四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周考13

**基本信息** 泸县一中高三历史类数学周考卷，聚焦函数、数列、三角等核心知识，以基础题巩固概念，综合题（如函数切线与数列递推）培养逻辑推理与应用意识，适配高三一轮复习周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数运算、充分必要条件、解三角形等|第7题以分贝等级为情境，考查对数运算，体现数学语言表达现实世界| |多选题|3题|三角函数性质、数列递推、函数奇偶性与周期性|第11题综合函数奇偶性与周期性，培养数学思维的逻辑性| |填空题|3题|等差数列前n项和、三角恒等变换、函数单调性与渐近线|第14题开放设计，考查函数性质理解，发展创新意识| |解答题|5题|三角函数图像变换、数列通项与求和、解三角形、函数切线与数列探究|第19题结合切线方程与数列递推证明，提升数学眼光的抽象与推理能力|

泸县一中高2022级高三上期数学周考（13） 历史类 一、单选题 1．若i是虚数单位，复数 A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，已知，，，则（    ） A．或 B． C． D．或 4．函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．已知单位向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（    ） A．108dB B．81dB C．72dB D．63dB 8．当时，方程在上根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．若函数的图象经过点，则（    ） A．点为函数图象的对称中心 B．的最小正周期为 C．在区间上的值域为 D．的单调增区间为 10．已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 11．已知函数的定义域为R，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．，，成等差数列 D． 三、填空题 12．记为等差数列的前n项和．已知，则的最小值为 ． 13．已知，则 14．已知函数（，且）的图象无限接近直线但又不与该直线相交，且在上单调递增，请写出一个满足条件的的解析式 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围. 16．已知数列的前n项和为，且，其中． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：． 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若的外接圆半径为4，且，求的面积． 18．已知函数，其中， (1)当时，求的单调区间； (2)当时，过点可以作3条直线与曲线相切，求m的取值范围． 19．已知函数，取；过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．若，则过点作曲线的切线，该切线与轴的交点记作．以此类推得，直至停止，由这些数构成数列． (1)若正整数，证明：； (2)若正整数，证明：； (3)若正整数，是否存在使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A D D B ABC ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】， 故选B． 2．B 【详解】因为，所以， 所以“”可推出“”，即“”是“”的必要条件； 取，可知，而，即， 所以“”不能推出“”. 所以“”是“”的不充分条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．C 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理，得， 解得或， 又因为可得，所以不符合题意，舍去． 可得，故A，B，D错误． 故选：C. 4．B 【详解】由题意，，， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故AC不满足； 当时，，，则， 故D不满足，B符合题意. 故选：B. 5．A 【详解】解：因为，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 故选：A. 6．D 【详解】因为， 又，即，则， 所以， 故. 故选：D 7．D 【详解】设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即， 所以，即老师声音的等级约为63dB. 故选：D. 8．B 【详解】，设函数， 现讨论方程根的个数，在时单调递增， 故问题可转化为根的问题， 令，易知单调递增，故， 当时，方程只有一根， 所以方程在上根的个数为1． 故选：B． 9．ABC 【详解】将代入得， 所以， 对于A，显然，故A正确； 对于B，易知函数的最小正周期，故B正确； 对于C，当时，则，则，故C正确； 对于D，令， 即函数的单调递增区间为：，故D错误. 故选：ABC 10．ABD 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 11．ACD 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得，则， 由为奇函数，得，则， 于是，即， 对于A，，是周期为4的周期函数，A正确； 对于B，由，得的图象关于点对称，B错误； 对于C，，由，得， 因此，，成等差数列，C正确； 对于D，，因此 ，D正确. 故选：ACD 12． 【详解】设等差数列的公差为， 根据，可得，解得， 则， 因为，所以当或时，有最小值为， 故答案为：. 13． 【详解】由，得 . 故答案为： 14．（答案不唯一，满足且均可） 【详解】当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 且在上单调递减， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 若在上单调递增，则， 可得， 若函数图象无限接近直线但又不与该直线相交，可知， 综上所述：且. 例如，可得. 故答案为：（答案不唯一，满足且均可）. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为， 由，解得， 所以的递减区间为； （2）由（1）知，那么将图象上各点纵坐标保持不变， 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到． 当时，， 由方程有解，可得实数的取值范围为． 16．(1)， (2)证明见详解 【详解】（1）当时，， 当时，， 又，两式相减得： ， 所以， 此时， 将代入得， 因此对也成立， 故的通项公式为， （2）由（1）可知， 所以，又， 所以， 所以 ， 因为，所以， 即. 17．(1) (2) 【详解】（1） 根据正弦定理的变形公式可得， 因为，所以，即， 因为，所以，则，即； （2）因为，所以， 则，即， 又，所以， 因为的外接圆半径为， 所以由正弦定理可得， 所以， 所以. 18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）由，， 则， 令，得；令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，，则， 设切点为，则， 化简得， 因为过点可以作3条直线与曲线相切， 所以方程有三个不同的实根， 设，即函数与的图象有三个交点， 而， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又，，且时，， 画出函数与大致图象， 要使函数与的图象有三个交点，则， 即m的取值范围为． 19．(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)存在， 【详解】（1）因为，则， 若，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为， 令，可得，解得， 所以. （2）构建，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 当时，则， 可得， 累加可得，所以. （3）若存在使得依次成等差数列， 当时，则依次成等差数列，可得， 又因为，则， 可得，即， 构建，则， 由（2）可知：，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 则， 且，当且仅当时，等号成立， 可得， 可知在内单调递增，且， 可知在内有且仅有一个零点， 当时，则依次成等差数列，可得， 又因为，则， 可得，即， 根据零点的唯一性可知：， 由（2）可知：，可知为递减数列， 所以不成立，即时，不存在使得依次成等差数列； 综上所述：存在使得依次成等差数列，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $