4.1认识三角形(边)（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

4.1认识三角形(边) （7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 辨别三角形与相关概念 题型二 三角形的个数 题型三 三角形的分类 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定三角形第三边的取值范围 题型六 确定三角形第三边的值 题型七 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 能力提升题 题型一 由三角形的三边关系化简绝对值 题型二 由三角形的三边关系进行证明 题型三 三角形的三边关系的应用 题型一 辨别三角形与相关概念 1.下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接而组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 3．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的组成元素，关键是掌握对边是指这个角对面的那条边． 【详解】解：在中，的对边是． 故选C． 4.（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________； （2）如图，线段是____________和____________的边； （3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．    【答案】（1），，，；（2）；；（3），，；，， 【分析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，，， 故答案为： ，，，； （2）解：由题意知，线段是和的边， 故答案为：，； （3）解：由题意知，的3个内角是，，； 三条边是，，， 故答案为：，，；，，． 【点睛】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 题型二 三角形的个数 5．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的个数． 找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数． 【详解】解：图中的三角形有：，，，，， ∴图中共有个三角形， 故选：． 6．如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 7．如图，以为高的三角形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．由于于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数． 【详解】解：∵于D， 而图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有6个，分别为 ∴以为高的三角形有6个． 故选：C． 8．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 9．如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要查了三角形的个数．根据三角形定义解答即可． 【详解】解：图中的三角形有：，共16个， 故选：D 10．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 11.如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． 12．[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 题型三 三角形的分类 13．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 14．我们已经学了很多数学知识，它们之间有密切的联系．下列不能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形，四边形，有理数分类，解答本题需熟练掌握分类标准，明确分类方法．根据等边三角形、等腰三角形之间的关系；三角形按照角度分类：锐角三角形，钝角三角形和直角三角形；有理数包含整数和分数；长方形属于特殊的平行四边形；进行解答即可． 【详解】解：A．等边三角形属于特殊的等腰三角形，等腰三角形属于特殊的三角形，因此等边三角形应该是等腰三角形的圆圈内，故A符合题意； B．长方形属于特殊的平行四边形，故B不符合题意； C．三角形按照角度可以分为：锐角三角形，钝角三角形和直角三角形，故C不符合题意； D．整数属于有理数，故D不符合题意． 故选：A． 15．下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角． 根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形． 【详解】对于A，锐角三角形中，任意两个内角之和都大于，选项说法正确，不符合题意； 对于B，三角形中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意； 对于C，由定义三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，故C说法错误，符合题意； 对于D，三角形中至少有一个角小于等于，选项说法正确，不符合题意． 故选：C． 16．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据三角形内角和定理及三角形按角分类的标准判断即可． 【详解】验证内角和：，符合三角形内角和为的性质； 判断角类型：和均小于，为锐角，大于，为钝角； 分类三角形：若三角形中有一个角是钝角，则为钝角三角形； 综上，该三角形是钝角三角形． 故选：C． 17.在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据在中，，可求出各角的度数，进而得出结论． 【详解】解：解：∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 18．在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类和三角形内角和定理，熟练掌握三角形的分类和三角形内角和定理是解题的关键，根据，设，则，，根据三角形内角和定理解得，故，从而得到答案． 【详解】解：设， ∵ ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 19．已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【详解】解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 20．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，判断这个三角形的形状． 【答案】这个三角形是等腰直角三角形 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，设三个内角分别为，根据三角形的内角和定理，求出三个角的度数，进而判断出三角形的形状即可． 【详解】解：由题意，设三个内角分别为． 根据三角形内角和，可得： ， 解得：， 则三个角分别为， ∴这个三角形是等腰直角三角形． 21．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 22．中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 【答案】为钝角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．先根据题意表示出，，根据三角形内角和是，列出方程，求出的度数，即可得出和的度数，根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形即可求解． 【详解】解：∵是的倍，比大， 故，， 即， ∵， 即， 解得：， 故， ， 所以为钝角三角形． 题型四 构成三角形的条件 23．下列各组线段能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系，逐一比较两条较小边的和与最大边的大小即可得答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 24．已知线段a，b，c，有，则组成三角形必须满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边不等关系．根据三角形三边关系，两边的和大于第三边，要满足这点，主要是要较小的两边和大于最大一条边，即可解答． 【详解】解：因为，即a为最长边， 所以组成三角形必须满足的条件是 故选：B 25．有，，，长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多组成三角形的个数为（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题关键． 先写出所有组合，再根据三边关系判断即可． 【详解】解：任选三条线段的情况有，，；，，；，，；，，； 其中，能构成三角形的有，，；，，； 最多组成三角形的个数为2个， 故选：B． 26．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 题型五 确定三角形第三边的取值范围 27．如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形边之间的关系是解题的关键． 先根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边的取值范围，然后再求其周长的取值范围即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：第三边大于，且小于． 则周长的取值范围是，即． 故选：C． 28．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 29．已知三角形两边的长分别是4cm和9cm (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，求第三边的长； (3)求周长的取值范围（第三边的长是整数）． 【答案】(1)第三边的取值范围是5cm<X<13cm (2)第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm． (3)18cm<周长<26cm 【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边和三角形两边之差小于第三边即可得到解答； （2）根据第三边的取值范围选出偶数即可； （3）利用第三边的取值范围再加上已知的三角形两边长即可求得． 【详解】（1）设第三边长为xcm， 9-4=5（cm）， 9+4=13（cm）， ∴第三边的取值范围是5cm<x<13cm； （2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12， ∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm． （3）周长=4+9+第三边， ∵5cm<第三边<13cm， ∴18cm<周长<26cm． 【点睛】本题考查了三角形三边的三边关系，解决此题的关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的差，小于两边的和． 30．已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 题型六 确定三角形第三边的值 31．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5， ∴， 即， 故选B． 32．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键；根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：，即， A、B间的距离可能是9米， 故选：． 33．已知三角形两边长分别是和，则下列数据中不能作为第三边长的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理．一定要注意构成三角形的条件：两边之和第三边，两边之差第三边． 首先根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边为． 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 故不能作为第三边长的是14． 故选：D． 34．已知长度分别为和的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用．设构成三角形的第三条边长为，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求解出第三边长的取值范围． 【详解】解：设构成三角形的第三条边长为， 则，即， ∴第三条线段长可以是， 故选：B． 35．如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 【答案】这个三角形的周长为或 【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为， ∴， ∴， ∵x为偶数， ∴或， 当时，这个三角形的周长是：； 当时，这个三角形的周长是：； 综上，这个三角形的周长为或． 36．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 【答案】的值为或或 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进而确定的值即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，且x为奇数， ∴，即：， 则的值为或或． 37．已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 是奇数 ． 的周长为16． （2）解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 38．已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 题型七 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 39．已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论． 分两种情况讨论，当为底边长时和当为底边长时两种情况讨论． 【详解】解：当为底边长时，腰长为， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为； 当为底边长，腰长为时， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴周长为， 故它的周长为或． 故选：C． 40．等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．分①腰长为和②腰长为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得． 【详解】解：①当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以满足三角形的三边关系， 所以此时它的周长为； ②当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以不满足三角形的三边关系； 综上，这个等腰三角形的周长为， 故选：C． 41已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为 . 【答案】或 【分析】根据题意，边长为11cm，可能为腰，也可能为底边，分两种情况讨论并进行验证即可. 【详解】当腰长11cm时，三角形周长为：11+11+11=cm ， 当底边长11cm时，三角形周长为：2+11=cm ， 经检验：腰为11cm，底边为cm ；底边为11cm，腰为cm 都可构成三角形，符合题意. 故答案为cm或cm 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，并对各种情况是否能构成三角形进行验证是解题的关键． 42.一个等腰三角形的周长为18厘米 （1）已知腰长是底长的2倍，求各边长？ （2）已知其中一边的长为4厘米，求其他两边的长？ 【答案】（1）等腰三角形三边为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米． （2）等腰三角形另外两边的长为7厘米，7厘米． 【详解】试题分析：（1）等腰三角形腰长相等，根据腰长是底长的2倍，设底边长为x，则腰长为2x，2x+2x+x=18，解答就可． （2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意． 解：（1）设底边长为x，则腰长为2x， 2x+2x+x=18， 5x=18， x=3.6， 2x=7.2 所以等腰三角形三边为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米． （2）①当等腰三角形的底边长为4厘米时，腰长=（18﹣4）÷2=7（厘米）； 则等腰三角形的三边长为4厘米、7厘米、7厘米，能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为4厘米时，底边长=18﹣2×4=10； 则等腰三角形的三边长为4厘米4厘米、10厘米，不能构成三角形． 故等腰三角形另外两边的长为7厘米，7厘米． 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 43.已知a、b、c为的三边长．若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值． 【答案】 【分析】对进行a为腰长或a为底边进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：因为为等腰三角形，且周长为16， 所以当为腰长时，那么底边为， 因为，所以不能构成三角形，故为腰长舍去； 所以当为底边时，那么腰长为， 故4为底边，腰长为，符合三角形的三边关系， 则． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． ． 题型一 由三角形的三边关系化简绝对值 44．若a，b，c是的三边，化简． 【答案】 【分析】此题主要考查三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边 同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【详解】解：∵a、、是的三边长， ， ． 45．已知的三个内角的对边分别为． (1)化简：； (2)若满足，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)是钝角三角形，理由见详解 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简绝对值，即可作答． （2）结合得，根据三角形内角和性质进行化简整理得，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵的三个内角的对边分别为 ∴ ∴， ∴ ； （2）解：是钝角三角形，理由如下： ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴两式子相加得 解得 ∵ ∴ 即是钝角三角形． 46．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴根据三角形三边关系可得， ∵第三边的长为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 47．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①②为等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值： （1）根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可； （2）根据三角形的三角关系求出的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴原式； （2）①∵，， ∴， ∴， ∵三角形的周长为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形． 题型二 由三角形的三边关系进行证明 48.如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 49.如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 【答案】(1)，， ， (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系； （1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）利用三角形三边关系进行证明即可． 解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边． 【详解】（1）解：由三角形的两边之和大于第三边，得，， 将不等式两边相加得：， 即； 故答案为：；；；． （2）解：在中，， 在中， 在中，， 将三个不等式相加得：， 即． 50.如图，已知点O为内任意一点，证明：． 【答案】见解析 【分析】延长BO交AC于点D，根据三角形三边关系进行求解即可； 【详解】如图，延长BO交AC于点D． 在中，，① 在中，，② ①+②，得． ， ， ，③ 同理可证，④ ，⑤ ③+④+⑤，得，即． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确理解是解题的关键． 题型三 三角形的三边关系的应用 51．如图是长治市部分行政区图，潞州区A 点和潞城区 B点的图上距离为，潞城区B点和平顺县C点的图上距离为，则A点和 C 点图上距离可能是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】该题考查了三角形的三边关系，根据题意可知A点、B点和 C 点形成三角形，符合三角形三边关系，据此求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∴，即， 故A点和 C 点图上距离可能是， 故选：D． 52．若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是根据三角形三边关系得出不等式，进而分析得出a、b的关系． 先根据判断出与的大小，再依据三角形三边关系列出不等式，推导出，结合、是大于的整数，得出，从而求出答案． 【详解】解：因为， 所以， 根据三角形三边关系得： ①， ②， 由①得，， 由②得，， 所以， 又因为a，b均是大于1的整数， 所以， 即． 故选：B． 53．已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用， 根据已知条件，先得出的可能值是，再结合三角形的三边关系，对应求得的值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； ∵三角形边长相同，形状也就相同， 上述三角形中三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次， ∴满足条件的三角形一共有个， 故选：． 54．已知三条线段，，（，且）． (1)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (2)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了的代数化简与比较以及三角形的构造条件，通过作差比较和根据三角形三边关系判断能否构成三角形是解题的关键． （1）先比较与的大小，与的大小就可以证明线段b是这三条线段中最长的线段； （2）通过计算，利用三角形三边关系来判断即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，即； ， ， 同号且非零， ，即， 综上，线段b是这三条线段中最长的线段． （2） ， ， ， ， ， ， ，即，不满足三角形三边关系， 以这三条线段长为边无法构造三角形。 55．我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 56．先仔细阅读下列例题，再解答问题． 已知，求m和n的值． 解：把等式左边变形， 得， 即． 因为， 所以， 即． 仿照以上解法，解答下列问题 (1)已知的三边长分别为，且，则为_______三角形． (2)已知，求x和y的值． 【答案】(1)等腰 (2)，． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，据此即可判断三角形的形状； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ，，， ，，， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）解：， ， 即， ，， 解得：，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1认识三角形(边) （7大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 辨别三角形与相关概念 题型二 三角形的个数 题型三 三角形的分类 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定三角形第三边的取值范围 题型六 确定三角形第三边的值 题型七 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 能力提升题 题型一 由三角形的三边关系化简绝对值 题型二 由三角形的三边关系进行证明 题型三 三角形的三边关系的应用 题型一 辨别三角形与相关概念 1.下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．观察下列图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，的对边是（   ） A． B． C． D． 4.（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________； （2）如图，线段是____________和____________的边； （3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．    题型二 三角形的个数 5．如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，以为高的三角形共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 9．如图，在中，相交于O点，则图中的三角形的个数是（　　） A．7个 B．10个 C．15个 D．16个 10．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11.如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 12．[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 题型三 三角形的分类 13．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A．B．C．D． 14．我们已经学了很多数学知识，它们之间有密切的联系．下列不能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 15．下列命题不正确的是（   ） A．锐角三角形中，任意两个内角之和都大于 B．三角形中至少有两个内角是锐角 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形中至少有一个角小于等于 16．若一个三角形的三个内角的度数分别为，，，则这个三角形是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 17.在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 18．在中，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 19．已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 20．已知一个三角形的三个内角的度数之比为，判断这个三角形的形状． 21．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 22．中，是的倍，且比大，试判断的形状并说明理由． 题型四 构成三角形的条件 23．下列各组线段能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 24．已知线段a，b，c，有，则组成三角形必须满足的条件是（ ） A． B． C． D． 25．有，，，长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多组成三角形的个数为（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 26．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 题型五 确定三角形第三边的取值范围 27．如果三角形的两边长分别为3和5，那么周长l的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 28．已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 29．已知三角形两边的长分别是4cm和9cm (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，求第三边的长； (3)求周长的取值范围（第三边的长是整数）． 30．已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 题型六 确定三角形第三边的值 31．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 32．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 33．已知三角形两边长分别是和，则下列数据中不能作为第三边长的是（   ） A． B． C． D． 34．已知长度分别为和的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 35．如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长． 36．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 37．已知中，，，且为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 38．已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 题型七 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 39．已知一个等腰三角形的一边长等于，一边长等于，那么它的周长为（　　） A． B． C．或 D． 40．等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 41已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为 . 42.一个等腰三角形的周长为18厘米 （1）已知腰长是底长的2倍，求各边长？ （2）已知其中一边的长为4厘米，求其他两边的长？ 43.已知a、b、c为的三边长．若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值． ． 题型一 由三角形的三边关系化简绝对值 44．若a，b，c是的三边，化简． 45．已知的三个内角的对边分别为． (1)化简：； (2)若满足，试判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，并说明理由． 46．已知的三边长分别为． (1)化简：； (2)若，第三边的长为奇数，判断的形状． 47．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且三角形的周长为偶数． ①求c的值； ②试判断的形状． 题型二 由三角形的三边关系进行证明 48.如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 49.如图1，填空： 由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________． (1)补全上面步骤； (2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：． 50.如图，已知点O为内任意一点，证明：． 题型三 三角形的三边关系的应用 51．如图是长治市部分行政区图，潞州区A 点和潞城区 B点的图上距离为，潞城区B点和平顺县C点的图上距离为，则A点和 C 点图上距离可能是（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 52．若a，b，c能构成三角形的三条边长，则称为“三角形数组”．已知是“三角形数组”，其中a，b均是大于1的整数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 53．已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 54．已知三条线段，，（，且）． (1)证明：线段b是这三条线段中最长的线段； (2)请说明是否能以这三条线段长为边构造三角形． 55．我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 56．先仔细阅读下列例题，再解答问题． 已知，求m和n的值． 解：把等式左边变形， 得， 即． 因为， 所以， 即． 仿照以上解法，解答下列问题 (1)已知的三边长分别为，且，则为_______三角形． (2)已知，求x和y的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $