河南洛阳市宜阳县第一高级中学2026-2027学年上学期高三9月开学质量检测数学试卷

机密★启用前 高三9月开学质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某小区有4个出入门，如果甲同学从其中的任意一个门进入小区，并要求从其他的门出去，那么甲同学进出小区的方式共有 A．4种 B．9种 C．12种 D．16种 2．经过点且与直线平行的直线方程为 A． B． C． D． 3．已知随机变量服从正态分布且，则 A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 4．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知，，若圆（）上存在点满足，则实数的最小值为 A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知是抛物线：的焦点，，线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标为 A．或 B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，，，若，则 A．14 B．15 C．16 D．17 8．已知函数，若，使得函数在上恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是 A．一组数据的线性回归方程为，若，则 B．若随机变量满足，则 C．若随机变量的方差，则 D．若随机变量，则 10．已知数列的前项和，则 A． B． C．令，为数列的前项和，则 D． 11．如图，平面，，，，，则下列说法正确的是 A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若的展开式中的系数为6，则的最小值为________． 13．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交双曲线右支于，两点，若为正三角形，则双曲线的离心率________． 14．已知数列共有6项，，，数列的前项和为，若对恒成立，则这样的数列的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 某电商平台开展“用户满意度调研”，设置了一道关于售后服务的单选题． 题目：你对本店铺售后服务整体评价为 A．非常满意 B．比较满意 C．不太满意 D．很不满意 平台规定：只有选择A或B，才视为“满意”；选择C或D，则视为“不满意”． 甲、乙两家店铺的顾客都参与了调研，为了解顾客对售后服务的真实满意度，平台分别随机抽取了两家店铺各100名顾客的作答数据，其中甲店顾客选择“满意”（A或B）的人数为80人，乙店顾客选择“满意”（A或B）的人数为75人．假设顾客作答相互独立，用样本估计总体，以频率估计概率． （1）从甲、乙两家店铺的所有顾客中随机抽取1名顾客，抽到的顾客来自于哪家店铺是等可能的，求该顾客选择“不满意”（C或D）的概率； （2）从甲、乙两家店铺的所有顾客中各随机抽取2名，设为这4名顾客中选择“满意”（A或B）的人数，求的分布列和数学期望． 17．（本小题满分15分） 如图所示，在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，二面角的平面角为． （i）求平面与平面的夹角的正弦值； （ii）设点为四棱锥外接球面上的一点，求点到平面距离的最大值，并求此时点的坐标． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若，且，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知是圆：上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线是过原点的一条动直线，直线与圆交于，两点，，直线，与曲线的交点分别为点，． （i）是否存在直线，使得四边形为平行四边形？使得四边形为梯形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． （ii）求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $高三9月开学质量检测·数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D A C 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1.【答案】C 【解析】进小区有4种选择，出小区不能与进的门相同，有3种选择，总方式数为4×3=12.故选C. 2.【答案】B 【解析】直线2x十y一4=0可化为y=一2x十4，斜率为一2.所求直线与已知直线平行，故斜率也为一2， 又所求直线经过点P(1,一1)，由点斜式得y十1=一2(x一1)，整理即2x十y一1=0.故选B. 3.【答案】B 【解析】已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),则正态曲线关于直线x=2对称.P(1<X<2)=0.5 一P(X<1)=0.5-0.3=0.2,根据正态分布的对称性可得P(2<X<3)=P(1<x<2)=0.2,因此 P(X<31X2)=P3≤X3)-02-名=0.4，故选B. P(X>2)0.55 4.【答案】D 【解析】函数求导得f'(x)=3.x2+4ax一8，f'(0)=-8<0,函数在(-1,2)上是单调函数，则 íf(-1)≤0〔-5-4a≤0 (2)≤0 4+8a≤0 解得一<a≤-故实数a的取值范围是[-子.2]故选D, 5.【答案】A 【解析】设P(x,y),由PA=2PB,得√(x十2)2十y=2√/(x一1)2十y,化简整理，得(x一2)2十 y2=4.由题意得，圆(x-5)2十(y-4)2=2(r>0)与(x-2)2+y2=4有公共点，故|r-21≤d≤r十2，d =√(5-2)+4=5，|r-2≤5≤r十2，解得3≤r≤7，所以实数r的最小值是3.故选A. 6.【答案】D 【解析】由题意可知F(1,0),抛物线C的准线为l:x=一1，点A(一1,4)在抛物线的准线上，因为线段 AF的垂直平分线上任意一点到A的距离与点F的距离相等，设点P为线段AF的垂直平分线与抛物 线C的交点，则有PA|=|PF|,由抛物线定义可知，PA⊥1，所以P(4,4),故选D. 7.【答案】A 【解析】因为S6一S3=9,即a4十a5十a6=3a5=9,即a5=3,则Sg=9as=27,又因为S1。=24,所以a1o S。一S,=一-3，所以a十a4=4十aw=0,所以S4=a十a,）X14=0,所以=14，故选A. 2 高三数学试题参考答案第1页（共8页） 8.【答案C 【解析】函数fx)=(e-mr)(alnx-mx)=x(信-m)(an2-m）: 若xe0,+)时f)≤0恒成立，即（号-m)(a-m）≤0恒成立.令g(x)= ,h(.x)=a nx 对于函数g)-号(x>0)g'()=e2,令g(x)=0,得x=2, g(x) 当0<x<2时，g'(x)<0;当x>2时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(0， 2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增；当x=2时，函数g(x)取最小 y=m 值，且最小值为，且当x→0时，g(x)→十∞；当x十∞时，g(x)→ h(x) 0 十∞，所以函数g(x)的大致图象如图(1)所示； 对于函数h(x)=aln'(x>0),则h'(x)=a1-n卫，令(x)=0,得 x x2 图(1) x=e. ①当a>0时，若0<x<e,则h'(x)>0;若x>e,则h'(x)<0,所以函数h(x)在(0，e)上单调递增，在 (e,十∞)上单调递减；当x=e时，h(x)取最大值，且最大值为是，且当x-0时，(x)-∞；当x→十∞ 时，h(x)→0，所以函数h(x)的大致图象如图(1)所示. 由图可知，只有当两数g)和A()图象分别在直线y=m两侧时，即吕<导且≤m气时，号一m≥ 0恒成立a-m<0恒成立，即（信-m)(a2-m<0恒成立，即fx)≤0在x∈(0，十∞）止恒 成立，此时0<a<号： 当吕>千，即a>时，一定存在x∈11是指某个区间，函数g()与 g(x (x)的图象在直线y=m的同侧，则有（侣一m）(a-m>0,即 f(x)≤0在x∈(0，十∞)上不恒成立，所以不符合题意； y=m ②当a=0时，h(x)=0,其图象是x轴，存在直线y=m在函数g(x)和 0 h(x)图象之间，所以符合题意； h(x) ③当a<0时，若0<x<e,则h'(x)<0;若x>e,则h'(x)>0,所以函 数h(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十o∞)上单调递增；当x=e时，h(x) 图(2) 取最小值，且最小值为Q,且当x0时，h(x)→十∞；当x→十∞时，(x)→0，大致图象如图(2)所示， 由图可知，不存在直线y=m,使得在函数g(x)和h(x)图象分别在直线y=m两侧，所以不符合题意. 综上，实数a的取值范围是：[0，]，故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【解析】对于A,线性回归方程为y=4x十2一定过样本中心点(x,y),已知x=1,所以y=4×1+2=6, 高三数学试题参考答案第2页（共8页） A正确； 对于B,已知E(2X)=2E(X),则E(X)=1,E(X+3)=E(X)+3=1+3=4,B错误； 对于C,已知D(X)=3,则D(2X-1)=2×D(X)=4×3=12,C正确； 对于D,已知随机变量X~B(3,行)则P(X=2)=CG·(兮)广·（号）'=3×行×号=号D正确，故 选ACD. 10.【答案】BCD 【解析】因为Sn=2+1-2十n,所以当n=1时，a1=S1=22-2十1=3；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2m+1 一2+n一2"+2一(n一1)=2+1，对n=1也成立，所以am=2"+1,所以选项A错误，选项B正确； 对C,bn=n(am-1)=n·2",则Tn=1×2+2×22+3×23+…十n·2m① 则2Tn=1X×22+2×23+3×2+…+n·2m+1②， ①-@得：-T.=2+2+2+…十2-·21=2-？2）-n·2+1=1-m)·2+1-2,即T.= 1-2 (n一1)·2+1十2，所以选项C正确； 对D,1=1 2"+1+1 20+1 0a.2市2+2+>2+2+i=2(2h2+） 所以++++2(h点点点+叶) 1 1 al a2 a3 an =2(兮）广号？所以选项D正确：综上，放法BGD. 11.【答案】ABD 【解析】由题意可知平面ABCD为等腰梯形，以D为原点，建立如图所示空间直 角坐标系，则A(1,-1,0),B(1,2,0),E(0,0,1),有AE=(一1,1,1)，BE=(-1, -2,1),所以AE.BE=0,即AE⊥BE,故A正确： 因为C京=(0,0,3)，所以c0s(C京，A》= C京.A龙一5 1C·A面3故B正确， 因为DA=(1,-1,0),D龙=(0,0,1)，设平面ADE的一个法向量为n=(a,b,c),则 n·DA=a-b=0 ,则n=(a,a,0),显然DB=(1,2,0)与之不共线，故C错误； n.DE=c=0 pA它=-x0十y十0=0 设平面ABE的一个法向量为p=(xo,yo,),则 令x0=1,则p=(1,0, p·B2=-。-2y十20=0 n·p 1),令a=1,n=1,1.0),所以cosn,p》=n:D-2,则平面ADE与平面ABE的夹角的正弦 值为号，放D正确，放选ABD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】2 【解析】T,=C(a.x) (分）广=6·6g=6,则=8a+=a+≥2√·=2,当且 仅当a2=1时，取“=”，故a2+的最小值为2。 高三数学试题参考答案第3页（共8页） 13.【答案3 【解析】若△ABF1为正三角形，则有|AF1=BF1,根据双曲线的对称性，可知AB⊥x轴，即AF2⊥ FF2,又因为∠AF1F2=30°，则|AF1|=2|AF2,又因为|AF|一|AF2|=2a,所以|AF2|=2a, |AF|=4a,因为FF2|=2c,由|F1F212+|AF22=|AF,2,则4c2+4a2=16a2,即c2=3a2,所 以e=√5. 14.【答案】36 【解析】因为Sn≤2，即一2≤S,≤2，所以数列{an}可能有以下三种情形： ①数列{an}中有四项1，两项-一1，共有C=15种情况，再去掉Sm=3和Sm=4的情况，其中若Sm=4 时，只有1种情况；其中若Sm=3且Sm≠4时，有5种情况，所以此时共有15一6=9种情况； ②数列{an}中有三项1，三项一1，共有C=20种情况，再去掉Sm=3和Sm=-3的情况：其中Sm=3 与Sm=一3各有1种情况，所以此时共有20一2=18种情况； ③数列{an}中有二项1，四项一1，共有C=15种情况，再去掉Sm=一3和Sm=一4的情况，其中若 Sm=一4时，只有1种情况；其中Sm=一3且Sm≠一4时，有5种情况，所以此时共有15一6=9种 情况； 综上，数列{an}的个数为：9十18十9=36. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.【答案】(1)a.=n(2)301十2+n-3 2 【解析】(1)设等差数列{am}的首项为a1,公差为d, [3a2=6 则得 (Sa=6 a2=2 ……4分 a1·a4=a(2-d)(2+2d)=4d=1 则a1=1,an=n;………5分 (2)bn=3n+an=3"+n, .{bn}的前n项和Tn=(31十32十33十…十3")十(1十2十3十…十n)…8分 3g242-岁0m-多-3++m3 1-3 2 ……13分 2 2 2 16.【答案11) ,(2)X的分布列见解析，E(X)=3.1 【解析】(1)记事件F=“抽取1名顾客来自于甲店铺”，事件E=“抽取1名顾客来自于乙店铺”，事件 M=“顾客选择满意”，…………………………………1分 根据题意可知P(P)=P(E)=,P(MD)=专，PMF)=号，PME)=是，PME)=子， … ………………………………………3分 则P()=P(F·PMP刊+P(B·PaB)-子×号+×-品： …………………5分 (2)设事件G=“甲店铺的顾客选择‘满意’(A或B)”,事件H=“乙店铺的顾客选择‘满意(A或B)”, 由题意可知，P(G)= 0告PH)=赢=是则PG)=号，P(H= ……………6分 X的可能取值为0,1,2,3,4，………………7分 PX=0=(传)广×(4)广=0 高三数学试题参考答案第4页（共8页） Px=1D=C×号×号×（仔）+（传）'G×是×墙， …9分 P(x=2)=c(告)×()+（号）C()广+C×告×Cx×-隔. …11分 poX=8)=c×x日×(2)+（信）C×x8惯 12分 Px=)=(借)x( 13分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 14 73 168 144 400 400 400 400 400 则(X0=0×品十1×品+2×品+3×+4×装-31. 400 15分 17.【答案】(1)详见解析 (2)(i)4√70 35 m2+2T,(2,2T,-29） 7 7 【解析】(1)如图(1)所示，连接AC,取AC的中点为O,因为AB=BC,所以BO⊥AC,又因为AD= DC,所以DO⊥AC,所以B,O,D三点共线，即O=AC∩BD,所以AC⊥BD;…2分 又因为PA=PC,O为AC中点，所以AC⊥PO,BD,POC平面PBD,BD∩PO=O,所以AC⊥平面 PBD,又因为ACC平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD; 4分 (2)因为PO⊥AC,BO⊥AC,则∠POB即为二面角P-AC-B的平面角，即 ∠P0B- 因为AC=4,AB⊥BC,O为AC中点，所以BO=2,又因为PB=2√5，在 △POB中，由余弦定理得：PB=OB+OP2-20B·0Pcos,所以12=4 图(1) 十OP2+2OP,即OP2+2OP-8=0,因为OP>0,所以OP=2.…5分 因为BA=BC,BD=BD,DA=DC,所以△BAD≌△BCD,又因为∠ABC=受，则∠ABD=∠CBD=平 又因为AC=4,∠ABC=,BA=BC,所以BA=BC=2E,即BD=2AB=4. 记过点O且与平面ABCD垂直的直线为x轴，因为平面PBD⊥平面ABCD,所以x轴在平面PBD 内.再以OA,OB为x,y轴建立空间直角坐标系，如图(2)所示. 则O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0),P(0,-1√3). …6分 (i)设平面PAD的一个法向量为1=(x1y,1),A方=(-2，一2,0)，PA =(2,1,-√5)， n1·AD=-2x1-2y1=0 由 令=，则y=-3,名=1，则n= n1·PA=2.x+y-3x1=0 图(2) (√/5，-√5,1)；… …8分 高三数学试题参考答案第5页（共8页） 设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,2),BC=(-2,-2,0),PB=(0,3,一5)， n2·BC=-2x2-2y2=0 ,令x2=1,则y2=-1,2=一√3，则n2=(1,一1，一√5).…9分 n2·Pi=3y2-√5x2=0 3 设平面PAD与平面PBC的夹角为0，则os0=cos(nm=·,7义5√需· 圆sin生0即平面PAD与平面PBC的夹角的正弦值为4V70 35 ;…………10分 (i)由上分析可知，OA=OB=OC=OD=OP=2,所以点O为四棱锥P-ABCD外接球的球心，且外 接球半径为2。…………………………… …………………11分 因为OA=(2,0,0),平面PAD的一个法向量为n1=(W5,一√3,1)， 则点0到平面PAD的距离d=O·n=2E2V2红 n √7 7 所以点E到平面PAD距离的最大值为：2yT十2，并且此时OE⊥平面PAD.…12分 7 设E(x,y,2),所以有OE∥n1,且OE=2,则有x2十y2十2=4①，是= 后=5三之②， 令后方t=即5y5 代入0得：3+3+f=4,唧=号，所以1=29或：=-29 7 所w(2,-29)虞(2,2，) 7 …………13分 当(2耳，2,29)时a-(2,2耳，29） 7 此时点E到平面PAD的距离为：位n=2-2,所以不符合题意.合：…14分 n 当(2,2项，9)a-(2项-2,2项，2) 此时点E到平面PAD的距离为，A它m=2十2匹，所以符合题意， n 所以点E的坐标为(-22I,22红， 2W7 15分 7 18.【答案】(1)单调递增区间为：（一∞，0），(1，+∞)；单调递减区间为：(0,1)，极小值为e2,无极大值 (2)详见解析 【解析】(1)函数f(x)的定义域为{xx∈R,且x≠0}，… …1分 则f/(x)=2ex2-2ex-2e2*(z-1) 3分 令f(x)=0,得x=1,当x>1或x<0时，f'(x)>0;当0<x<1时，f(x)<0, ……5分 所以函数f(x)的单调递增区间为：（一∞，0），(1，十∞)；单调递减区间为：(0,1)，…6分 当x=1时，函数f(x)取极小值，且极小值为f(1)=2,无极大值；…7分 高三数学试题参考答案第6页（共8页） (2)当x十∞时，f(x)>+∞；当x>0时，f(x)>十∞；当x>一∞时，f(x)>0,再由其单调性和极 值，作出函数f(x)的大致图象如图所示： 若f(x)=f(x2)=f(x3)=t,且x1<x2<x,则t>e2,x <0,0x2<1<x3,…8分 因为f(x)=f(x2)=f(x),则f(x1)>e,又因为f(-1) =e2<e2,且函数f(x)在(-o∞，0)上单调递增，所以-1< <0,则0<-<1，则f(-)=e4>e xx =f(x1)= Ox f(x2),又因为函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以一x1< x2,即x1十x2>0;……………10分 要证：x1+2x2十x3>2,又因为x1十x2>0,即证：x2+x3>2. 由()=f)得：=e， 两边同时取对数得：山行山 ,即2x,-21nx=2x-21n, 即n二语1，即证：十>2n治。即证hh>2会千专 …13分 x3+x2 x3一1 即证：1n分>2名令1会因为x>>≥0，所以>1，即证h>2号>10.…14分 x23+1 T2 令g()=lnt-2-( t+7(>1), 则g0)=}2》-名≥0，所以0在1.十四上单调港格，15分 又因为t>1,所以g(t)>g(1)=0,所以x2十x3>2成立；…16分 因为x1十x2>0且x2十x3>2,所以x1十2x2十x3>2.……17分 19.【答案11)十y=1(y≠0)(2)(D不存在直线1，使得四边形OBAC为平行四边形：当直线方程为 y=士2Ex时，四边形0BAC为梯形（号 【解析】(1)设W(x,y),其中y≠0，则P(x,2y),… 1分 因为点P在圆x2十y2=4上，所以x2十4y2=4,…… 2分 所以曲线r的方程为：号+=1（≠0）.… 4分 (2)()设直线BC的方程为：x=my十，与曲线T的方程为：号+y=1联立， 得：(m2+4)y2+2mny+n2-4=0, 设B).C.则有青十= m2+4' …6分 因为点A(2,0)在圆O上，且MN是圆O的直径，所以MA⊥NA,即BA⊥CA, 所以m·a2‘2-1.即（-2：-2)十g=0. 因为x1=my十n,x2=my2十n,所以(my+n-2)(my2十n一2)+yy2=0, 高三数学试题参考答案第7页（共8页） 即(m2十1)y2十m(n-2)(y1十y2）+(n-2)2=0,… 7分 所以m+1号+ma2+a22=0, m2+4 化简整理得：5-16m+12=0,解得n=号或m=2(会)，… 8分 所以直线BC的方程为：0=my+号，即直线BC恒过定点E(停0)小，即直线OA与BC相交于点 (号0)，而（停，0）不是线段OA的中点，即OA与BC不可能互相平分，所以四边形OBAC不可能为 平行四边形，即不存在直线1使得四边形OBAC为平行四边形；…10分 若四边形OBAC是梯形，则有OC∥AB或OB∥AC. 当OC∥AB时，因为AB⊥AC,所以OC⊥AC,即MA⊥NA,OC⊥NA,又因为点O为线段MN的中 点，所以点C为线段NA的中点.设C(x。,y%),因为A(2,0),所以N(2x。一2,2y),因为点C在曲线 +=1 T上，点N在圆O上，则有 4 (2x0-2)2+(2yo)2=4 %2 2 3 解得五=2（舍）或x=号，即 或 y= 22 yo= 22 所以N( 号，)或N-是，)，所以直线1的方程为：y=-2x政y=2:…1n分 3 同理，OB∥AC时，求得直线l的方程也为y=一2√2x或y=2√2x. 即直线1的方程为y=一2√2x或y=22x时，四边形OBAC为梯形；…12分 ((Se=2AE到·-为=×(2-号）l-为=号O+为)-4 64 m2+45 5 m2+4 …14分 m2+4 m四四m808 15分 25 5t十 令以=十器在[十)上单调递端，所以当1=合时，即m=0时，以取最小值，Sc取最大值，且最 大值为25： 16 17分 高三数学试题参考答案第8页（共8页）