第一章 勾股定理 单元培优卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元培优卷，以文化传承与现实情境为载体，覆盖定理应用、证明及实际问题，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|直角三角形判定（题1）、勾股数（题4）|结合“周髀算经”考文化传承（题8）| |填空题|5/20|网格中直角三角形判断（题13）、正方形面积与勾股定理（题14）|设计动点最值问题（题15）| |解答题|10/90|赵爽弦图证明（题18）、将军饮马最短路径（题21）、综合实践探究（题25）|融入“经开区亮化改造”等现实情境（题6），培养推理能力与模型意识|

2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第一章 勾股定理（卷二）   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：对选项A， 不能组成直角三角形. 对选项B， 不能组成直角三角形. 对选项C， 不能组成直角三角形. 对选项D， 能组成直角三角形. 故选：D．  2.在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（        ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 如图，在 中， ，a，b，c分别是 的对边，且 故选：C． 3.如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（       ） A.7 B.33 C.231 D.569 【答案】 C 【解析】 本题主要考查勾股定理，可得 据此即可求得答案． 【解答】 在Rt 中，由勾股定理可得 同理可得 所以 故选：C．  4.若的三边长为a，b，c，满足，则是（     ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【答案】 D 【解析】 本题考查了等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理，掌握以上定理是解题的关键． 根据因式分解，利用等腰三角形的判定与勾股定理的逆定理即可求解． 【解答】 解： 或 或 是等腰三角形或直角三角形， 故选：D.  5.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（        ） A.40 B.45 C.47 D.50 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图， 由题意得 ，  6.为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（     ） A.12米 B.14米 C.16米 D.18米 【答案】 B 【解析】 先根据勾股定理求出 ，再计算起重臂顶端 离地面的高度即可. 【解答】 解： 点 到地面的竖直距离为2米， ， 起重臂顶端 离地面的高度为14米. 7.如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（     ） A.14 B.16 C.25 D.32 【答案】 B 【解析】 根据勾股定理得到 ，则 是直角三角形， ，由图形面积的计算即可求解. 【解答】 解：如图所示，连接BD， 是直角三角形， ， 8.我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据面积公式，逐项推理论证判断即可。 【解答】 解：A: 整理得： 此选项不符合题意; B: 此选项不符合题意; C: 此选项不符合题意; D: 此选项符合题意. 故选：D.  9.如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：∵ 在Rt Δ AOD中，， 在Rt Δ COD中，， 在Rt Δ AOB中，， 在Rt Δ BOC中，， ，， ， 只有C选项结论正确  故选：C． 10.如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点．若，，则的最大值为（       ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 C 【解析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练知识点并添加适当的辅助线是解题的关键，过点B作BF MN，垂足为F，构造并证明 ，可得CE=BF，当AD+CE取最大值时，直线MN AB，即AD+CE的最大值为AB，由勾股定理求出AB的长即可. 【解答】 解：过点B作 ，垂足为F， 又 ， AC=3，BC=4， 直线MN过BC的中点P， 当 取最大值时，直线 ，如图， 此时， 的最大值为5，故选：C. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.若7，24，x是一组勾股数，则x的值为___25_____． 【答案】 25 【解析】 分两种情况讨论，x为最长边和24为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的x的值. 【解答】 解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当x为最长边时，根据勾股定理得： 由x>0，得 ，25是正整数，符合要求； 当24为最长边时，根据勾股定理得： 因为527不是完全平方数，x不是正整数，不符合勾股数定义，舍去. 12.设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值为______48________． 【答案】 【解析】 由该三角形的周长为，斜边长为可知，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出的值． 【解答】 解：三角形的周长为，斜边长为， ， ， 、是直角三角形的两条直角边， ， 则， 即， ＝48 故答案为：48.  13.如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：__不能______（填“能”或“不能”）． 【答案】 不能 【解析】 本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【解答】 解：由图，得 即 三条线段 不能组成直角三角形． 故答案为：不能．  14.如图，在直线上依次摆放着个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积分别是，则_______12_________． 【答案】 【解析】 如图，易证，得，同理， 【解答】 解：如图， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， 12 故答案为：12  15.如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1）________； （2）___160_____． 【答案】 ,160 【解析】 作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P，过点 作直线 的延长线于点E，再根据勾股定理求出 的长就是PA+PB的最小值；延长AB交MN于点P'，此时 ，由三角形三边关系可知 ，故当点P运动到 点时 最大作BE ，由勾股定理即可求出AB的长就是 的最大值．进一步代入求得答案即可. 【解答】 解：如图， 作点A关于直线MN的对称点 ，连接 交直线MN于点P， 则点P即为所求点. 过点 作直线 的延长线于点E，则线段 的长即为PA+PB的最小值. 的最小值是 如图， 延长AB交MN于点P'， 延长AB交MN于点P'， 当点P运动到P'点时， 最大， 过点B作BE AC，则 为最大， 即b=5, 答案为：160 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（5分）观察下列勾股数，，，．分析其中的规律，根据规律求出第五组勾股数． 【答案】 解：第一个等式是：； 第二个等式是； 第三个等式是； 第四个等式是； 第五个等式是． 【解析】 通过观察可知，所列出的算式都符合勾股定理公式．再观察数字的规律可得：第一个加数的底数是从开始的奇数，第二个加数的底数是依次加：、、、、、，则第五个等式的第一个加数的底数是，第二个加数的底数是，结果的底数正好是第二个底数加． 【解答】 解：第一个等式是：； 第二个等式是； 第三个等式是； 第四个等式是； 第五个等式是．   17.(5分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）填空：线段___________，___________，_____5______； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】 ，，5； 直角三角形；理由见解析. 【解析】 （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可求解. 【解答】 （1），，. 故答案为：，，5； （2）为直角三角形，理由如下： ，，， ， 为直角三角形. 18.(10分) 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． （1）若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； （2）若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 【答案】 9 6 【解析】 （1）由题意可得 ，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，计算即可得出结果. 【解答】 （1）解：由题意可得： , 小正方形的边长为9； （2）解：由题意可得： 19.(10分) 如图所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图所示．已知展开图中每个正方形的边长为： （1）在展开图中可画出最长线段的长度为_______，在平面展开图中这样的最长线段一共能画出___4____条． （2）试比较立体图中与平面展开图中的大小关系，并说明理由． 【答案】 ，，理由详见解析 【解析】 （1）最长线段应为最大的长方形对角线长度，根据勾股定理求出长度即可.最大长方形有两个，每一个的对角线有两条，共四条. （2）连接，证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等的性质，得到等于 【解答】 （1）解：由图可知最长的线段应该为最大正方形的对角线，即的长度，根据勾股定理可得 展开图中这样的长方形有个，每一个长方形有对角线条，则图中这样的最长线段一共能画出条. （2） 如图所示： 在直角三角形与直角三角形中，有 又 即 而 20.(8分) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8． （1）求∠ACB的度数； （2）求CD的长． 【答案】 90°； 【解析】 （1）根据勾股定理的逆定理得出∠ACB的度数即可得出结论； （2）根据平行线的性质和勾股定理即可得出结论. 【解答】 （1）在中，AB=10, BC=6, AC=8， ， 是直角三角形， ; （2）， ， 在Rt中，. 21.(10分) 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． （1）请作出使和最小的点P． （2）请求出最小值． 【答案】 如图： 5 【解析】 （1）作 关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点P，此时 最小； （2）由（1）可得 的最小值 ，过点B作BC AA于点C，设AA与直线l交于点O，再利用勾股定理求解，即可求得答案. 【解答】 （1）解：作A关于直线l的对称点 ，连接 交直线l于点P，此时 最小； （2）解：由（1） 过点B作 于点C，设AA与直线l交于点O， 则 最小值=5. 22.(10分) 如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 【答案】 8米 小草不会被砸到 【解析】 （1）利用勾股定理求出 BC即可求解； （2）利用勾股定理求出 ，再与AD比较即可判断求解；本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键. 【解答】 （1）解：由题意知， ，AB=4，AC=3，在Rt 中，根据勾股定理得： ；木杆折断之前的高度为8米； （2）解：如图，由题意得 ， 在Rt 中，根据勾股定理得， 小草不会被砸到.  23.(10分) 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】 小凳子顶点 A与墙面OC的距离为 60cm 小凳子宽 的长度为 ，木杆 的长度为 【解析】 （1）过A作AM垂直于墙面，垂足为点M，则 ，勾股定理即可求解. （2）延长BA交墙面于点N，则 ，设AB=xcm，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解. 【解答】 （1）解：如图 ① ，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M，则 图 ① 由题意可知， ， 由勾股定理得： 答：小凳子顶点 A与墙面OC的距离为 60cm； （2）如图 ②，延长BA交墙面于点N，则 图 ② 设 AB=xcm，则 CB = (x+70)cm，BN = (x+60)cm，CN = OC-ON=130-80=50(cm）在Rt 中，由勾股定理得： 即 . 解得： 答：小凳子宽AB的长度为60cm，木杆BC的长度为130cm. 24.(10分) 在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 【答案】 【解析】 （1）当 时， ，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意 ， ，由 列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可. 【解答】 （1）解：当 时， (cm) （2）解： （3）解：由勾股定理，可得 解得 或   25.(12分) 综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． （1）【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． （2）【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． （3）【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 见详解 见详解 理由见详解 【解析】 （1）从图1，图2，图3任选一个图形，根据整体的面积等于每部分面积和即可证明； （2）根据a，b，c都是正数，要证 两边平方等价于证明 结合勾股定理 得 结合 得出该式恒成立，即可证明； （3）设Rt 中，AC=b，BC=a，AB=c，分别求出 由勾股定理得 即可得出 结合 证出 【解答】 （1）解：选图1： 大正方形边长为 ，因此大正方形面积 大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为（ ）的小正方形组成，因此总面积也可表示为： 因此 勾股定理得证. 选图2：大正方形边长 a+b，面积 整理得 勾股定理得证. 选图3：梯形面积 整理得 勾股定理得证. （2）证明： 都是正数， 要证 ，两边平方等价于证明（ ，整理得 结合勾股定理 代入得： 整理得 该式恒成立， 因此原不等式 得证. （3）解： 理由：设Rt 中， 过点E，F，D分别作 图4 是等边三角形， 由勾股定理得 将前两式相加，代入 ，消去相同项后整理得： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版初中数学· 八年级（上） 第一章勾股定理（卷二） 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分) 1.D. 2.C. 3.C. 4.D. 5.c 6.B 7.B 8.D. 9.C. 10.C. 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11.25 12.48. 13.不能. 14.12 15.V185,160 培优卷 三、解答题（本题共计10小题，共计90分） 16.(5分)解：第一个等式是：3+4=52： 第二个等式是52+122=132： 第三个等式是7+242=252： 第四个等式是92+40=412： 第五个等式是112+60=61 17.(5分)(1)AB=V5,BC=25,AC=5. 故答案为：5,2V/5,5 (2)△ABC为直角三角形，理由如下： .AB2=5'BC2=20'AC2=25 ..AB2+BC2=AC2 ∴·△ABC为直角三角形 18.(10分)(1)解：由题意可得：a2+b2=129ab=24, .a-b2=a2+b2-2ab=81, .‘a-b>0, .∴.a-b=9, :小正方形的边长为9： 2)解：由题意可得：4×b=17-5 .∴.ab=6. 19.(10分)(1)解：由图可知最长的线段应该为最大正方形的对角线，即AC的长度，根据勾股 定理可得AC=1P+3=10. 展开图中这样的长方形有2个，每一个长方形有对角线2条，则图2中这样的最长线段一共能画出4条。 2 (2) 如图所示： 在直角三角形ABD与直角三角形CBE中，有 AD-BE {∠D=∠E=90 BD=CE ∴.△ABD=△BCE SAS ∴.∠ABD=∠BCE 又∠BCE+∠CBE=90 ∴.∠ABD+∠CBE=90 即∠ABC=90 而∠ABC=90° ∴.∠ABC=∠ABC 20.(8分)(1)在△ABC中，AB=10,BC=6, ∴.AC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形， ∴.∠ACB=90 (2).AD‖BC, ∴.∠CAD=∠ACB=90' AC=8, 3 :.在Rt△ACD中，CD=AC2+AD2=82+8=8V2 21.(10分(1)解：作A关于直线1的对称点A,连接AB交直线1于点P,此时AP+PB最小： (2)解：由(1)PA=PA .∴.AP+PB=PA+PA=AB 过点B作BC⊥AA于点C,设AA与直线1交于点O, B 则OA=OA=2,OC=1,BC=4 .AC=0A+OG=2+1=3, .'.AB=A C2+BC2=5, .·AP+PB最小值=5 22.(10分)(1)解：由题意知，∠A=90°，AB=4,AC=3,在Rt△ABC中，根据勾股定理得： BC2=AC2+AB2, .BC=32+42=5, ∴.AC+BC=3+5=8 ；木杆折断之前的高度为8米： (2)解：如图，由题意得AE=AC-CE=3-1=2,EF=8-2=6 C E B DE 在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF2=EF2-AE2=36-4=32 .AF=42 .32>25, .4V2>5 ∴.AF>AD 小草不会被砸到. 23.(10分)(1)解：如图①，过A作AM垂直于墙面，垂足为点M,则∠AMO=90°， Mh-- B D 图① 由题意可知，OM=80cm,OA=100cm 由勾股定理得： AM=0A2-0M2=V1002-80=60cm.。 答：小凳子项点A与墙面0C的距离为60cm: (2)如图②，延长BA交墙面于点N,则∠BNC=90 B D 图② 设AB=xCm,则CB=(x+70)cm,BN=(x+60)cm,CN=0C-ON=130-80=50(cm)在Rt△BCN中，由勾股 定理得：BN2+CN2=BC 即 (x+602+502=x+702 解得：x=60, ∴.AB=60cm,BC=60+70=130cm 答：小凳子宽AB的长度为60cm,木杆BC的长度为130cm 24.(10分)(1)解：当t=1s时，CP=1cm,CQ=2cm, .∠C=90°， .'.PQ=VC P2+CQ2=12+2=5(cm) OB (2)解：：CP=tam,CQ=2tcm,SAeo=6cm, “t2=6 .t1=V6,t2=-V6 6 t>0, ∴.t=V6s; (3)解：由勾股定理，可得2+2t?=35, 解得t=3或t=-3 t>0 ∴.t=3s. 25.(12分) (1)解：选图1： 大正方形边长为c,因此大正方形面积5大=c2 大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为(b-a)的小正方形组成，因此总面积也可表示为： S*=4×号b+b-a=2ab+b2-2ab+a=d+b. 2 因此q2+b2=c2勾股定理得证， 选图2：大正方形边长a+b,面积a+bP=4×号ab+c, 整理得a+b2=c2勾股定理得证， 选图3：梯形面积 atblaxbl-2xob+ 2 2 整理得a+b2=c2勾股定理得证 (2)证明：a,b,c都是正数， 要证 a+b<2,两边平方等价于证明(a+bP<2c2,整理得a2+2ab+b2<2c, 结合勾股定理a+b2=c2代入得：a+2ab+b2<2a+b1 整理得{a-b>0 .a≠b, .该式恒成立， 因此原不等式a+也<2得证 (3)解：S1+S3=S2+S4 理由：设Rt△ABC中，AC=b,BC=a,AB=C, 过点E,F,D分别作EG⊥AC,FH⊥BC,DK⊥AB, D E D A B 图4 :AACE,ABCF,△ABD是等边三角形， ∴.∠EAC=∠FBC=∠DBA=60 ∴.∠AEG=∠BFH=∠BDK=30 ∴AG=b,B1=2a,BK=c EG-VAE-AG-V3b.FH-BF-BH-V30 2 a,DK=B D2 2 4 4 由勾股定理得a2+b2=c2 4 SAACE=S2+SAAPC:SABCF=S4+SABQC:SAABD=S1+S3+SAAPC+SABQC. 8 BR- 9 3。 C三 3 2 将前两式相加，代入S4ACE+SABCF=S4AD,消去相同项后整理得： S1+S3=S2+S4 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第一章 勾股定理（卷二）   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（       ） A. B. C. D.  2.在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（        ） A.4 B.8 C.16 D.32 3.如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（       ） A.7 B.33 C.231 D.569  4.若的三边长为a，b，c，满足，则是（     ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形  5.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（        ） A.40 B.45 C.47 D.50  6.为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（     ） A.12米 B.14米 C.16米 D.18米 7.如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（     ） A.14 B.16 C.25 D.32 8.我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（       ） A. B. C. D.  9.如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点．若，，则的最大值为（       ） A.3 B.4 C.5 D.6 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）   11.若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 12.设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值为______________．  13.如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 14.如图，在直线上依次摆放着个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积分别是，则_______________．  15.如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1）________； （2）________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（5分）观察下列勾股数，，，．分析其中的规律，根据规律求出第五组勾股数．   17.(5分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）填空：线段___________，__________，_________； （2）判断的形状，并说明理由． 18.(10分) 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． （1）若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； （2）若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值． 19.(10分) 如图所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图所示．已知展开图中每个正方形的边长为： （1）在展开图中可画出最长线段的长度为_______，在平面展开图中这样的最长线段一共能画出_______条． （2）试比较立体图中与平面展开图中的大小关系，并说明理由． 20.(8分) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8． （1）求∠ACB的度数； （2）求CD的长． 21.(10分) 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． （1）请作出使和最小的点P． （2）请求出最小值． 22.(10分) 如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．） 23.(10分) 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 24.(10分) 在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 25.(12分) 综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． （1）【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． （2）【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． （3）【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第一章 勾股定理（卷二）   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（       ） A. B. C. D. 2.在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（        ） A.4 B.8 C.16 D.32  3.如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（       ） A.7 B.33 C.231 D.569  4.若的三边长为a，b，c，满足，则是（     ） A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（        ） A.40 B.45 C.47 D.50  6.为打造以“的城市”为核心引领，紧紧聚焦“资源、客源、服务”三大关键要素的城市环境，经开区立足民生需求，对城区某干道进行亮化改造．如图，这是吊车安装路灯的示意图．已知为吊车起重臂，长为20米，点到路灯杆的水平距离为16米，点到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端离地面的高度为（     ） A.12米 B.14米 C.16米 D.18米  7.如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（     ） A.14 B.16 C.25 D.32  8.我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（       ） A. B. C. D.  9.如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（       ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，直线过的中点，过点作于点，过点作于点．若，，则的最大值为（       ） A.3 B.4 C.5 D.6 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ） 11.若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 12.设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为，斜边长为，则的值为______________．  13.如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）．  14.如图，在直线上依次摆放着个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是，，，正放置的四个正方形的面积分别是，则________________． 15.如图，点A，B在直线的同侧，点A到的距离，点B到的距离，已知，P是直线上的一个动点，记的最小值为a，的最大值为b． （1）________； （2）________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（5分）观察下列勾股数，，，．分析其中的规律，根据规律求出第五组勾股数．   17.(5分) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，A，B，C为格点（每个小正方形的顶点叫格点）． （1）填空：线段___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由．  18.(10分) 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．该直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b． （1）若，大正方形的面积为129，求小正方形的边长； （2）若大正方形的面积为17，小正方形的面积为5，求的值．  19.(10分) 如图所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图所示．已知展开图中每个正方形的边长为： （1）在展开图中可画出最长线段的长度为_______，在平面展开图中这样的最长线段一共能画出_______条． （2）试比较立体图中与平面展开图中的大小关系，并说明理由． 20.(8分) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8． （1）求∠ACB的度数； （2）求CD的长． 21.(10分) 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4． （1）请作出使和最小的点P． （2）请求出最小值． 22.(10分) 如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处． （1）求木杆折断之前的高度； （2）如果该木杆在点的下方的点处折断，木杆顶端落在水平地面的处，在距离木杆底端的的处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，两点在点的同侧．）  23.(10分) 如图，地面上放着一个小凳子（凳宽与地面平行，墙面与地面垂直），点到地面的距离为．在图①中，一根长的木杆一端与墙角重合，另一端靠在点处． （1）求小凳子顶点与墙面的距离； （2）在图②中另一木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上的点处，若，木杆比凳宽B长，求小凳子宽和木杆的长度． 24.(10分) 在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． （1）当时，求长． （2）当的面积为时，求t的值． （3）当时，求t的值． 25.(12分) 综合实践 【问题背景】 勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． （1）【探索求证】 请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． （2）【深入实践】 同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． （3）【拓展迁移】 如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $