第3章 3.3 幂函数-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学幂函数核心知识点，从数学史情境引入，系统梳理幂函数概念（y=x^α）及结构特征，通过5个典型幂函数（y=x,y=x²,y=x³,y=x^(1/2),y=x⁻¹）的图表对比定义域、值域、奇偶性、单调性等性质，搭建从概念到应用的学习支架。 资料以数学史渗透培养数学眼光（抽象能力），通过表格对比与图象分析发展数学思维（推理能力），例题变式强化直观想象与数学抽象素养。课中辅助教师构建知识体系，课后学生可借预习自测、练习题查漏补缺，深化对幂函数的理解与应用。

3．3　幂函数 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解幂函数的概念 2．结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、、y＝的图象，了解它们的变化情况及性质 3．会利用幂函数解决一些问题 通过幂函数的图象及性质提升直观想象和数学抽象素养 [情境引入] 数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积． 大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势． 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“A4”写作“AⅣ”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子． [问题]　f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝以前叫什么函数，它们有什么共同特征？ 提示：正比例函数、二次函数、反比例函数． [知识梳理] [知识点一]　幂函数的概念　 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中　x　是自变量，　α　是常数． 1.如何判断一个函数是幂函数？ 提示：幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为1； ③幂xα的系数为1； ④只有1项． [知识点二]　幂函数的图象和性质　 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 是增函数 x∈[0，＋∞) 是　增函数　 x∈(－∞，0] 是　减函数　 在R上的 增函数 [0，＋∞)上 增函数 x∈(0，＋∞) 是　减函数　 x∈(－∞，0) 是　减函数　 定点 (1,1) (1)本质：幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图象总结得到的． (2)应用：①求定义域；②求值域；③比较大小；④求单凋区间． 2.通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象． 3．当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？ 提示：图象都是从左向右逐渐上升． [预习自测] 1．下列函数中，不是幂函数的是(　　) A．y＝πx　　　　 B．y＝x3 C．y＝ D．y＝ 答案：A 2．下列命题中，不正确的是(　　) A．幂函数y＝x－1是奇函数 B．幂函数y＝x2是偶函数 C．幂函数y＝x既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：C 3．已知幂函数f(x)的图象过点(3,2)，则f(x)＝　________　. 答案： 　　　幂函数的概念 [例1] 函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [思路点拨]　可根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m. [解]　根据幂函数定义得，m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3. 1．判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 2．求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． ②常用方法 设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. [变式训练] 1．已知幂函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增． (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(3x＋2)＞f(1－2x)． 解：(1)因为f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增， 所以3k－k2＋4＞0，解得－1＜k＜4，又k∈Z，所以k＝0,1,2或3. 又f(x)是偶函数，所以3k－k2＋4是偶数，所以k＝0,1,2或3，此时3k－k2＋4＝4或6，所以f(x)＝x4或f(x)＝x6. (2)由(1)中偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，可将f(3x＋2)＞f(1－2x)化为f(|3x＋2|)＞f(|1－2x|)，即|3x＋2|＞|1－2x|，解得x＜－3或x＞－， 所以原不等式的解集是(－∞，－3)∪ 　　　幂函数图象及其应用 [例2] 点(，2)与点分别在幂函数f(x)、g(x)的图象上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． [思路点拨]　根据题意求出f(x)，g(x)⇒ 画出f(x)、g(x)图象⇒ 根据图象分别确定x取值 [解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ， 则()α＝2，(－2)β＝－， ∴α＝2，β＝－1. ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图象如图所示， 由图象可知， ①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或或y＝x3)来判断． [变式训练] 2．给定一组函数解析式：及图中的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内． 解析：根据幂函数的图象特征确定相应的图象．由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知α＜0，而第一个图象关于原点对称，则为奇函数；第二个图象关于y轴对称，则为偶函数；第三个图象在y轴左侧无图象，即在(－∞，0)上无意义，因而这三个图象下方小括号内应分别填⑥④③.由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知0＜α＜1，而第四个图象关于y轴对称，则为偶函数；第五个图象关于原点对称，则为奇函数；第六个图象在y轴左侧无图象，即函数在(－∞，0)上无意义，因而这三个图象下方小括号内应分别填②⑦①.最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤. 答案：⑥④③②⑦①⑤ 　　　幂函数性质及其应用 [例3] 比较下面各组数的大小： (1)0.5与0.5； (2)－1与－1. [思路点拨]　用幂函数的单调性判断． [解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，∴0.5>0.5. (2)幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，∴－1>－1. (1)利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 三 (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小． [变式训练] 3．比较幂值大小： 1．下列幂函数中①y＝x－1；②；③y＝x；④y＝x2；⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 答案：B 2．直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分(如图所示)，那么幂函数的图象在第一象限中经过(　　) A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤ 答案：D 3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表： x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　________　. 答案：[0，＋∞) 4．已知函数f(x)＝(m－2)xm是幂函数，若f(k2＋3)＋f(9－8k)≤0，则实数k的最大值是　________　. 答案：6 5．已知函数，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数． 解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则 ∴m＝1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 ∴m＝－1， (3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±. 1．下列命题正确的是(　　) A．当a＝0时，函数y＝xa的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C．幂函数的图象不可能出现在第三象限 D．图象不经过点(－1,1)的幂函数，一定不是偶函数 答案：D 2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) 答案：C 3．函数的图象恒过定点(　　) A．(1,0)　　　　　　　 B．(2,1) C．(0，－1) D．(m＋1,1) 答案：B 4．已知a＝0.3，b＝0.3，c＝－0.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 答案：D 5．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x－2 D．f(x)＝|x| 解析：BD　[A选项，f(x)＝x3的定义域为R，在(0，＋∞)上单调递增，但f(－x)＝－x3≠f(x)，即f(x)＝x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A不符合题意；B选项，f(x)＝x2的定义域为R，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数，图象关于y轴对称，B符合题意；C选项，f(x)＝x－2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(0，＋∞)上单调递减，C不符合题意；D选项，f(x)＝|x|的定义域为R，在(0，＋∞)上单调递增，且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以f(x)＝|x|是偶函数，图象关于y轴对称，D符合题意．] 6．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则(　　) A．函数f(x)为减函数 B．函数f(x)为偶函数 C．当x≥4时，f(x)≥2 D．当x2＞x1＞0时，＜f 解析：CD　[设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，解得α＝，所以，定义域为[0，＋∞)． A选项，因为＞0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，故A错误；B选项，因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)不是偶函数，故B错误；C选项，由A可知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故当x≥4时，f(x)≥f(4)＝＝2，故C正确；D选项，当x2＞x1＞0时， 2－2 ＝－ ＝＝－＜0， 又f(x)≥0，所以＜f，D正确．] 7．已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(－8)的值是　________　. 答案：－4 8．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝－27的x值等于　________　. 解析：设f(x)＝xα，由题意可知2α＝，α＝－3，即f(x)＝x－3.由x－3＝－27可知x＝－. 答案：－ 9．若，则实数a的取值范围是　________　；若，则实数a的取值范围是　________　. 解析：因为函数是定义在[0，＋∞)上的增函数，则由 可得解得－1≤a＜.故实数a的取值范围是. 由， 可得解得<a≤， 故实数a的取值范围是. 答案：　 10．比较下列各组数的大小： (1)0.5与0.5； (2)－1与－1； (3) . 解：(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又>，∴0.5>0.5. (2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－<－， ∴－1>－1. 11．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的范围． 解：∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m－9＜0，解得m＜3，又m∈N*，∴m＝1,2. 又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1， ∴原不等式可化为， 即<， 移项统分<0， 解得＜a＜或a＜－1. ∴a的取值范围为(－∞，－1)∪. 12．已知幂函数为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)讨论F(x)＝a－的奇偶性． 解：(1)∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0⇒(m－3)(m＋1)＜0⇒－1＜m＜3，∵m∈Z，∴m＝0,1,2， 当m＝0,2时，f(x)＝x－3，不合题意，当m＝1时，f(x)＝x－4，符合题意， ∴f(x)＝x－4. (2)由(1)知，F(x)＝－bx3， ①当a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数； ②当a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数； ③当a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数； ④当a＝0且b＝0时，F(x)既是奇函数又是偶函数. 13．已知幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x5－3m在(0，＋∞)上单调递增，二次函数g(x)＝ax2＋2x＋c. (1)求实数m的值． (2)当c＝1时，∀x∈[1,2]，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方，求实数a的取值范围． (3)若a≤，∀x∈R，g(x)≥0恒成立，求的最小值． 解：(1)因为幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x5－3m在(0，＋∞)上单调递增， 所以解得m＝1. (2)由(1)得f(x)＝x2， 当c＝1时，g(x)＝ax2＋2x＋1. 因为∀x∈[1,2]，f(x)的图象恒在g(x)图象的下方， 所以∀x∈[1,2]，都有f(x)＜g(x)， 即x2＜ax2＋2x＋1， 分离参数可得a＞－－＋1对∀x∈[1,2]恒成立， 所以a＞max. 因为x∈[1,2]，所以∈， 所以－－＋1＝－2＋2≤－＋2＝－，即max＝－，所以a＞－.又a≠0，所以实数a的取值范围为∪(0，＋∞)． (3)若a≤，∀x∈R，g(x)＝ax2＋2x＋c≥0(a≠0)恒成立， 则所以 即 所以＝＝－1≥－1＝－1＝－1≥－1＝， 当且仅当a＝，c＝＝时取等号， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $