河南青桐鸣2026-2027学年高三上学期9月学情调研数学试卷

高三年级学情调研 数学参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B B C D D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12[2 13.2 14.5,7 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【答案及评分细则】(13分) 解：(1)以A为原点，AB,AD,AA,的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xy之， B 不妨设AB=2,则A1(0,0,2),C(2,2,0),D1(0,2,2),E(2,0,1),A1C=(2,2,-2),D1E=(2,-2,-1). (4分) |A1C·D1E 2 记直线A1C与D1E所成的角为0，则cos0= |A1C1ID1E1√3X4X√4+4+I91 (6分) (2)记n=(x,y,之)为A1C与D1E公垂线段的方向向量， n·A1C=0,n|x+y-x=0, 则 即 (9分) n·D1E=0,2x-2y-x=0 可取n=(3,1,4), 而A1D1=(0,2,0), (10分) 记直线A,C与D,E间的距离为d,则d=AD,n_ 2 √26 n√9+1+1613 (13分) 16.【答案及评分细则】(15分) 解：1)设比例系数为，则PA=)=,P(A=2)-会，PCA=)冬，P(A=8)-令 由薇率之和为1，得长十受十全十 =1, (2分) 每得一 (3分) ·数学参考答案及评分细则（第1页，共4页）· 故P(A=1D= 8 (4分) P(A-) (5分) PM-后 (6分) P(A-8)-15 (7分) (2)X的所有可能取值为1,2,4,8,16，给定A后，两台候选节点被随机分配的概率均为2 (8分) PX=D-0x=总 (9分) P0X=0-品x名+培×3-号 (10分) 4、12、11 P(X=4)=15×2+5×2=5' (11分) p(X=8)=号×2+×2-0' 2、,11、,11 (12分) 1.11 P(X=16)=1×2=30 (13分) 故E(X)=1x毫+2x号+4x号+8x0+16x0-9 (15分) 17.【答案及评分细则】(15分) 解：(1)由已知，得am+1十1=(n+1)(an十1)， 当n≥2时，a2+1=2(a1十1)，a3+1=3(a2+1),…,am+1=n(am-1十1)， (1分) 所以当n≥2时，am十1=n(n-1)X…X2X(a1十1)=nl,故am=n！-1. (4分) 上式对n=1也成立，所以am=n！一1(n∈N*). (5分) (2)证明：(1)由(1)，知6，=1】 放f)=1++++ n (6分) 放f'x)=1+z+ 21+…十-)。 (8分) 从而f'()-fe)=i<0,即f'6a)<f). (10分) （1设xe)-/2由ei)知8a)-a）f0, 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减 (13分) 因此g0)<g0),即ff0,故得f)<c,放得6，+6：++6，<e-1. (15分) e 18.【答案及评分细则】(17分) 解：(1)由余弦定理，得AC2=AB2十BC2-2AB·BCcos,∠ABC=52+32-2X5X3c0s120°=49， 所以AC=7. (4分) (2)证明：设旋转角为0，令x=cos0. 由题意，知BM=BP=,BN=BQ-2 5 由于点P在射线BA上，点Q在射线BC上，旋转时射线BP与BQ同时转过同一个角， 所以cos∠ABM=cos∠CBN=x. (7分) 由余孩定那，得AM-A8+8r2AB·BM=5+(侵)广-25：21 4 一15x, (8分) ·数学参考答案及评分细则（第2页，共4页）· CN-BC+BN-2 BC.BN-g+(停}-2.3·2x--15z (9分) 因此AMr-CN=(19°-15x)-(-15x)=12,所以旋转过程中，AM-CN为定值12. (10分) (3)由(2)得AM2-CN2=12,所以AM>CN,从而|AM-CN|=AM-CN. 12 因为AM-CN=(AM-CN)(AM+CN),所以AM-CN=AM+CN 12 四-x+图15 /61 (13分) 12 又x∈[-1,1，则AM-CW单调递增，故x=-1时，其取最小值13-1， 2+2 当x=1时，其取最大值71=3， 2十2 所以|AM一CN|的最大值为3，最小值为1. (17分) 19.【答案及评分细则】(17分) 解：(1)由题意得直线AB的方程为x十2y一1=0，椭圆的右顶点(a,0)、上顶点(0，b)到直线AB的距离相 、等，且a>b>1,放“后=61，得a=2b. (2分) 设椭圆的半焦距为c,则c2=a2-b2-36',故e=C-5 a 2 (4分) (2)证明：(i)由(1)知a=2b,故椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 设P(p,q),由O,A,P不共线，得q≠0.设两条中点轨迹的一个公共点为T(x,y),过A的相应弦的两个 端点为(x1,y1),(x2y2). 因为T为孩的中点且两编点均在猪明上，放=兰士兰=，子十行=46，十=的，联立 得x(x1-x2)+4y(y1-y2)=0. 又A,T及弦的两个端点共线，故存在实数s,使1一x=s(x1一x2),一y=s(y1一y2),从而x(1一x)- 4y2=0,即x2+4y2-x=0.① 同理，由T为过P的弦的中点，得x2+4y2-px一4qy=0.② ①②两式相减，得(p-1)x+4qy=0,代人x2+4y2-x=0,得x{[(力-1)2+4q2]x-4g2}=0. (7分) 当x=0时，由(p一1)x十4qy=0得y=0,即该公共点与原点重合，且x,y均唯一确定，故两条轨迹除原点 外至多有一个公共点， 又A,P均在椭圆内部，直线AP与椭圆相交所得弦的中点同时属于这两条中点轨迹，且O,A,P不共线， 所以该中点不与原点重合. 因此，两条中点轨迹除原点外有且仅有一个公共点，且该点在直线AP上. (9分) (ⅱ)记过A,B,P的弦的中点轨迹两两除原点外的公共点分别为C,H,K,其中C为过A,B的弦的中点轨 迹的交点，H为过A,P的弦的中点轨迹的交点，K为过B,P的弦的中点轨迹的交点，由题设，点P不在直 线OA,OB,AB上，故pq(p+2q-1)≠0. 由(2)(1)知，过A,B,P的弦的中点的轨迹方程分别为E1:x2十4y2-x=0,E2:x2十4y2-2y=0, E3:x2+4y2-px-4qy=0. (11分) 对点C,E,E:两式相减，得x=2y,又由(2)(1)知C∈AB,而AB的方程为x+2y=1,故C(分，是) 由(2)(i)知H∈AP,设H=(1十1(p一1)，Aq),E1,E3两式相减，得(p-1)x十4qy=0,代入点H的坐 1-p 标，得入=（中-1）2+4g” (12分) ·数学参考答案及评分细则（第3页，共4页）· 同理，K∈BP,设K=(p,十r(复)》，E,E,两式相减，得x+(4g一2》y=0,代入点K的坐标，得一 1-2q p2+(2g-1)2 (13分) 由于C,H,K共线，则有-2)(x-)=(x-2)6m-) 代入H,K的坐标并整理，得(p十2q-1)(入十μ-2μ)=0. 由p+2g-1≠0，得入十μ-2λ4=0，代入入，μ并通分整理，得(1一p-2q)(p2+4q2一p-2q)=0, 又p十2g-1≠0，故p2十4g2-p-2q=0,因此点P的轨迹方程为x2+4y2-x-2y=0. (15分) 反之，设点P(p,q)满足该方程且不与O,A,B重合，则p2十4q2=p十2q.若p=0或q=0,由轨迹方程可 得点P与O,A,B中的一点重合. 若p+2q=1,则p2+4g2=1,从而4pg=(p十2q)2-(p2+4g2)=0,仍得点P与A或B重合，均与所取点 矛盾，因此q(p+2g-1)≠0， 又由轨造方程得(。-)+g-》-号可令力合-受 D°2-cos0,2g一—￥2sin0,0∈0,2π)，则p2+ 4g-(经os0+2》产+（经sm0+2）-1+号(sim0+60s9)=1+sn0+)≤2，从面B2+4g不大 于2. 由b>1,有2<4b2,故点P在椭圆E内.此时上述各步均可逆，故三个非原点公共点共线， 若其中两个点重合，则该点同时属于过A,B,P的三条弦的中点镜连，从而点C(分，号)也演足，则得p十2☑ =1,矛盾，故三个公共点互不相同. 综上，点P的轨迹方程为x2+4y2一x一2y=0,其中去掉点O,A,B. (17分) ·数学参考答案及评分细则（第4页，共4页)·高三年级学情调研 数学 参考答案 1.A【解析】因为b=log49=log,232=log23=a,c=log827=log,333=log23=a,所以a=b=c. 故选A. 2.B【解析】圆锥的母线长为1=√1+1=√2，所以圆锥的侧面积为S=πrl=π×1X√2=√2π. 故选B. 3.C【解标计算得(9-刂°+()=号1，而（°+(）广=1，可知点()在圆x-1+=-1上， 点（号，号）不在圆x-1P+y=1上，于是AnB={(,号)} 故选C. 4.D【解析】由x1十之2=4①，21一z2=4i,得之1一之2=4i,也即之1-之2=-4i②，①②联立，得x1=2-2i,之2= 2十2i,所以之1之2=(2-2)(2+2i)=8,则|x1之2「=8. 故选D. 5.D【解析】估计该商场月销售额的平均数为t=35×0.02×10+45×0.04×10+55×0.02×10+65×0.01× 10+75×0.01×10=50,所以估计该商场月销售额的方差为s2=(35-50)2×0.2+(45-50)2×0.4+(55 50)2×0.2+(65-50)2×0.1+(75-50)2×0.1=145. 故选D 1 6.C【解析】求导得f'(x)= ·g-nx+a）_1-a=h之，当0，e-)时，f(x)>0,fx)单调递增； x x2 当x∈(e-a,十o∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，可得f(x)在x=e-a处取得最大值.于是e=f(e-“)= ea=e-1,故a=2. 1 故选C 7.B【解析】易知这四个圆两两相切，记直线l与这四个圆的公共点个数为n,当l的方程为x=1时，n=4,当 l的方程为x=t(I<t<√2)时，n=6,考虑证明n≥7不合题意.注意到圆与直线最多有两个公共点，故当 ≥7时，直线必与其中三个圆有两个公共点，且与另外一个圆有至少一个不同的公共点，若存在这样的直 线，显然其斜率存在，设L的方程为红一y十6=0.不妨设1与C1,C,C,均有两个公共点，则2%+b<2, √k2+1 -2+6<2,一2k+6<2,此时62-4b+4:<2(k+1),62+4b+4h<2(k2+1),两式相加得 √W2+1 R2+1 4地<4，即2<1，而6-46+4<2(k+1)<4-,解得b∈(0,2)，于是2 6+46+4 √2+1 62 A 22 √2，即1与C4相离，矛盾，故n的最大值为6. 故选B. x=1 C2 ·数学答案（第1页，共6页)· 8.D【解析】对2列表可得 m+2n 0 1 2 3 4 5 n 0 0 1 3 4 5 1 2 3 5 6 7 2 4 5 6 7 8 9 3 6 7 8 9 10 11 8 9 10 11 12 13 5 10 11 12 13 14 15 逐列累加后相加，由等差数列性质知和s=3×(4+6+5十7+6十8+7十9+8十10+9+11)一2一4=264，于 是BcX)-2器 故选D. 9.BD【解析】函数f(x)=x3(lnx-l)的定义域为(0，+o∞).由f(x)=0,得x3(lnx-1)=0,故lnx-1=0, 解得x=e,所以f(x)有且仅有1个零点，故A错误；f'(x)=3x2(1nx-1)+x2=x2(3lnx-2),令 f'(x)=0,得x=e,当0<x<e时，f'(x)<0,当x>e时，f'(x)>0,所以f(x)在x=e处取得极小值， 故f(x)有且仅有1个极值点，故B正确；因为f(1)=-1,且1<e,而f(x)在(0，e)上单调递减，所以当 1<x<e时，f(x)<f(1)=-1,故不等式f(x)≥一1不恒成立，故C错误；由B知，f(x)在区间(0,1)上单 调递减，故D正确。 故选BD. 10.BD【解析】由a=|b1=2,且a·b=0,可得a≠b.因为m十a-n-b=2(1-t)(a-b),0<t<1,所以 m十a≠n+b,故A错误；由m12=|(1-t)a+tb|2=4(1-t)2+4t2,n|2=|ta+(1-t)b12=4t2+ 4(1-t)2,得m|2=|n2,所以|m|=|nl,故B正确；因为m·n=8t(1-t),且0<t<1,所以m·n>0,所 以m,n的夹角不是纯角，放C错误m·a=8(1-)=2-8-2》<2,当且仪当：=方时等号成立，所 以m·n的最大值为2，故D正确 故选BD. ll.ABD【解析】设第n个孔到模块的距离为rn=a十(n一1)d,其中a>0,d>0.选取第i,j,k个孔，其中i< j<飞，令p=j一i,q=k-j,若其距离构成递增的等比数列，则(r:十pd)2=r:[r:+（p十q)d],整理得 pd=r:(q一p).因为r:>0,d>0,所以q>p,从而后两个标定孔的中心距qd大于前两个标定孔的中心距 4,A正确，同时=力为有理数.当第1孔到模块的距离为2L,孔距为L时，第1,3,7孔到模块的距离 依次为2L,4L,8L,构成递增的等比数列，所以可选第1,3,7孔，B正确；正方形的对角线长D=√2L,当 a=L+Dd=D时，日-1十店为无理数，而对任邀孔均有行-日+m-1为无理数，不可能满足7-，P。 √2 d qp 因此该孔列不能选出三个孔完成标定，C错误；若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则存在正整数，使 得D-L=md,若距离为L的孔是第s个孔，则号-二一(s-1D=m(2+1)-(s一1)为无理数，因此该孔列 不能选出三个孔完成标定，D正确。 故选ABD. ·数学答案（第2页，共6页）· 12[-号，2【解】显然sn=∈[-,]，于是cas2a+os2=2-2sn。-2sing=2-10sim [-2] 13.2 【解折因为>0，所以双鱼线的焦点为士合+名0小道物酸y=:的焦点为列（台0小由题意，得 号√月+两边平方并整庭，得p-2分-46，即（-2g+20+2)》-0.因为+2+名=(0+1D+ 1>0,所以饣=2. 6 14.5,7【解析】设∠POA=0,则0<0<受，且a=sin0,∠P0B=0.正十四边形相邻两顶点所对的圆心角 为牙，其相邻两条对称轴的夹角为器单位圆上两个不同点的纵坐标相同，当且仅当这两个点关于y轴对 称，放题设条件等价于y轴为该正十四边形的一条对称轴，因此∠P0B-a∈Z.又0<号9<-经 故m=1,2345,从而0=m=1,2,3,45).因为正弦函数在(0，受）上单调递增，所以对应的a=sin经 (n=1,2,3,4,5)互不相同，故a的可能取值的个数为5.再考察14个顶点的纵坐标，当n为奇数时，顶点的 圆心角可写为十2)江，k∈Z,可取整数使n十2=7，故y轴经过两个相对顶点，其余12个顶点关于)y 14 轴两两对称，纵坐标共有2+号-8个不同的值当n为偶数时，不存在整数及使元十2-7，放y轴不经过 顶点，14个顶点分成7对，每对关于y轴对称，纵坐标相同.又一条水平直线与单位圆至多有两个交点，故不 同的两对顶点不可能具有相同的纵坐标，因此此时纵坐标恰有7个不同值.所以14个顶点纵坐标的不同值 个数最少为7. 15.解：(1)以A为原点，AB,AD,AA1的方向分别为x轴、y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz, 不妨设AB=2,则A1(0,0,2),C(2,2,0),D1(0,2,2),E(2,0,1),A1C=(2,2,-2),D1E=(2,-2,-1). (4分) 记直线A1C与D1E所成的角为0，则cos0= A C.DE √3 (6分) |AC11D1E1√3X4X√W4+4+I9 (2)记n=(x,y,z)为A1C与D1E公垂线段的方向向量， n·A1C=0,mx+y-z=0, 则 即{ n·D1E=0,2x-2y-之=0 可取n=(3,1,4), (9分) 而A1D1=(0,2,0), (10分) 记直线A,C与D,E间的距离为d,则d=AD·n- 2 V26 n|√9+1+16 13 (13分) ·数学答案（第3页，共6页）· 16,解：1设比例系数为k,则P(A=1)=,PA=2)=合，PA=)=冬，PA=8)=台 由概率之和为1，得十些+套+营-1 (2分) 部得一 (3分) 放P(A=1)= 8 (4分) P(A=2)=15 .4 (5分) P(A=4)=5 (6分) 、1 P(A=8)= (7分) (2)X的所有可能取值为1,2,4,8,16，给定A后，两台候选节点被随机分配的概率均为2 (8分) P0X=》品x分总 (9分) P0X-0-品x2+×号-号 (10分) PX-0品×号品×号日 (11分) P(x-0-后x名+x日-0 (12分) 111 P(X=16)=i5×2=30 (13分) 故E0X)=1×言+2x号+4x号+8x0+16×动9 305 (15分) 17.解：(1)由已知，得am+1+1=(n+1)(am十1)， 当n≥2时，a2+1=2(a1+1),a3+1=3(a2十1)，…，an+1=n(am-1+1), (1分) 所以当n≥2时，an+1=n(n-1)×…X2×(a1十1)=n！,故an=n！-1. (4分) 上式对n=1也成立，所以an=n！-1(n∈N*). (5分) 2+… (2证明：1)由1，知6，示放fe)=1+z+ n! (6分) 故f'e)=1+x+ 2+…十x-D、 (8分) 从雨fe)-f)=<0,即fe)<f). (10分) (i)设g)-f.由2(1).知ga)=fa。f0. e 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减， (13分) 因此g<g0),即f0<f0,故得f1)<,故得61+b:十…+6，<6-1 (15分) e 18.解：(1)由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=5+32-2X5X3cos120°=49， 所以AC=7. (4分) ·数学答案（第4页，共6页）· (2)证明：设旋转角为0，令x=cos0. 由题意，知BM=BP=2,BN=BQ= 由于点P在射线BA上，点Q在射线BC上，旋转时射线BP与BQ同时转过同一个角， 所以cos∠ABM=cos∠CBN=x. (7分) 3 109 由余弦定理，得AM=AB2+BM2-2AB·BM·x=52+ 2 -25·2x= 4 一15x (8分) CN2=BC2+BN2-2BC·BN·x=32+(③) -2·3·5x=61 = 4 -15.x. (9分) 因此AM-CN=(-15x)-(-15z)=12,所以旋转过程中，AM2-CN2为定值12. (10分) (3)由(2)得AM2-CN=12,所以AM>CN,从而|AM-CN|=AM-CN. 因为AM-CN2=(AM-CN)(AM+CN),所以AM-CN=AM+CN 12 12 /109 /61 V4-15x+/-15x (13分) 12 又x∈[-1,1门，则AM-CN单调递增，故x=-1时，其取最小值137=1， 2T2 当x=1时，其取最大值71 12 =3, 2+2 所以|AM一CN|的最大值为3，最小值为1. (17分) 19.解：(1)由题意得直线AB的方程为x十2y一1=0，椭圆的右顶点(a,0)、上顶点(0，b)到直线AB的距离相 等，且a>b>1,故a-1_2b-1 得a=2b. (2分) 5√5 设椭圆的半焦距为c,则c2-a2-b2=362,故e=C=3 2 (4分) (2)证明：(1)由(1)知a=2b,故椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. 设P(p,q),由O,A,P不共线，得q≠0.设两条中点轨迹的一个公共点为T(x,y),过A的相应弦的两个 端点为(x1y1),(x2y2). 因为T为弦的中点且两端点均在椭圆上，故工=1十，y=十，x十4=46，十4=46，联立 2 2 得x(x1-x2)+4y(y1一y2)=0. 又A,T及弦的两个端点共线，故存在实数s,使1一x=s(x1一x2),一y=s(y1一y2),从而x(1一x)一 4y2=0,即x2+4y2-x=0.① 同理，由T为过P的弦的中点，得x2+4y2一px一4qy=0.② ①②两式相减，得(p-1)x+4qy=0,代入x2+4y2-x=0,得x{[(p-1)2+4q2]x-4q2}=0.(7分) 当x=0时，由(p一1)x十4qy=0得y=0,即该公共点与原点重合，且x,y均唯一确定，故两条轨迹除原点 外至多有一个公共点， 又A,P均在椭圆内部，直线AP与椭圆相交所得弦的中点同时属于这两条中点轨迹，且O,A,P不共线， 所以该中点不与原点重合. 因此，两条中点轨迹除原点外有且仅有一个公共点，且该点在直线AP上. (9分) ·数学答案（第5页，共6页）· (ⅱ)记过A,B,P的弦的中点轨迹两两除原点外的公共点分别为C,H,K,其中C为过A,B的弦的中点轨 迹的交点，H为过A,P的弦的中点轨迹的交点，K为过B,P的弦的中点轨迹的交点，由题设，点P不在直 线OA,OB,AB上，故q(p+2q-1)≠0. 由(2)(1)知，过A,B,P的弦的中点的轨迹方程分别为E1:x2+4y2-x=0,E2:x2+4y2一2y=0, E3:x2+4y2-px-4qy=0. (11分) 对点C,E1,E:阿式相减，得x=2,又由(2(1)蜘C∈AB,而AB的方程为z+2=1,放C(份) 由(2)(i)知H∈AP,设H=(1十A(p-1),gq),E1,E3两式相减，得(p-1)x+4qy=0,代入点H的坐 1-p 标，得入=（中-1）2+4g2 (12分) 同理，K∈BP,设K-(p,号+rg-)》,E:,E:两式相减，得z十(4g一2》y=0,代入点K的坐标，得以 1-2g p2+(2g-1)2 (13分) 由于C,H,K共线，则有(en-2)(x-)=(cx-2)(a-): 代入H,K的坐标并整理，得(p十2q-1)(入十4-2λ4)=0. 由力+2q-1≠0，得1十4-2λ4=0，代入入，4并通分整理，得(1-p-2q)(p2+4g2-p-2q)=0, 又p十2q-1≠0，故p2+4q2-p-2q=0,因此点P的轨迹方程为x2+4y2-x-2y=0. (15分) 反之，设点P(p,q)满足该方程且不与O,A,B重合，则p2十4q2一p十2q.若p=0或q=0,由轨迹方程可 得点P与O,A,B中的一点重合. 若p十2g=1,则p2十4g2=1,从而4q=(p十2q)2一（p2+4q2)=0,仍得点P与A或B重合，均与所取点 矛盾，因此q(p+2q-1)≠0， 又出执流方程得(e-}+-号-号可令p-日-号0.20-日-号n60c02.则2+ 4g-(受cs0+》+(受in9+2》°-1+号(sn9叶cms0)=1+sin(+）<2,从而2+4不大 于2. 由b>1,有2<4b2,故点P在椭圆E内.此时上述各步均可逆，故三个非原点公共点共线 若其中两个点重合，则该点同时属于过A,B,P的三条弦的中点轨迹，从而点C(2,4)也满足，则得力十2g /11 =1,矛盾，故三个公共点互不相同. 综上，点P的轨迹方程为x2+4y2-x一2y=0,其中去掉点O,A,B. (17分) ·数学答案（第6页，共6页)·秘密★启用前 高三年级学情调所 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设a=1og23,b=log9,c=log827,则 A.a=b=c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<6 2.底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为 A.元 B.√2π C.2π D.(1+√2)π 3.设集合A=(xy1(x-1)2+2=1,B={(,),(,},则AnB= A.☑ B《,别 c停 D》,)》 4.已知复数x1与x2满足21十之2=4,21一之2=4i,则|之1之2|= A.1 B.2 C.4 D.8 5.某商场统计了一段时间内的销售情况，得到如下频率分布直方图. 频率 组距 0.04 0.02 0.01 01 3040 50607080月销售额/万元 由图估计该商场月销售额的方差为 A.165 B.155 C.150 D.145 数学试题第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6.若函数f(x)=1nr+“的最大值为e,则实数a的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知圆C1:(.x-2)2+y2=2,C2:x2+（y-2)2=2,C3:(.x+2)2+y2=2,C4:x2+ (y+2)2=2,则直线1与这四个圆的公共点个数的最大值为 A.5 B.6 C.7 D.8 8.记集合U={(m,n)|mn∈N,m<6,n<6},点P(2,0),Q(2,1),样本空间2=C{P, Q},从n中随机取一个点，定义随机变量X如下：对任意2内的点A(m,n),X(A)= m+2n,则X的数学期望为 A号 86 b c n等 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数f(x)=x3(lnx一1)，则 A.f(x)有且仅有2个零点 B.f(x)有且仅有1个极值点 C.不等式f(x)≥一1恒成立 D.f(.x)在区间(0,1)上单调递减 10.已知平面向量a,b满足|a|=|b|=2,且a·b=0.设实数t∈(0,1)，m=(1-t)a十 tb,n=ta+(1一t)b,则 A.m十a=n+b B.m=n C.m,n的夹角为钝角 D.m·n的最大值为2 11.某厂在直线导轨上等距加工一列安装孔，测距模块与各孔中心共线，各孔均位于模块 同侧，并按到模块的距离由小到大编号，且孔数足够多.三点倍率标定时，需依次选择 三个孔，使它们到模块的距离构成递增的等比数列.现场配有边长为L、对角线长为 D的正方形检具（检具用于检测单个零件，如冲压件，塑料件的型面、轮廓、孔位等）.则 A.后两个标定孔的中心距大于前两个标定孔的中心距 B.第1孔到模块的距离为2L、孔距为L时，可选第1,3,7孔 C.第1孔到模块的距离为L十D、孔距为D时，可以完成标定 D.若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则该孔列无法完成标定 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若sina=2sinB,a∈R,则cos2a十cos23的取值范围是 13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线px2一2y2=1的一个焦点，则实数p的值 为 14.设A为单位圆上在第一象限内的一点，其纵坐标为a.记单位圆与x轴正半轴的交点 为P,将劣弧PA七等分，以从P起（不包括点P)逆时针第六个分点B为一个顶点， 作单位圆的内接正十四边形，且该正十四边形存在两个纵坐标相同的顶点.则α的可 能取值的个数为 ,其14个顶点纵坐标的不同值的个数最少为 数学试题第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为棱BB,的中点. (1)求直线A,C与D,E所成角的余弦值： N (2)当AB=2时，求异面直线A,C与D,E间的距离. C D 16.(15分) 某云计算平台为任务提供两台候选节点，其可用算力分别为A和2A,其中A∈1,2， 4,8},且A取各值的概率与成正比。平台从两台候选节点中等可能地随机选择其中 一台，并显示其算力X. (1)求A取各值的概率； (2)求X的数学期望. 17.(15分) 已知n∈N,数列{am}的首项为0，am+1一(n+1)an=n.(提示：n！=1×2X3×…X (n-1)×n) (1)求{am}的通项公式. (2)记么，-。.设两数f)=1十b,x+bx+…十6.x证明」 (i)当x>0时，f'(x)<f(x); (ii)b1+b2+…+bn<e-1. 数学试题第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 在△ABC中，AB=5,BC=3,∠ABC=120°，点P,Q分别在线段AB与BC上，且 O名，BQ,将△PBQ绕点B旋转得到△MBN,其中点P,Q旋转后路到 分别为M,N (1)求AC的长度； (2)证明：旋转过程中，AM2一CN2为定值； (3)求旋转过程中，|AM一CN|的最大值与最小值， 19.(17分) 在平面直角多标系中.0为坐标原点，A1,0,B6,》,且慌周E号+ 2=1(a> b>1)的右顶点与上顶点到直线AB的距离相等. (1)求E的离心率. (2)若P为E内一点，且O,A,P三点不共线， (1)证明：过点A的椭圆的弦的中点所形成的轨迹与过点P的椭圆的弦的中点所形 成的轨迹除O外有且仅有一个公共点，且该点在直线AP上： (ⅱ)若分别过A,B,P的椭圆的弦的中点所形成的轨迹两两相交于O及另一个点，且 除O外所得的三个点互不相同且共线，求点P的轨迹方程. 数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP