河南省驻马店市部分校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学参考答案及评分意见 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．ACD 10．BCD 11．AD 12．3 13． 14．3 15．解：（1）完整的列联表如下． 3分 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 零假设为：储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力无关． 4分 由列联表中的数据，计算得 ． 6分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为储能技术人员使用储能仿真软件的情况与自主优化能力有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 7分 （2）由题意，X的可能取值为0，1，2，3． 因为新员工第1天、第2天、第3天使用储能仿真软件开展工作的概率分别为，，， 所以， ， ， ， 故X的分布列如下表． 11分 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望． 13分 16．解：（1），， ． ， ， 整理得． 4分 ，，． 又，． 由正弦定理，得． 7分 ，，． ，． 9分 （2）在中，，，， ∴由余弦定理，得，化简得． 解得或（舍）． 12分 ，． 是的中点，， ． 15分 17．（1）证明：在中，，，， ∴由余弦定理，得． ，． 3分 ，，，平面， 平面． 5分 平面，∴平面平面． 6分 （2）解：由（1），得平面．又，平面，，． 又，，，两两相互垂直． 以点C为坐标原点，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，由（1）知， 则，，，， ，，． 8分 设平面的法向量为， 则即 令，则，，． 10分 设直线与平面所成的角为， 则． 由题意，得，解得，． 12分 在三棱柱中，，且，． 设平面的法向量为， 则即 令，则，，． 14分 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．（1）解：，，． 1分 又，． 3分 ∴曲线在点处的切线方程为， 即． 5分 （2）证明：，等价于． 6分 方法一：令，，则． 令，则． ∵函数在上单调递增，且，， ∴函数在内存在唯一的零点，即． ∴当时，；当时，， ∴函数即在上单调递减，在上单调递增． 9分 ∴函数的最小值为， ∴函数在上单调递增． 10分 当时，，，； 当时，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立． 12分 方法二：令，． 当时，，，． 8分 当时，． 令，则在上单调递增． ， ∴函数即在上单调递增，， ∴函数在上单调递增，． 11分 综上，在上恒成立，即在上恒成立． 12分 （3）解：不等式，即， 等价于． 13分 令，则原不等式可转化为． ∵函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立． 15分 设，，则， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的最小值为． 又，∴实数a的取值范围为． 17分 19．（1）解：由题意，得，所以． 因为，所以，所以椭圆C的方程为． 2分 因为椭圆C过点，所以． 解得，所以，所以椭圆C的标准方程为． 4分 （2）①证明：由（1）及题意，知． 设，，直线的方程为． 因为直线和直线的斜率分别为，， 所以．（*） 6分 由消去y，整理得． 所以， ，， 代入（*），化简得． 8分 由题意，得，解得， 所以直线的方程为， 所以直线恒过定点． 10分 ②解：由①得，直线的方程为． 由，解得或； 则，． 11分 因为点R在射线上，且，所以， 所以． 记，则． 同理，记，则． 因为，所以，． 14分 由题意，得与共线， 所以， 化简得． 又因为，，所以． 又因为， ， 所以 ， 所以． 又因为，所以，即， 则，解得，即． 所以直线的方程为或． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，．若z为纯虚数，则 A． B． C． D．2 3．已知平面向量，．若向量在向量上的投影向量为，则 A． B． C．1 D．3 4．已知为等比数列的前n项和，若，则 A．18 B．24 C．48 D．192 5．已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线C上且在第一象限．若，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 6．某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长T（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，，则满足停止迭代条件的迭代次数n至少为 A．20 B．22 C．24 D．26 7．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，若对于恒成立，则下列各式一定正确的是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据，，，，．已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则 A． B． C． D． 10．已知数列的前n项和为，若，，则 A． B．数列是等差数列 C． D． 11．已知函数在区间上单调递增，则下列说法正确的有 A．的最大值为1 B．若，则 C．若，则在区间内有1个零点 D．若函数的图象与x轴的两个交点间的最小距离为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和5，体积为49，则该正四棱台的高为________． 13．已知函数，则关于m的不等式的解集为________． 14．已知F为双曲线的上焦点，以F为圆心，为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点．若（O为坐标原点），则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）为研究储能行业技术人员使用储能仿真软件的情况与方案自主优化能力是否有关联，随机调查了100名储能企业技术人员，得到如下列联表（单位：人）． 仿真软件使用情况 自主优化能力 合计 强 一般 经常使用 22 不经常使用 16 合计 44 （1）将列联表补充完整并依据小概率值的独立性检验，分析储能技术人员使用储能仿真软件的情况是否与自主优化能力有关． （2）一名新入职储能技术员此前未使用储能仿真软件，计划开始学习使用．他在第n天使用储能仿真软件开展工作的概率为，每天是否使用相互独立．设这名技术员前3天中使用储能仿真软件的天数为X，求X的分布列与数学期望． 参考公式：，． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 16．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，求中线的长． 17．（15分）如图，在三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点． （1）求椭圆C的标准方程． （2）点A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上两个不同的点，直线和直线的斜率之积为，点R，S分别在射线、射线上，满足． ①已知直线的斜率存在，求证：直线恒过定点； ②设①中的定点为P，若直线过点，求直线的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $