3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线的简单几何性质，通过类比椭圆范围、对称性、顶点的研究方法设计探究问题，引导学生观察归纳，搭建从椭圆到抛物线的知识迁移支架，帮助建立几何性质与方程的联系。 以探究式学习为主线，用表格梳理不同标准方程的几何性质培养逻辑推理能力，典例与练习结合强化知识应用，助力学生用数学眼光发现问题、用数学思维分析问题，提升自主探究与综合解题能力。

3.3.2抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质. 2.能解决与抛物线的简单几何性质相关的问题. 3.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题. 一、抛物线的简单几何性质 探究1　类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 探究2　观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 探究3　类比求椭圆顶点的方法，尝试求抛物线的顶点. ⚪梳理教材 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 范围 x≥0，y∈R 对称轴 x轴 焦点 坐标 F（，0） 准线 方程 x＝－ x＝ y＝ y＝ 顶点 坐标 O（0，0） 离心率 e＝ ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）抛物线关于顶点对称.（　 ） （2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.　（　 ） （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.（　 ） （4）抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.（　 ） （5）抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.（　 ） 【典例1】　已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M（1，－2）.求抛物线的标准方程和准线方程、焦点坐标、对称轴及离心率. ⚪解题感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 （1）开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p；离心率恒等于1. 【练习1】　（多选）平面内到定点F（0，1）和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则（　 ） A.曲线C的方程为x2＝4y B.曲线C关于x轴对称 C.当点P（x，y）在曲线C上时，y≥0 D.当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 二、由抛物线的几何性质求标准方程 【典例2】　（1）边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（　 ） A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x （2）已知双曲线C1：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 . ⚪解题感悟 由抛物线的几何性质求其标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数. （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点与准线的距离，从而得到抛物线的标准方程. 【练习2】　（1）以x轴为对称轴，坐标原点为顶点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（　 ） A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝8x或y2＝－8x D.x2＝8y或x2＝－8y （2）已知抛物线C同时满足以下三个条件： ①C的顶点在坐标原点；②C的对称轴为坐标轴；③C的焦点F在圆（x－2）2＋y2＝9上.则C的方程为 .（写出一个满足题意的即可） 三、抛物线简单几何性质的应用 探究4　我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），试分析弦长与坐标的关系. ⚪梳理教材 1.抛物线的焦点弦公式 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 焦点弦 x1＋x2＋p p－y1－y2 2.当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为 ，为最短焦点弦长，称为通径. ⚪温馨提示　该公式仅适用于焦点弦，不适用于一般弦.另外，y2＝2px（p＞0）上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）到焦点的距离之和｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p. 【典例3】　（1）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是 . （2）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2.求这个抛物线的方程. ⚪解题感悟 　　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题方面具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件.在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解. 【练习3】　已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. ⚪课堂达标 1.（多选）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　 ） A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（　 ） A.（，±） B.（，±） C.（，） D.（，） 3.若抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则m的值为（　 ） A.4 B.－4 C.2 D.－2 解析版 ⚪学习目标　1.依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质. 2.能解决与抛物线的简单几何性质相关的问题. 3.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题. 一、抛物线的简单几何性质 探究1　类比研究椭圆范围的方法，观察抛物线，你可以发现抛物线上点的横坐标和纵坐标的范围分别是什么？ 提示：横坐标的范围是x≥0，纵坐标的范围是y∈R. 探究2　观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 提示：观察图形容易得到开口向右的抛物线关于x轴对称，没有对称中心. 探究3　类比求椭圆顶点的方法，尝试求抛物线的顶点. 提示： 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程y2＝2px（p＞0）中，当x＝0时，y＝0，因此抛物线的顶点就是原点. ⚪梳理教材 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 范围 x≥0，y∈R 　x≤0，y∈R　 　y≥0，x∈R　 　y≤0，x∈R　 对称轴 x轴 　x轴　 　y轴　 　y轴　 焦点 坐标 F（，0） 　F（－，0）　 　F（0，）　 　F（0，－）　 准线 方程 x＝－ x＝　　 y＝　－　 y＝　　 顶点 坐标 O（0，0） 离心率 e＝　1　 ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）抛物线关于顶点对称.（　✕　） （2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.　（　√　） （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.（　√　） （4）抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p.（　√　） （5）抛物线y＝－x2的准线方程为x＝.（　✕　） 【典例1】　已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M（1，－2）.求抛物线的标准方程和准线方程、焦点坐标、对称轴及离心率. 解：当抛物线的焦点在x轴上时， 设其标准方程为y2＝mx（m≠0）， 将点M（1，－2）代入，得m＝4， ∴抛物线的标准方程为y2＝4x； 当抛物线的焦点在y轴上时， 设其标准方程为x2＝ny（n≠0）， 将点M（1，－2）代入，得n＝－， ∴抛物线的标准方程为x2＝－y. 综上，所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y. 准线方程分别为x＝－1或y＝； 焦点坐标分别为（1，0）或（0，－）； 对称轴分别为x轴或y轴； 离心率e都为1. ⚪解题感悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 （1）开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p；离心率恒等于1. 【练习1】　（多选）平面内到定点F（0，1）和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C，则（　AC　） A.曲线C的方程为x2＝4y B.曲线C关于x轴对称 C.当点P（x，y）在曲线C上时，y≥0 D.当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2 解析：由抛物线定义，知曲线C是以点F（0，1）为焦点，直线l：y＝－1为准线的抛物线，则p＝2，故其方程为x2＝4y，故A正确；抛物线x2＝4y关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误；由x2＝4y知y≥0，故C正确；当点P在曲线C上时，由于抛物线x2＝4y开口向上，当点P位于原点时，到直线l的距离最小为1，故点P到直线l的距离d≥1，故D错误.故选AC. 二、由抛物线的几何性质求标准方程 【典例2】　（1）边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（　C　） A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x （2）已知双曲线C1：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为　x2＝16y　. 解析：（1）设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）. 取点A在x轴上方，则由题意可得A（±，）， 则有＝±a，解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. （2）因为双曲线C1：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2， 所以＝＝2， 所以b＝a， 所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0. 所以抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点（0，）到双曲线的渐近线的距离为＝2， 又p＞0，所以p＝8， 所以所求的抛物线方程为x2＝16y. ⚪解题感悟 由抛物线的几何性质求其标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数. （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点与准线的距离，从而得到抛物线的标准方程. 【练习2】　（1）以x轴为对称轴，坐标原点为顶点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（　C　） A.y2＝8x B.y2＝－8x C.y2＝8x或y2＝－8x D.x2＝8y或x2＝－8y （2）已知抛物线C同时满足以下三个条件： ①C的顶点在坐标原点；②C的对称轴为坐标轴；③C的焦点F在圆（x－2）2＋y2＝9上. 则C的方程为　x2＝－4y（答案不唯一，只需填写x2＝－4y或x2＝4y或y2＝－4x或y2＝20x中的任意一个）　.（写出一个满足题意的即可） 解析：（1）依题意设抛物线方程为y2＝±2px（p＞0）.因为焦点到准线的距离为4，所以p＝4，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C. （2）由已知得，抛物线C的焦点F在坐标轴上，若抛物线的焦点在y轴上，将x＝0代入（x－2）2＋y2＝9，可得y＝±，所以抛物线的焦点为（0，－）或（0，）.当抛物线的焦点为（0，－）时，抛物线的方程为x2＝－4y；当抛物线的焦点为（0，）时，抛物线的方程为x2＝4y.若抛物线的焦点在x轴上，将y＝0代入（x－2）2＋y2＝9可得x＝－1或x＝5，所以抛物线的焦点为（－1，0）或（5，0）.当抛物线的焦点为（－1，0）时，抛物线的方程为y2＝－4x；当抛物线的焦点为（5，0）时，抛物线的方程为y2＝20x.则可同时满足三个条件的抛物线C的方程为x2＝－4y或x2＝4y或y2＝－4x或y2＝20x. 三、抛物线简单几何性质的应用 探究4　我们将抛物线上过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.以y2＝2px（p＞0）为例，若弦端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），试分析弦长与坐标的关系. 提示：由前一节焦半径公式可知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1＋）＋（x2＋）＝x1＋x2＋p. ⚪梳理教材 1.抛物线的焦点弦公式 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 焦点弦 x1＋x2＋p 　p－x1－x2　 　y1＋y2＋p　 p－y1－y2 2.当焦点弦垂直于对称轴时，其长度为　2p　，为最短焦点弦长，称为通径. ⚪温馨提示　该公式仅适用于焦点弦，不适用于一般弦.另外，y2＝2px（p＞0）上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）到焦点的距离之和｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p. 【典例3】　（1）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是　4　. 解析：由抛物线方程可知F（1，0），准线l的方程为x＝－1.如图，不妨设A（x0，y0）在x轴上方，过点A作AH⊥x轴于点H，在Rt△AFH中，｜FH｜＝x0－1，由∠AFO＝120°，得∠AFH＝60°，故y0＝｜AH｜＝（x0－1）， 所以点A的坐标为（x0，（x0－1））， 将A点坐标代入抛物线方程可得3－10x0＋3＝0， 解得x0＝3或x0＝（舍）， 所以点A的坐标为（3，2）， 故S△AKF＝×（3＋1）×2＝4. （2）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2.求这个抛物线的方程. 解：由对称性可知抛物线与圆的交点关于x轴对称.设交点为A，B，连接AB，则AB⊥x轴，且｜yA｜＝｜yB｜＝. 所以＝3，代入圆的方程可得xA＝±1. 又依据题意可设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）， 不妨设点A在x轴上方，将A（±1，）代入可得a＝±3. 故所求抛物线的方程为y2＝±3x. ⚪解题感悟 　　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题方面具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件.在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解. 【练习3】　已知A，B是抛物线y2＝2px（p＞0）上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解：设点A（x0，y0）（x0＞0）， 由题意可知点B（x0，－y0）， 连接AF，∵F（，0）是△AOB的垂心， ∴AF⊥OB，点F不在AB上， ∴kAF·kOB＝－1， 即·（－）＝－1. ∴＝x0（x0－）. 又∵＝2px0， ∴x0＝2p＋＝. ∴直线AB的方程为x＝. ⚪课堂达标 1.（多选）以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　CD　） A.y2＝8x B.y2＝－8x C.x2＝8y D.x2＝－8y 解析：∵通径长为8，故2p＝8，又y轴为抛物线的对称轴， ∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（　B　） A.（，±） B.（，±） C.（，） D.（，） 3.若抛物线y2＝mx（m＞0）的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，则m的值为（　A　） A.4 B.－4 C.2 D.－2 页 学科网（北京）股份有限公司 $