的定义与运用是解题的关键． （1）将看成一个整体，进行加减法运算即可； （2）利用整体思想的方法将所求式子化简为，将代入化简后的式子进行计算即可； （3）先去括号运算，将所求式子化简为，将，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由得： ， ； （3）解： 当，时，原式． 44．【阅读材料】 整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路．例如：已知，求代数式的值．明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下：解：由得，，所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，求代数式的值； (2)已知当时，，求当时，代数式的值； 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查整体代入法求代数式的值； （1）代数式变形为，再整体代入即可； （2）把代入代数式中得，再把代入代数式并整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵当时，， ∴， ∴当时， 原式 ； 45．【阅读材料】在湘教版七年级数学上册P126页“多知道一点——整体思想的应用”的描述中知道，整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的，有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】（1）若，求代数式的值； （2）已知当时，，求当时，代数式的值； 【拓展延伸】（3）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）13 【分析】本题考查了求代数式的值，用整体代入法求解即可． （1）用整体代入法求解即可； （2）根据当时，得，把代入后用整体代入法求解； （3）把原式变形为用整体代入法求解即可； 【详解】解：（1）， （2）当时，， ， 当时， （3），， ． 覆盖十六代数式的新定义运算 46．定义一种新运算“f”：表示在运算作用下的结果．若表示在运算f作用下的结果，它对一些数的运算结果如下，，，，……根据以上定义完成以下问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了数字规律类探索及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． （1）根据新运算，令即可求得的值； （2）利用新运算可分别求得的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 47．a，b为有理数，若规定一种新的运算“*”，定义，请根据“*”的定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)5 【分析】（1）根据题目中给出的信息列式计算即可； （2）根据题目中给出的信息列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型．解这种关于定义一种新运算的题目，关键是搞清楚新的运算规则，将新定义的运算转化为常见运算． 48．若定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算、求代数式的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 覆盖十七二进制问题 49．我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的理解能力，阅读能力和计算能力，是一道较好的综合题． 50．综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 【答案】(1) (2) (3)23 (4) 【分析】（1）按照材料2解答即可； （2）按照材料2解答即可； （3）根据材料1解答即可． （4）根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】（1）解：十进制数89，转二进制数如下： 所以； （2）解：十进制数89，转八进制数如下： 所以； （3）解：二进制数，转十进制数如下： （4）解：由题意得， 所以． 51．综合与实践 我们常用的数是十进制数，如：，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，只要用2个数码：0和1，如二进制中，即十进制的数5．（注：对于任何非零数a都有，如，） 【任务1】 （1）二进制中的数等于十进制中的哪个数？ 【任务2】 （2）计算：______（结果为十进制）； 【任务3】 （3）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．请求出她一共采集到的野果数量． 【答案】（1）53；（2）25；（3）1838． 【分析】本题主要考查了乘方的应用，二进制数写成十进制数， 对于（1），将二进制数写成，再计算得出答案； 对于（2），仿照（1）解答； 对于（3），根据二进制写成十进制数的方法可得，再计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：25； （3）根据题意，得． 覆盖十八错位相减 52．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）设， ， ∴， ， ． 53．古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发现了的简便解法： 设， 则 取：． 请用你学到的方法解决以下问题： (1)计算：； (2)计算：； (3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是一座层塔共挂了盘灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯？ 【答案】(1)364 (2) (3)塔的顶层共有盏灯 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数学常识、有理数的混合运算以及规律型数字的变化类. （1）设，则，利用，可求出的值； （2）设，则，利用，可求出的值； （3）设顶层灯数为，因每层灯数是上一层倍，利用错位相减结合总灯数列方程，求解得顶层灯数即可． 【详解】（1）解：设，则， 所以， 所以， 所以； （2）解：设，则， 所以， 所以，即； （3）解：设塔的顶层有盏灯，根据“下一层是上一层的倍”，各层灯数依次为： 顶层： 第层： 第层： 第层： 第层： 第层： 第层： 总灯数为层灯数之和，即： ， 即， 解得：． 答：塔的顶层共有盏灯． 54．阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)________； (2)________． (3)求的和（，n是正整数，请写出计算过程，答案用含有a和n的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法运算．理解题意，熟练掌握有理数的乘方，有理数的加法运算是解题的关键． （1）设①，则②，计算求解即可； （2）设①，则②，计算求解即可； （3）设①，则②，计算求解即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ∴得，， ∴， 故答案为：． （2）解：设①，则②， ∴得，， ∴， 故答案为：； （3）解：设①，则②， ∴得，， 解得， ∴． 覆盖十九行列规律 55．观察下面三行数： 第①行：，4，，16，，64，…； 第②行：0，6，，18，，66，⋯； 第③行：，2，，8，，32，．．．． (1)第①行中的第个数是_____（用含的代数式表示）； (2)观察第②、③行与第①行中每个对应位置上的数，写出第②、③行的第个数（用含的代数式表示）； (3)取每行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了数字规律探索，列代数式，有理数混合运算，根据已知数据找到变化规律是解题的关键． （）根据第①行的数排列为：，，，，，即可求解； （）根据第②行的数比第①行对应的数大，第③行的数是第①行对应的数的即可求解； （）根据找到的规律列式计算即可． 【详解】（1）解：∵第①行的数排列为：，，，，，， ∴第①行第个数是， 故答案为：； （2）解：第②行的第个数是． 第③行的第个数是． （3）解：每行中第10个数的和是 ． 56．观察下面有规律排列的三行数： ，4，，16，，64，……① ，2，，14，，62，……② 0，6，，18，，66，……③ (1)第①行中的数可以看成按什么规律排列？ (2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ (3)取第①行中的第8个数，第②行中的第9个数，第③行中的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)，，，，……第个数为 (2)第②行的数是第①行中相应的数减2，即第个数为，第③行的数是第①行中相应的数加2，即第个数为 (3)768 【分析】本题考查了数字的规律探索，解题的关键是找出每行数字与第①行数字的关系，并根据规律计算对应位置的数． ①分析第①行数字的符号和绝对值规律； ②对比第②、③行与第①行对应位置的数，找出数量关系； ③根据规律求出对应位置的数，再求和． 【详解】（1）解：规律为：，即第个数为； （2）解：观察第②行与第①行对应位置的数： 第②行的数是第①行中相应的数减2，即第个数为， 观察第③行与第①行对应位置的数： 第③行的数是第①行中相应的数加2，即第个数为； （3）解：第①行的第8个数：当时，， 第②行的第9个数：当时，， 第③行的第10个数：当时，， 这三个数的和为：． 57．观察下列具有一定规律的三行数： 第一行 1 4 9 16 25 … 第二行 -1 2 7 14 23 … 第三行 2 8 18 32 50 … (1)第一行第个数为_______（用含的式子表示）； (2)取出每行的第个数，这三个数的和为482，求的值； (3)第四行的每个数是将第二行相对应的每个数乘以得到的，若这四行取出每行的第个数，求这四个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律问题，解题时要利用表格中数字的变化特点发现规律． （1）根据表格中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数； （2）根据表格中的数据，可以写出第二行和第三行的第n个数字，然后根据取出每行的第m个数，这三个数的和为482，可以求出m的值； （3）根据题意可以写出第四行的第n个数，然后根据这四行取出每行的第n个数，然后求和即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，…， ∴第一行第n个数为， 故答案为：； （2）由表格可知， 第二行的第n个数为，第三行的第n个数为， ∴第一行的第m个数为，第二行的第m个数为，第三行的第m个数为， ∵取出每行的第m个数，这三个数的和为482， ∴， 解得，（舍去）， 即m的值是11； （3）∵第四行的每个数是将第二行相对应的每个数乘以得到的， ∴第四行的第n个数为， ∴ ． 覆盖二十有理数的圈次方 58．概念学习： 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果： ； ； （2）下列关于除方说法中，错误的有 A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 D．圈n次方等于它本身的数是1或． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）比较： ；（填“＞”“＜”或“＝”） （4）计算：． 【答案】（1）1，；（2）D；（3）＞；（4） 【分析】本题主要考查含定义新运算，有乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的除方运算法则即可求解； （2）根据除方运算法则逐个验证即可求解； （3）根据除方运算法则进行计算，再根据有理数比较大小的方法即可求解； （4）根据除方运算法则，含有乘方的有理数的混合运算法则即可求解； 【详解】解：（1），， 故答案为：； （2）A、任何非零数的圈2次方都等于1，正确，不符合题意； B、任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确，不符合题意； C、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，不符合题意； D、∵的圈n次方中，当为偶数时，结果为正， ∴原选项说法错误，符合题意； 故选：D； （3），， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4） ． 59．规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作④，读作“的圈4次方”．一般地，把（个，）记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________． 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ (2)试一试：将一个非零有理数的圈n次方写成幂的形式是________． (3)算一算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算方法，在有理数除法的基础上定义多个相同的非零数的除法的表达方法，并根据有理数除法法则计算；掌握有理数的乘除法法则是解题的关键。 （1）根据除方的计算方法即可求解。 （2）把一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，写成字母表述的形式； （3）根据圈a的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：一个非零有理数的圈次方； 故答案为：； （3）解：原式 ． 60．综合与探究： 【概念学习】 类比有理数的乘方运算，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，记作，读作“2的圈3次方”， ，记作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ； ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式： ， ． （3）算一算：． （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），要求写出推导过程，将结果写成乘方幂的形式．（结果用含a，n的式子表示） 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （4）根据新定义计算即可． 【详解】解：（1），； （2）， ； （3）； （4） 覆盖二十一分数裂项 61．观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据题意猜想得到结论，写出即可； （2）①②利用得出的拆项法化简各式，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：； （2）① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，根据题中的等式得出相应的规律是解本题的关键． 62．观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出： ． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； (3)探究并计算． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）仿照例题，裂项相消可得； （2）①仿照例题，用裂项相消的方法，将式子①化简为，再进行计算即可；②将式子②化简为，再进行计算即可； （3）根据（2）的方法将所求式子用裂项相消的方法化简求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）① = = =， 故答案为：． ② = = =， 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律以及异分母分式的减法，解答的关键是分析出所存在的规律并灵活运用． 63．阅读下面的材料： ∵ ＝×，＝×，＝×，…，＝×， ∴＋＋＋…＋＝×＋×＋×＋…＋× ＝×＝×＝．   请解答下列问题： （1）在和式＋＋＋…中，第100项是 ； （2）化简＋＋＋…＋，并求n=100时分式的值； （3）根据上面的方法，解方程：＋＋＝． 【答案】（1）；（2）， ；（3）x=2 【分析】（1）根据每一项的特点，分析出规律，利用规律即可得出第100项； （2）仿照题干中例题，将每一项拆分成两项，然后抵消中间项，即可得出答案，令n=100即可求出n=100时分式的值； （3）仿照例题，将分式方程的左边进行化简，然后再解分式方程即可． 【详解】（1）第一项为 第二项为 第三项为 …… 第100项为 （2）＋＋＋…＋ =×＋×＋×＋…＋× ＝× ＝× ＝ 当 时，原式= （3）＋＋ =×＋×＋× ＝× ＝× = 则原方程为= 方程左右两边同时乘以 得， 解得 经检验，是原分式方程的解 【点睛】本题主要考查分式的加减运算及解分式方程，理解材料中给出的解题方法是关键． 覆盖二十二绝对值的最值问题 64．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．阅读材料完成下列问题． 材料一：如图，已知数轴上两点．则两点之间的距离为两数差的绝对值，即，如：到5距离为两数差的绝对值，即，表示点到3的距离． 材料二：在数轴上，对于点与线段的距离，我们给出如下定义：对于该数轴上的一点与线段上一点，如果有最小值，那么称这个最小值为点与线段的距离．显然，若点落在线段上（含端点），则点与线段的距离为0． (1)数轴上表示和5的数的两点之间的距离是_______； (2)为数轴任意一点，则有没有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出的取值范围． (3)数轴上点分别表示数，1，，若点与线段的距离为2，则求出的值． 【答案】(1)； (2)有最小值，最小值为，的取值范围是； (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，利用数形结合的思想是解题关键． （1）直接根据数轴上两点间距离公式(两点所表示数的差的绝对值)计算； （2）将转化为，结合绝对值的几何意义，把式子转化为点到两点的距离之和，利用两点之间线段最短确定最小值及的范围； （3）分点在线段左侧、右侧两种情况讨论，根据距离定义列方程求解，在线段上时距离为0，不符合题意无需考虑． 【详解】（1）解：数轴上表示和5的两点之间的距离为； 故答案为：． （2）解：， 表示数轴上点到点与点的距离之和． 根据两点之间线段最短，当点位于点和点之间(包括端点)时，距离之和取得最小值，最小值为，此时的取值范围是； （3）解：已知点表示，点表示，线段对应的数的范围是． ①当点在线段左侧时，点到线段的距离为， 解得； ②当点在线段右侧时，点到线段的距离为， 解得； 点在线段上时，距离为，不符合距离为的条件，故舍去． 综上，的值为或． 65．[阅读材料] 数轴是非常重要的数学工具，它可以使问题更加直观．数轴上两点间的距离，可以看作数轴上这两点所对应的数差的绝对值．如图1，数轴上有A、B、C三个点，表示的数分别为：、2、4，A、B两点之间的距离为． [初步感知] （1）如图1，A、C两点之间的距离为_____； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为_____； [拓展研究] （1）数轴上有个动点表示的数是x，则的最小值是_____； （2）已知，则的最大值是_____； [实际应用] 某县城可近似看作为一个正方形，如图2，正方形的四个顶点处有四家快递公司A、B、C、 D，它们分别有快递车24辆、12辆、6辆、18辆．为迎接“双十一”活动，使得各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动车辆：那么一共调动的车辆数最小值为_____辆．（不考虑其他因素） 【答案】[初步感知]：（1）5（2）[拓展研究]：（1）4（2）5[实际应用]：18 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值的意义． [初步感知]：（1）利用两点间的距离公式进行计算即可； （2）利用两点间的距离公式进行计算即可； [拓展研究]（1）根据绝对值的意义，得到当当在到之间时，的值最小，为到的距离，即可； （2）根据绝对值的意义，得到的最小值为4，的最小值为，根据，得到，，进而得到的最大值，再进行计算即可； [实际应用]根据题意，得到在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多，这样调动的车的数量最小，进而得到先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站，再从站调动6辆到站，此时调动的数量最小，求解即可． 解题的关键是掌握两点间的距离公式，以及绝对值的意义． 【详解】解：[初步感知]：（1）A、C两点之间的距离为； 故答案为：5； （2）数轴上表示x和3两点之间的距离为； 故答案为：； [拓展研究]（1）表示数轴上到1的距离与到4的距离之和， ∴当在到之间时，有最小值为：； 故答案为：3； （2）∵表示数轴上到1的距离与到的距离之和， ∴当在到1之间时，有最小值为； 同理：当在到2之间时，有最小值为； ∵； ∴，， ∴， ∴当，时，有最大值为； 故答案为：5； [实际应用]∵， ∴每个站点最终都应该有15辆车， ∵只能从相邻的公司调动，且一共调动的车辆数最小， ∴需要在调动车辆时，经过的站点数量最小，且每个站点调入的车辆比调出的数量多， ∴先从站调动9辆车到站，从站调动3辆到站， 此时，站，站都是15辆车，站21辆，站9辆， 再从站调动6辆到站，此时站，站也都是15辆车， 共调动：辆； 故答案为：． 66．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则______； (3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)已知点A，B，C在数轴上表示数分别为：，，9一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q点运动几秒钟后到点A、B、C各点距离之和最短？ 【答案】(1)或 (2)7 (3)4 (4)21秒 【分析】（1）由题意可知，，再解方程即可； （2）由点P位于表示的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）先确定点Q运动到时，到点A、B、C各点距离之和最短，再求解时间即可． 【详解】（1）解：∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得或． （2）解：∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． （4）解：设Q点表示的数为时，到点A、B、C各点距离之和最短， ∴的值最小， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵， ∴； ∴Q点运动21秒钟后到点A、B、C各点距离之和最短． 【点睛】此题考查了数轴，用数轴上点表示有理数，数轴上两点间距离公式，有理数混合运算，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 覆盖二十三数轴动点求t 67．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且． (1)点A、B对应的数分别为 ， ． (2)若点A、B分别以4个单位/秒和2个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A、B相距2个单位长度？ (3)点A、B以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位/秒的速度也同时向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4； (2)当经过秒或后A，B相距2个单位长度； (3)当时，为定值，定值为44． 【分析】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）求出，的值可得结论． （2）根据题意可列方程，可求出t的值，注意分两种情况； （3）首先根据题意求出，的长，设经过t秒，可得，，，则，可得当时，值为定值． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，， ∴A点表示，B点表示4． （2）设经过x秒后A，B相距2个单位长度， ∵， ∴或． 当经过秒或后A，B相距2个单位长度． （3）∵A、B对应的数分别为、4． 设经过t秒，点A表示的数是，点B表示，点P表示， ∴，，， ∴． 当时，， ∴当时，为定值，定值为44． 68．如图1，已知点、、、在数轴上对应的数分别是、、、，其中、满足，点到原点距离是点到原点距离的2倍． (1)填空：______，______，______； (2)如图1，若点、、分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过秒后，点与点之间的距离表示为． ①为何值时，？ ②若的值始终保持不变，求的值； (3)如图2，将数轴在原点，点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”动点从点出发．以每秒3个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向匀速运动至点，同时，动点从点出发以每秒4个单位长度沿着“折线数轴”的负方向变速运动，该点在平地保持初始速度不变，上坡时速度变为初始速度的一半，下坡时速度变为初始速度的两倍，设运动时间为秒．若、两点在点处相遇，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)，，； (2)①14；②6； (3)8 【分析】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． （1）根据平方和绝对值的非负性，得到，，再根据数轴上两点之间的距离，得到点到原点距离是，进而得到； （2）①由题意可知，经过秒后，点、、在数轴上对应的数分别是、、，从而得到，，根据“”列方程即可得解 ②由题意可知，，当点在点左侧时，，当点在点右侧时，，对进行化简整理，再根据的系数为0，即可求出的值； （3）设运动时间为秒，分别表示出点、表示的数，若、两点在点处相遇，则点、表示的数相同，据此列方程，确定满足条件的值，即可得到点表示的数． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 点到原点距离是， 点到原点距离是点到原点距离的2倍， 点到原点距离是， 由数轴可知，点在原点右侧， ， 故答案为：，，； （2）解：①由题意可知，经过秒后，点、、在数轴上对应的数分别是、、， 点在数轴上对应的数是， ，， ， ， 解得：； ②由题意可知，点一直在点左侧，则， 当点在点左侧时，此时， ， 的值始终保持不变， ， 解得：（不符合题意，舍）； 当点在点右侧时，此时， ， 的值始终保持不变， ， 解得：， 综上可知，的值为6； （3）解：由题意可知，，，，， 设运动时间为秒，则点表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， 当时，点在上时，表示的数为， ①当点在上时，则，解得：， 此时点、均不在上，不符合题意； ②当点在上时，则，解得：， 此时点、均在上，符合题意，此时点表示的数为； ③当点在上时，则，解得：， 此时点、均在上，符合题意，此时点表示的数为； ④当点在上时，则，解得：， 此时点、均不在上，不符合题意； 综上可知，点表示的数为． 69．已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足． (1)_____，_____，_____，点和点之间的距离为_____； (2)若点在数轴上对应的数为，当点、点间距离是点、点间距离的4倍时，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，，，2 (2)或 (3)存在符合条件的值， 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系、绝对值与平方的非负性、数轴上两点距离公式，以及代数式： （1）利用平方与绝对值的非负性求出，再代入计算，最后用数轴两点距离公式求距离； （2）先明确的距离表达式，根据题目倍数关系建立绝对值方程，再解方程得到的值； （3）先写出运动秒后点的坐标，再表示出的长度，代入化简，最后通过含的项系数为的条件求出定值． 【详解】（1）解：， ， ， ， 点和点之间的距离为． 故答案为：1，，，2． （2）解：， ， 或． （3）解：存在符合条件的值， 经过秒点表示的数是，点表示的数是， ， ， 由题意，， ， 即存在符合条件的值． 学科网（北京）股份有限公司 $