1.2 等腰三角形(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形的证明及其应用 第一章 等腰三角形（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线。 (1)若△ABC的面积是20，BC=4,求AD的长。 (2)若∠CAD=20°，求∠ACE的度数。 【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质可证AD⊥BC,再由三 角形的面积公式即可求解。(2)先根据等腰三角形的性质求出∠CAB的 度数，证出∠B=∠ACB,再根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，最 D 后利用角平分线的定义求出∠ACE的度数 例题图 【解答】(1).AB=AC,AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC。△ABC的面积是20，BC= 4.BCAD-x4xAD-20.D=10 (2).AB=AC,AD是△ABC的中线，∠CAD=20°，∴.∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB。 :∠B+∠ACB+∠CAB=I80,∠B=∠ACB=号(I80P-∠CAB)=70°。CE是△ABC的角平分线， ·LACE=↓LACB=35°。 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，以及等腰三角形的顶角平 分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，求出∠ACB的度数是解题的关键。等腰 三角形的两个性质是证明两个角相等、两条线段相等和两条线段垂直的重要依据。 基础巩固达标闯关 -ss多修修 1.如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D,那么 ∠ADB= 0 3.若等腰三角形有两条边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 数学 八年级下册（北师大版） 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AE=DE,∠BAE=30°， ∠CED=45°，则∠DAE= 5.定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么 称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍 E 第4题图 角三角形”，则它的顶角度数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC 于点D,连接BD,则∠ABD=（) A.30° B.40° C.45° D.60° 7.四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化。当 △ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，△ABC是等边三角形，AB=6,BD是AC边上的中线，延长BC到点E,使 CE=CD,则BE的长为() A.7 B.8 C.9 D.10 9.如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD。有下列四个结论： ①BP=PC;②∠PBC=15°；③AD∥BC;④四边形ABCD是轴对称图形。其中正确结论的 个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，在△ABC中，D,E为边BC上的两点，AB=AC,AD=AE。求证：BD=CE。 B D E 第10题图 11.如图，△ABC是等边三角形，点B,C,D,E在同一条直线上，且CG=CD,DF= DE,求∠E的度数。 第11题图 三角形的证明及其应用 第一章 能力提升蹄综合拓展 12.在等边三角形ABC中，点D,E分别在直线AB,AC上，且AD=CE,BE,CD交于 点P。 (1)如图1，当点D,E分别在边AB,AC上时，求∠CPE的度数。 (2)如图2，当点D,E分别在边BA,AC的延长线上时，其他条件不变，求∠CPE的 度数。 图1 图2 第12题图 13.在等腰三角形ABC中，∠A=。 (1)当a=110°时，∠B的度数为 (2)当x=80时，求∠B的度数。 (3)当的度数不同时，得到∠B的度数的个数也可能不同，请你探究当∠B有三个不 同的度数时，α的取值范围。 14.如图，△ABC是等边三角形，以BC为底边在其下方作等腰三角形BCD,且∠BDC= 120°，再以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB,AC于点E,F,连接EF。 (1)求证：EF=BE+CF。 (2)若AB=5,求△AEF的周长。 0 第14题图 口数学 八年级下册（北师大版） 15.问题：如图，在△ABD中，BA=BD,在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使 EA=EC,若∠BAE=90°，∠B=45°。 (1)填空：∠DAC= (2)如果把“问题”中的条件“∠B=45”去掉，其他条件不变，那么∠DAC的度数会 改变吗？请说明理由。 (3)如果把“问题”中的条件“∠B=45o”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE= n”,其他条件不变，求∠DAC的度数。 第15题图 中考链接©真题演练 16.(2025·广西)如图，点A,D在BC的同侧，AB=BC=CA=2,BD=CD=V2,则AD= 0 第16题图 第17题图 17.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB= A.100° B.115 C.130° D.145° 18.(2023·烟台)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边， 在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE。在线段EC上取一点 F,使EF=AD,连接BF,DE。求证：DE=BF。 第18题图 ④数学 八年级下册（北师大版） ABCD中，∠A=150°，∠D=80°，∴.∠ABC+∠BCD= 2等腰三角形（第1课时）】 360°-∠A-∠D=360°-(150°+80°)=130°。.·∠ABC和 1.240°2.105°3.124.80°5.36°或90° ∠BCD的平分线交于点P∠PBC=∠ABC, 6.C7.B8.C9.D 2 ∠PCB=7∠DCB。LPBC+LPCB=65°。∠BC 10.证明：如图，过点A 作AF⊥BC,垂足为F。 180°-∠PBC-∠PCB=180°-65°=115°。(2)：五边形 AB=AC,AF⊥BC,BF= ABCDE的内角和为180°×(5-2)=540°，.∠EDC+ CF。AD=AE,AF⊥BC, E ∠BCD=540°-(LA+∠B+∠E)。:∠EDC和∠BCD的平 DF=EF。BF-DF=CF-EF, 第10题答图 即BD=CE。 分线交于点P,∴LPDC=号∠EDC,LPCD=号LDCB。 11.解：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°。 ∠0G+LPGD=号[540-(LA+LB+∠E]。六∠P ∠ACD=180°-∠ACB=120°。CG=CD,.∠CDG= ∠CGD=1(180°-∠ACD)=30°。DF=DE,.∠DFE= I80r-[540-(∠A+∠B+∠E)]=3(ZA+∠B+∠E)- ∠E=1∠CDG-15°。 90°。 2 9.解：90°。理由：多边形的内角和一定是180 12.解：(1)△ABC是等边三角形，.BC=AC, 的整数倍，且每一个内角都小于180°，又7×180°= ∠ACB=∠BAC=60°。又.AD=CE,.·.△BCE≌△CAD 1260°<1350°<1440°=-8×180°，.这个多边形的内角和 (SAS)。∴.∠CBE=∠ACD。:∠BCD+∠ACD=60°， 的度数为1440°。.这个内角的度数为1440°-1350° ∠BCD+∠CBE=6O°。又LCPE=∠BCD+∠CBE, =90°。 ∠CPE=60°。(2)△ABC是等边三角形，∴.BC= 10.911.3612.45°13.C AC,∠ACB=∠BAC=60°。：∠BCE=180°-∠ACB, 1三角形内角和定理（第4课时）】 ∠CAD=180°-∠BAC,∴.∠BCE=∠CAD=120°。又 1.902.73.100°4.48°5.C6.B AD=CE,∴.△BCE≌△CAD(SAS)。.∠BEC= 7.解：正五边形的内角和=(5-2)×180°=540°， ∠ADC。:∠ECP=∠ACD,∴.∠BEC+∠CPE=∠ADC+ ∠C0F-号×540°=108°。“正六边形的内角和=(6-2)× ∠CAD。∴.∠CPE=∠CAD=120°。 13.解：(1)35°(2)当∠A为顶角时，∠C= 180°=720°，∠B0P=1x720°=120°。：多边形的外角 6 ∠B=2(10-80)=50。当∠A为底角时，若∠B为 和都是360°，“正五边形的一个外角为∠0GB=宁× 顶角，则∠B=180°-2a=180°-2×80°=20°；若∠B为底 角，则∠B=∠A=80°。综上所述，∠B=50°或20°或 360°=72°，正六边形的一个外角为L0BC=1x360°= 80°。(3)分两种情况：①当90°≤a<180°时，∠A 6 60°。在△B0C中，∠B0C+∠OCB+∠OBC=180°，. 只能为顶角，LB的度数为(180°-a)。②当0°<a< ∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180°-60°-72°=120°-72°= 48°。∠POF+∠BOP+∠B0C+∠COF=360°，∴.∠POF= 90时，若∠A为顶角，则∠C=∠B=号(180°-a)；若 360°-∠B0P-∠C0F-∠B0C=360°-120°-108°-48°=84°。 ∠A为底角，则∠B=a或∠B=180°-2a。:∠B有三个 8.解：·.·∠DAE=∠E+∠F,∠EBG=∠H+∠G, ∠GCM=∠M+∠N,∠CDP-∠P+∠Q,∠DAE+∠EBG+ 不同的度数，(180-a)≠a≠180°-2a,即a≠60。 ∠GCM+∠CDP=360°，∴.∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+ 综上所述，当∠B有三个不同的度数时，α：的取值范 ∠N+∠P+∠Q=360°。 围是0°<a<90°且a≠60°。 9.解：(1)设这个凸多边形的边数为n,根据题 14.(1)证明：如图，延 意，得(m-2x180P=-2022。解得n=l3易。m应为整 长AC到点M,使CM=BE。: △ABC是等边三角形，AB= 数，∴.多边形的内角和不可能为2022°。(2)设小 AC=BC=5,∠ABC=∠ACB= 李求的是n边形的内角和，这个外角为x°，则0<x< 60°。.BD=CD.∠BDC=120° 180.根据题意，得(n-2)×180=2022-x。.∵x=2022- .'.∠DBC=∠BCD=30°。.∴.∠DBE (n-2)×180=2382-180n。.0<x<180,.0<2382-180m< ∠DCA=60°+30°=90°。∴.∠DBE= D 180.120n<13易。m为正整数，n=13。小李 ∠DCM-90°。又.BE-CM,BD 第14题答图 CD,..△DCM≌△DBE(SAS)。 求的是十三边形。 DE=DM,∠CDM=∠BDE。.'∠BDC=120°，∠EDF= 10.A11.B 60°，.∠BDE+∠CDF=60°。..∠CDM+∠CDF=∠MDF= 6O°。∴.∠MDF=-∠EDF。又：DF=DF,∴.△MDF≌△EDF 参考答案与提示 (SAS)。EF=FM。FM=CM+CF,∴.EF=BE+CF。 9.证明：(1)AD平分∠BDE,.∠ADB= (2)·△AEF的周长=AE+AF+EF,由(I)知EF=BE+ ∠ADE。AD=AB,.∠B=∠ADB=∠ADE。∠BAD= CF,.△AEF的周长=AE+AF+BE+CF=AB+AC。: ∠CAE,∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC。∴.∠BAC= △ABC是等边三角形，.AB=AC=5。.△AEF的周长= ∠DAE。又∠B=∠ADE,AB=AD,∴.△BAC≌△DAE 5+5=10。 (ASA)。AC=AE。.△ACE是等腰三角形。(2)在 15.解：(1)45°(2)∠DAC的度数不会改变。 △ABD中，设∠B=∠ADB=∠ADE=Q,.∠BAD=180°- 理由：EA=EC,∴∠CAE=∠C。.∠AED=2∠CAE。: (∠B+∠ADB)=180°-2ax。.∠BAD=∠CAE=180°-2a。 ∠BAE=90°，∴.∠B=180°-∠BAE-∠AED=90°-2∠C。 ∠ADB=∠ADE=Q,∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE= BA=BD,ZBAD=∠ADB。∴ZBAD=2I80-∠BF 180°-2a。∴.∠CAE=∠CDE。 10.(1)证明：如图1， 3[180-(90-2∠C]=45+∠C。∠DME=∠BME- 过点P作PF∥AQ交BC于点 F,∴.∠PFB=∠ACB,∠DPF ∠BAD=90°-(45°+∠C)=45°-∠C。∴.∠DAC=∠DAE+ ∠CAE=45°-∠C+∠C=45°。(3)EA=EC,. ∠Q。AB=AC,∴LB=LACB。 ∠CAE=∠C。∠AED=2∠C。∠BAE=n°，∠B= ∴.∠B=∠PFB。∴.BPPF。BP= 180°-n°-∠AED=180°-n°-2∠C。BA=BD,∴.∠BAD= CQ,PF=CQ。又：∠PDF= 图1 ∠QDC,∴.△DPF≌△DQC(AAS)。.PD=DQ。(2) ∠ADB。∠BAD-2(180P-∠B)=7[180-(180P-n- 解：线段ED的长度保持不变。理由：①如图2，若点 P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于点F。与 2∠C)]=7n+LC。∠DAB=∠BAE-∠BAD=n2 (I)同理可证，PB=PF,△DPF≌△DQC。DF=DC。 -∠C=7-LC。∠DAC=∠DAE+∠CAE= PE1BC,BE=ER。ED=EF+Fm=BF+C=月 L0+zG2。 BC=3。②如图3，若点P在线段BA的延长线上，过 点P作PM∥AC交BC的延长线于点M,设PQ与CM 16.V3-117.B 交于点D,.∠M=∠ACB。AB=AC,∴.∠B=∠ACB。 18.证明：，△ACD,△BCE分别是以AC,BC为 ∴∠B=∠M。PM=PB。PE⊥BC,BP=CQ,∴BE=EM, 底边的等腰三角形，AD=DC,CE=BE。.∠A= PM=CQ。PM∥AC,∴.∠MPD=∠CQD,∠M=∠DCQ。 ∠DCA,∠ECB=∠CBE。·∠A=∠CBE,∴∠A=LECB= ∴.△PMD≌△QCD(ASA)。.CD=DM。∴ED=EM-DM= ∠DCA=∠CBE。.CD∥BE。∴∠DCE=∠CEB。EF= AD,.EF=DC。又CE=BE,∴.△DCE≌△FEB(SAS) BM-CM=宁(BM-CW)=BC=3。综上所述，线 ·DE=BF。 段ED的长度保持不变。 2等腰三角形（第2课时）】 1.32.B3.D4.C 5.证明：：∠BAC=90°，.∠ABE+∠AEB=90°。 AD⊥BC,.∠DBF+∠BFD=90°。∠ABE=∠CBE, ∠AEB=∠BFD。:∠BFD=∠AFE,∴.∠AEB=∠AFE ·AE=AF。 6.证明：AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD。 图2 图3 第10题答图 DE∥AC,∠ADE=∠CAD。.∠ADE=∠BAD。 11.D AE=DE。∠EBD=∠EDB,∴EB=ED。AB=AE+EB, ·AB=2DE。 2等腰三角形（第3课时） 7.证明：，·∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BED+ 1.答案不唯一，如：∠B=60°或∠C=60°或AB=AC ∠DEF+∠FEC=l80°，∠B=∠DEF,.∠BDE=∠FEC。 或AC=BC或AB=BC :AB=AC,∠B=∠C。又BD=CE,∴.△BED≌△CFE。 2.63.44.D DE=EF,即△DEF是等腰三角形。 5.(1)证明：BP=AP=AO=OC,∴.∠B=∠PAB 8.(1)证明：△ABC是等边三角形，∠ABC= ∠C=∠QAC。∠PAQ=60°，∴.△APQ为等边三角形。 LACB=60°。·BD是等边三角形ABC的中线，： ∴.∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°。∠APQ=∠B+∠PAB, ∠ABD=∠CBD=30°。∠ACB=∠E+∠CDE,CE=CD, LAQP=∠C+∠QAC,∴∠B=∠PAB=∠C=∠QAC=30°。 ∠E=∠CDE=30°。.∠CBD=∠E。.DB=DE。(2) AB=AC。(2)解：∠B=∠C=30°，∴.∠BAC=180° 解：成立。若BD是△ABC的角平分线或高，根据等 -∠B-∠C=120°。 腰三角形的三线合一性质，BD即是三角形的中线，转 6.证明：△ABC和△DEB为等边三角形，.BC= 化为(1)的问题。 AB.∠ABC=∠DBE=60°.DB=EB。.·.△ADB≌△CEB