1.1 三角形中的线段和角（分层作业19题）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

**基本信息** 本练习以“三角形中的线段和角”为核心，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到动态探究的知识进阶，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形边角对应、个数计数、三边关系|以选择填空为主，如第1题边角对应、第8题三边关系，强化概念理解| |提升层|中线性质、重心应用、面积计算|结合图形变换，如第6题中点面积、第13题重心面积，培养空间观念| |拓展层|动态探究、规律归纳、综合证明|设置动点问题（第19题）、规律探究（第15题），发展创新意识与推理能力|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.1 三角形中的线段和角（分层作业19题） 一、选择题 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键． 根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角． 【详解】解：如图所示： ∴边的对角是， 故选：D． 2．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中“大角对大边”的性质．根据三角形中“大角对大边”的性质，由可直接得出其对边的大小关系． 【详解】解：∵在中，（已知）， 又∵三角形中大角对大边， ∴， 故选：D． 5．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 6．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据点、、分别是、、的中点，得到，，，继而得到，，再根据三角形底边的中线把三角形的面积分为相等的两部分即可得出结论． 【详解】解：根据点、、分别是、、的中点，得到，，， ∴， ∴． 7．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 二、填空题 8．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 【答案】 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，可得 ，即． 9．如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】8（答案不唯一） 【分析】设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数，求解即可； 【详解】解：设乙走的路程为x千米，根据题意，得，且x是整数， 故乙走的路程是8千米或9千米或10千米； 10．如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为_______ 【答案】 【分析】由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而可得，设，则有，，，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，，k不为0， ∴，化简得：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键． 11．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将沿的方向平移，使得点A移至图中的点的位置，写出平移过程中线段扫过的面积________． 【答案】8 【分析】根据平移画出图形，结合图形利用割补法求解可得． 【详解】解：如图， 线段扫过的图形为平行四边形， 则． 12．如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，此时即为边上的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 13．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 14．如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平移的性质，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等，可判断①②；连接，由平移的性质得，，求出，可得，进而可判断③错误；说明，然后根据梯形面积公式求解可判断④正确． 【详解】解：沿射线平移得到， ，， 结论①正确； 点的对应点为，点的对应点为， 与都是平移距离， ， 结论②正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论③错误； ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ，， ， ∴， 结论④正确． 综上可知，正确的有①②④． 三、解答题 15．成都某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区。规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内有3个观测点时，可得9个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区（不被分割的三角形）数量为多少呢？ 【答案】 【分析】先统计已知的观测点数量和对应三角形数量的几组数值，明确这是数列规律推导问题．分析每增加1个观测点时三角形数量的变化情况，因为新增的观测点在已有三角形内部时，会将该三角形拆分为3个小三角形，所以可得出相邻两项的递推关系．根据递推关系，结合观测点从1到3的数值，推导n个观测点时的三角形数量表达式．也可以用内角和法：所有三角形的内角和由两部分组成，一部分是五边形的内角和，另一部分是内部每个观测点处的周角和，因为所有三角形内角和也等于三角形个数乘以180°，所以可以通过列等式求解三角形个数． 【详解】方法1：找规律归纳 根据题目给出的条件： 当五边形内观测点个数 时，三角形个数为； 当时，三角形个数为； 当时，三角形个数为； 可以发现规律：观测点每增加1个，三角形数量增加2个， 因此当五边形内有个观测点时，三角形数量为． 方法2：内角和验证 设三角形总数为，所有三角形的内角和可从两方面计算： 每个三角形内角和为， 因此总内角和为； 五边形本身内角和为，每个内部观测点周围的角度和为，个观测点共贡献， 因此总内角和为． 联立等式： ， 化简得． 16．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】(1)② (2)构成三角形的周长为13或14 【详解】（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 17．如图，方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)画出边上的中线（保留作图痕迹）； (2)若，求边上的高线长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点、，连接交于点，连接，线段即为所作； （2）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：取格点、，连接交于点， 由网格特点可得：为的中点，连接，线段即为所作； （2）解：设边上的高线长为， ∴， ∴， 即边上的高线长为． 18．如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°． （1）求证：ABCD； （2）如图2．射线BF．DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探究∠CDF与∠CDE的比值，并说明理由； （3）若点H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）（3）∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行证明； （2）作EP∥AB，FQ∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）根据角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分点H在点D的左边和右边两种情况，表示出∠ABH和∠EBI，从而得解． 【详解】证明：（1）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC， ∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB， 又∵∠EBD＋∠EDB＝90°， ∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°， ∴AB∥CD； （2）作EP∥AB，FQ∥AB，如图3， 又∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EP，AB∥CD∥FQ， ∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°， ∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF ∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED， ∴＝ （3）∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠EBD， ∵BI平分∠HBD， ∴∠HBD＝2∠IBD， 如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD−∠HBD， ∠EBI＝∠EBD−∠IBD， ∴∠ABH＝2∠EBI， ∵AB∥CD， ∴∠BHD＝∠ABH， ∴∠BHD＝2∠EBI， 如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD， ∠EBI＝∠EBD＋∠IBD， ∴∠ABH＝2∠EBI， ∵AB∥CD， ∴∠BHD＝180°−∠ABH， ∴∠BHD＝180°−2∠EBI， 综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°−2∠EBI． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键，难点在于（3）分情况讨论并理清图中各角度之间的关系． 19．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.1 三角形中的线段和角（分层作业19题） 一、选择题 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D． 2．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 4．在中，、、所对的边分别是a、b、c，若，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 6．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在，点F、D、E分别是边、、上的点，且、、相交于点O，若点O是的重心，则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确结论有（   ） A．②③ B．①③④ C．②④⑤ D．②③④ 二、填空题 8．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 9．如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可） 10．如图，在中，，，垂足分别为点D和点E，与交于点O，连接并延长交于点F，若，，，则值为_______ 11．如图，在直角坐标系中， 的三个顶点均在格点上，其位置如图所示．现将沿的方向平移，使得点A移至图中的点的位置，写出平移过程中线段扫过的面积________． 12．如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 13．如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 14．如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题 15．成都某湿地公园规划将一片五边形区域划分为多个三角形生态保育区。规划人员在五边形内部设置若干个观测点，连同五个顶点，用小路（直线段）连接这些点，使得每个区域都是三角形且小路除端点外不交叉．经验发现：如图，当五边形内有1个观测点时，可得5个三角形生态区；当五边形内有2个观测点时，可得7个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内有3个观测点时，可得9个三角形生态区（不被分割的三角形）；当五边形内部设置n个观测点时，可划分出的三角形生态区（不被分割的三角形）数量为多少呢？ 16．三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． (1)、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． (2)若，，为整数，求构成的三角形的周长． 17．如图，方格纸中的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)画出边上的中线（保留作图痕迹）； (2)若，求边上的高线长． 18．如图1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°． （1）求证：ABCD； （2）如图2．射线BF．DF交于点F，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF时，试探究∠CDF与∠CDE的比值，并说明理由； （3）若点H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD．请直接写出∠EBI与∠BHD的数量关系． 19．如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $