第一章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理单元卷，通过生活、文化、科技情境（如新能源充电桩、古算诗、圆柱最短路径）考查定理应用与建模，覆盖基础与综合能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|直角三角形判定、网格几何直观|结合图形验证勾股定理（第3题），体现抽象能力| |填空题|8/24|逆定理应用、文化情境（秦九韶沙田面积）|古算诗红莲问题（第15题），培养数学眼光| |解答题|7/52|实际建模（旗杆测量、巡逻艇拦截）|新能源充电桩证明直角三角形（第18题），发展推理能力与模型意识|

第一章 勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是． A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 2.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. 的面积为 D. 点到直线的距离是 3.下面图形能够验证勾股定理的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图，一竖直的木杆在离地面米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.如图，直线，垂足为点，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，，则(    ) A. B. C. D. 8.游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点米如图，岸边，他在水中实际游了米，则这条河宽为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若三角形三边，，满足，则该三角形为          三角形。 10.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，，则正方形，，，的面积之和为          ． 11.如图，小巷左右两侧都是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为           12.我国数学家秦九韶的数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何”意思是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为          平方里． 13.五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的四个图形中正确的是          只填序号  14.如图，原来从镇到镇需沿道路绕过两镇间的大山，为了促进两镇交流发展，决定修建一条穿过大山从镇直达镇的公路已知，，，那么直达公路建成后，从镇到镇比原来少走          ． 15.图中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺，则可知水深        尺 16.如图，圆柱底面周长为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一母线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕圈到点，则这根棉线的长度最短为          。 三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，，为边上一点，且，的面积为，求的长． 18.本小题分 随着“双碳”目标的提出，为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义如图，某社区新建新能源汽车充电桩，为充电桩，和分别为两侧充电线伸出后的最长距离． 已知：在中，于点，，，试说明：是直角三角形． 19.本小题分 如图，在中，，是边上的一点，，，． 求的长 求的长． 20.本小题分 如图所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，。实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计求绳子的总长度。 21.本小题分 判断由线段，，组成的是不是直角三角形： ，， ，，． 22.本小题分 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距海里的，两个基地前去拦截，分钟后同时到达地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行海里，乙巡逻艇每小时航行海里，航向为北偏西。求甲巡逻艇的航向。 23.本小题分 学过勾股定理后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图，将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为，到旗杆的距离为如图．    若旗杆的高度，那么绳子的长度可以表示为          ；用含的代数式表示 求旗杆的高度． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，正方形的面积，掌握勾股定理，正方形的面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出正方形的边长，再根据正方形的面积公式求解即可． 【解答】 解：正方形的边长， 该正方形的面积． 7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】直角  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  【解析】解：设的长为尺，则， 由勾股定理得：， 解得， 即的长度为尺． 故答案为：． 设的长度为尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：，这根棉线的长度最短为。 17.【答案】解：，． 在中，，．   18.【答案】，在中，，，．在中，，，．．在中，，，，，．．是直角三角形．  19.【答案】【小题】 解：在中，根据勾股定理，， ， 【小题】 ， 在中，根据勾股定理， ， ．   20.【答案】解：设， 则。 在中，由勾股定理，得， ， 解得， ， 绳子长度。   21.【答案】【小题】 ，，，根据勾股定理，不是直角三角形 【小题】 ，，，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形．   22.【答案】解：因为， ， ， 因为， 所以是直角三角形，， ， 所以甲巡逻艇的航向是北偏东。   23.【答案】【小题】 【小题】 在中，，，，由勾股定理，得，解得答：旗杆的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $