四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期寒假假期数学作业2

**基本信息** 高2022级寒假数学作业，涵盖集合、函数、数列等模块，通过解三角形、函数零点等问题，考查数学抽象与逻辑推理，基础巩固与能力提升梯度清晰。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、抛物线、复数|基础概念辨析，如向量数量积计算| |多选题|3题|三角函数图像、数列性质|多选项分层，如轨迹问题多结论判断| |填空题|4题|函数单调性、统计案例|情境应用，如疫苗效果独立性检验| |解答题|5题|解三角形、立体几何、函数零点|综合探究，如抛物线定点存在性证明|

高2022级2024年秋期寒假作业二 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，点在抛物线上，则（    ） A．1或2 B．2 C．2或 D． 3．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（    ） A．4 B．1 C． D． 5．已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（    ） A．9 B．9或18 C．13 D．13或37 6．已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．5 B．4或5 C．6 D．4或6 8．已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．的周期 C．图象关于点对称 D．在区间上递减 10．已知数列满足，，则下列结论正确的是（    ） A．是递增数列 B．是等比数列 C．当n是偶数时， D．，，使得 11．已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（    ） A．取值范围是 B．当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6 C．当直线l斜率时，AB平分 D．最大值为 三、填空题 12．函数的单调递增区间是 ． 13．为考查某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表： 感染 未感染 注射 10 40 未注射 20 30 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 则在犯错误的概率最多不超过 的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系． 参考公式：． 14．已知双曲线C：（，）的右焦点是，动点（）在C上．若过点P作C的切线与直线相交时，记其交点为Q，恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题 15．在△ABC中中，记角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角； (2)已知点在边上，且，，，求的面积． 16．已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，△ADE是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点． (1)设AE与平面DGH相交于点M，求的值； (2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值． 18．设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 19．已知函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围． 高2022级2024年秋期寒假作业二 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B C A C BC BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】，则.故选：B. 2．C 【详解】因为点在抛物线上，所以，整理得，解得或．故选：C 3．B 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B 4．A 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，则， 所以.故选：A. 5．B 【详解】设等比数列的公比为，由且， 当时，则，符合题意，则，又，所以， 所以；当时，则，即，解得（舍去）或， 所以，则，又，所以，所以； 综上可得或.故选：B 6．C 【详解】由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形，又，所以，则为正三角形，边长为，如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面，设中点分别为，内切球球心为O， 由正三角形内心的性质易知 即内切球球半径为1，所以体积.故选：C 7．A 【详解】△ABC中，，，，由正弦定理，有， 为△ABC的内角，则有，所以， ，， ， 由正弦定理，有.故选：A 8．C 【详解】如图所示，作出函数的图象， 方程恰有三个不同实数根，等价于上述两个函数图象有三个交点， 易知，显然与必有一个交点， 所以要满足题意需与有两个交点， ①先求与相切时的值， 设切点为，则， 令，即单调递增，又，所以， 当过点时，，此时满足条件的 ②再求与相切时的值， 联立，， 易知切点横坐标为，显然时，，符合要求， 当过点时，， 此时满足条件的，综上：.故选：C 9．BC 【详解】对于A，由图象可得，，， 所以，因为，所以，或， 因为点附近的图象呈下降趋势，所以，故A错误； 对于B，可得，又， 所以，所以， 得，由图知，，所以，所以， 可得，所以，，故B正确； 对于C，因为，故C正确；     对于D，当时，， 因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：BC. 10．BC 【详解】对于A：由，，，所以A错误； 对于B：当时，由，， 当时，， 综上所述：所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 对于C：由B可知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，为偶数， 所以当n是偶数时，，故C正确；对于D：由C可知，，由， 所以，因为，所以当时，， 当时，，而，所以恒成立，故D错误； 故选：BC. 11．ACD 【详解】设，因为，即，整理可得， 可知曲线C是以为圆心，半径的圆. 对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交， 且，则的最大值为，最小值为， 所以取值范围是，故A正确；设， 联立方程，消去x可得， 则. 对于选项B：可得，令，则， 可得，因为在内单调递增，则的最小值为，即，则，可得的面积，所以面积的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 又因为，则， 即，可知，所以AB平分，故C正确； 对于选项D：因为AB平分，则， 可知当与曲线C相切时，取到最大值， 此时，且为锐角，则， 即的最大值为，则的最大值为， 所以最大值为，故D正确；故选：ACD. 12．/ 【详解】因为的定义域为，则，且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是.故答案为： 13．0.05/ 【详解】补充列联表可得， 感染 未感染 合计 注射 10 40 50 未注册 20 30 50 合计 30 70 100 所以．所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．故答案为：0.05． 14． 【详解】设切线方程为，联立，则 ，可得， 有，则，有，令，则，有， ， 则，又，解得，，     则C的方程为，故，，设，则， 当时， ， 设，则，则， 设，则 故在上单调递减，故，因此； 当时，， 设，则， 故在上单调递增，则，因此， 综上所述，故答案为：.      15．(1)；(2)或 【详解】（1），由正弦定理可得 ， ，，，，； （2）设，，，或4， 当时，，，此时三角形为正三角形， 当时，，， 满足，此时三角形为直角三角形，． 16．(1)；(2)存在； 【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴，∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，，由，得， ∴，，， ∵，∴，∴ ， ∴或（舍去），当时，点M的坐标为，满足，，∴存在定点． 17．(1)；(2) 【详解】（1） 延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH， ∵，H是BF的中点，∴，且， ∵G，H分别是BC，BF的中点，∴， 平面，平面，∴平面， 平面，又平面平面，∴，∴， ∵ABCD是正方形，∴，∴CDNF是平行四边形， ∵，∴，∴； （2）取AD的中点O，连接OE，∵是正三角形，∴， ∵平面平面ABCD，∴平面ABCD， 以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设是平面BDM的一个法向量，则，∴， 取，则，，∴， 设是平面CDM的一个法向量，则，∴， 取，则，，∴， ∴，∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为． 18．(1)；(2) 【详解】（1）因为是公比为的等比数列，故有， 由，可得，则， 由此可得，即； （2）（2）由（1）知，且和， 当 时，，即，当 时， 设数列中奇数项的公比为，偶数项的公比也为。 奇数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，奇数项通项为，其中。 偶数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，偶数项通项为，其中。 由，且和，则，可解出， 所以和。 奇数项和， 偶数项和， 因此，前2n项和. 19．(1)；(2) 【详解】（1）当时，,， ∴，，在点处的切线方程为， 即； （2）在上有零点等价于在上有零点， 则，， ①当时，∵，∴在上递减， ∴，∴在上无零点，∴不合题意； ②当时，（ⅰ）当时，即时， ∵，∴在上递增， ∴，∴在上无零点，∴不合题意； （ⅱ）当时，即时，令，则， 令，则；令，则，∴在上递减，在上递增， ∴，取时， ∵，∴， ∴，∴，使得， ∴符合题意；综上，a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $