2026-2027学年广东省湛江市霞山区九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 结合新能源汽车、甜品销售等时代热点，通过基础-综合-应用梯度设计，考查一元二次方程与二次函数核心知识，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图象性质|如第6题结合等腰三角形边长，考查方程解的实际意义| |填空题|5/15|方程求解、二次函数顶点与交点|如第14题利用抛物线对称性求交点坐标| |解答题|8/75|方程解法、利润问题建模、函数与几何综合|如第19题新能源汽车销量增长率、第22题甜品利润最大化，体现数学建模与应用意识|

2026-2027学年广东省湛江市霞山区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣2 2．（3分）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10 4．（3分）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 5．（3分）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）若方程x2﹣8x+12＝0的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣tx+t＝3的一个解为x＝0，则实数t的值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 8．（3分）如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为36cm2，其中AE＝BF．若设AE的长为xcm，则下列方程正确的是（　　） A．（10﹣2x）2＝100﹣36 B． C．（10﹣2x）x•4+2x2＝36 D．100﹣2x2＝36×2 9．（3分）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．那么下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）方程x（4x+1）＝0的解为 　 　 ． 12．（3分）若P是抛物线的最高点，则点P的坐标是 　 　 ． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 　 　 ． 14．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 　 　 ． 15．（3分）如图：抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣1，p），B（4，q），则不等式ax2+c≥mx+n的解集是　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）． 17．（7分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式． 18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 四．解答题（共3小题，满分18分） 19．（9分）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 2.5 3.6 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 20．（9分）已知关于x的一元二次方程mx2+（m2﹣2）x+2m+4＝0的一个根为x1＝2，求m的值． 21．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长．店长统计，产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同． （1）求该甜品销售量的月增长率； （2）该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少200杯．设每杯售价为x元，月销量为y杯，月利润为w元． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②直接写出w关于x的函数关系式，并求出当x为何值时w取最大值？并求出其最大值． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点A，B． （1）求A，B，C三点的坐标及直线AB的函数解析式． （2）P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m（m＜0），PQ的长为L．求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； （3）设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得△NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2026-2027学年广东省湛江市霞山区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2．（3分）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A、a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B、对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C、顶点坐标为，说法正确，符合题意； D、当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（3分）用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10 【分析】根据完全平方公式的形式将方程配方即可． 【解答】解：x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝10， （x﹣2）2＝10， 故选：D． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法是解题的关键． 4．（3分）若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 【分析】根据二次函数的性质进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y， 所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1， 则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大． 因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上， 则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3， 所以y2＞y3＞y1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（3分）把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数图象的平移规律进行求解即可． 【解答】解：把抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为，即， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 6．（3分）若方程x2﹣8x+12＝0的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　） A．10 B．14 C．10或14 D．8或10 【分析】解此方程得到得x1＝2，x2＝6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长． 【解答】解：x2﹣8x+12＝0， 解得x1＝2，x2＝6， 由题意可得： ①当△ABC的腰为6，底边为2，则△ABC的周长为6+6+2＝14； ②当△ABC的腰为2，底边为6时，不能构成三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键． 7．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣tx+t＝3的一个解为x＝0，则实数t的值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 【分析】依据题意，先理解题意，将x＝0代入方程x2﹣tx+t＝3直接求解t的值，即可作答． 【解答】解：把x＝0代入得02﹣t•0+t＝3，得t＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，熟练掌握该知识点是关键． 8．（3分）如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点，且此长方体盒子的表面积为36cm2，其中AE＝BF．若设AE的长为xcm，则下列方程正确的是（　　） A．（10﹣2x）2＝100﹣36 B． C．（10﹣2x）x•4+2x2＝36 D．100﹣2x2＝36×2 【分析】设AE的长为xcm，则EF＝（10﹣2x）cm，根据长方体盒子的表面积为36cm2，可知阴影部分面积为（100﹣36）cm2，而阴影部分可以拼接成一个边长为（10﹣2x）cm的正方形，据此建立方程即可． 【解答】解：设AE的长为xcm，则EF＝AB﹣AE﹣BF＝（10﹣2x）cm， 由题意得（10﹣2x）2＝100﹣36， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握图形的面积求法． 9．（3分）如图，函数y＝ax2+3x+2和y＝﹣ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，分类讨论，当a＞0时；当a＜0时；结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【解答】解：当a＞0时，则﹣a＜0， ∴一次函数y＝﹣ax+a的图象经过第一、二、四象限； 二次函数y＝ax2+3x+2的图象开口向上，对称轴为，即对称轴在y轴的左边，当x＝0时，y＝2，即与y轴交于点（0，2）； A、B、C、D选项均不符合该种情况； 当a＜0时，﹣a＞0， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限； 二次函数图象开口向下，对称轴，即对称轴在y轴右边，与y轴交于点（0，2）； 如图所示， ∴D选项的图符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数图象的性质，关键是进行分类讨论． 10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．那么下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＞0 D．a+b+c＞0 【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，得到ab＜0，于是可对A进行判断；利用可对B进行判断；根据自变量为﹣1时函数值为正数可对C进行判断；根据自变量为1时函数值为负数可对D进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方 ∴a＞0，c＜0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴ab＜0， ∴abc＞0，故A错误； ∵， ∴2a+b≠0，故B错误； ∵x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，故C正确； ∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）方程x（4x+1）＝0的解为 x1＝0，　 ． 【分析】利用解一元二次方程的因式分解法可得结论． 【解答】解：∵x（4x+1）＝0， ∴x＝0或4x+1＝0， ∴x1＝0，， 故答案为：x1＝0，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键． 12．（3分）若P是抛物线的最高点，则点P的坐标是 　（3，﹣4）　 ． 【分析】直接利用二次函数的性质求解． 【解答】解：抛物线的最高点P的坐标为（3，﹣4）． 故答案为：（3，﹣4）． 【点评】本题考查了二次函数的最值，对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k，当a＞0时，x＝h，y有最小值，最小值为k；当a＜0时，x＝h，y有最大值，最大值为k． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 　4　 ． 【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝﹣1代入已知方程，求得n值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0的一个根为x＝﹣1， ∴1﹣n+3＝0， 解得，n＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 14．（3分）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0），则m的值为 　3　 ． 【分析】利用抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（﹣1，0）， ∴令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，﹣1为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根， ∴， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 15．（3分）如图：抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于两点A（﹣1，p），B（4，q），则不等式ax2+c≥mx+n的解集是x≤﹣1或x≥4　 ． 【分析】根据图象判断函数值的大小关系即可． 【解答】解：由图象可知，抛物线在直线的上方，在点A的左侧和点B的右侧， 故当x≤﹣1或x≥4时，ax2+c≥mx+n， 故答案为：x≤﹣1或x≥4． 【点评】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）解方程： （1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）3（x﹣1）2＝x（x﹣1）． 【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或3x﹣3﹣x＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1； （2）3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣3﹣x）＝0， x﹣1＝0或3x﹣3﹣x＝0， 所以x1＝1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 17．（7分）已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式． 【分析】设抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），将顶点（﹣1，﹣2）及点（1，10）代入即可解答． 【解答】解：设解析式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）， 则y＝a（x+1）2﹣2， 由条件可得a（1+1）2﹣2＝10，解得：a＝3， ∴y＝3（x+1）2﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题目给出的条件，正确设出二次函数解析式是解题的关键． 18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ≥0，可得出﹣4m+5≥0，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1，结合x1+x2+x1x2＝0，可得出m2﹣2m＝0，解之可得出m的值，再结合m，即可确定结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4 ＝﹣4m+5≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴﹣（2m﹣1）+m2﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0， ∴实数m的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”． 四．解答题（共3小题，满分18分） 19．（9分）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 2.5 3.6 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【分析】（1）设该款车销量的月平均增长率为x，利用该款车9月份的销售量＝该款车7月份的销售量×（1+该款车销量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款车的售价为每辆y万元，则每辆的销售利润为（y﹣6）万元，平均每月可售出（1275﹣150y）辆，利用总利润＝每辆的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：2.5（1+x）2＝3.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为20%； （2）设该款车的售价为每辆y万元，则每辆的销售利润为（y﹣6）万元，平均每月可售出15015＝（1275﹣150y）辆， 根据题意得：（y﹣6）（1275﹣150y）＝（7.5﹣6）×150， 整理得：2y2﹣29y+105＝0， 解得：y1＝7，y2＝7.5（不符合题意，舍去）． 答：该款车的售价应为每辆7万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．（9分）已知关于x的一元二次方程mx2+（m2﹣2）x+2m+4＝0的一个根为x1＝2，求m的值． 【分析】将x＝2代入方程计算可得． 【解答】解：将x＝2代入可得： 4m+2（m2﹣2）+2m+4＝0， m2+3m＝0， m（m+3）＝0， 解得m1＝﹣3，m2＝0（不符合题意，舍去）， 故m＝﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 21．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件． （1）求平均每次降价盈利减少的百分率； （2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，即可求解； （2）设每件应涨价x元，由题意得方程，进而求解． 【解答】解：（1）设盈利减少的平均百分率为a， 根据题意，得：100（1﹣a）2＝81， 解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%， 答：平均每次降价盈利减少的百分率为10%； （2）设每件应降价x元， 根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940， 解得：x1＝60，x2＝11， ∵尽快减少库存， ∴x＝60， 答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长．店长统计，产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同． （1）求该甜品销售量的月增长率； （2）该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少200杯．设每杯售价为x元，月销量为y杯，月利润为w元． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②直接写出w关于x的函数关系式，并求出当x为何值时w取最大值？并求出其最大值． 【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：1月份盈利额×（1+增长率）2＝3月份的盈利额列出方程求解即可； （2）①根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨x元，即可得月销量y＝200﹣10x（件）； ②设售价上涨x元，则单件利润为（50﹣30﹣x），销量为（200﹣10x），再根据月利润＝每件商品的利润×每月销售量即可得解；根据二次函数的性质即可得解． 【解答】解：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据题意得： 1500（1+x）2＝2160， 解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣1.2（舍去） 答：月平均增长率为20%； （2）①已知售价每上涨1元，月销量减少200杯，原来月销量为3200件，每杯售价为x元，月销量为y杯， ∴y＝3200﹣200（x﹣18）＝﹣200x+6800， ②w＝（x﹣10）（﹣200x+6800）， ∴利润w元与x的函数关系式w＝﹣200x2+8800x﹣68000 ∵﹣200＜0， ∴当x＝22时，y有最大值为28800，此时售价为22元， 故当售价定为22元时，月销售利润最大，最大利润是28800元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，直线y＝kx+b经过点A，B． （1）求A，B，C三点的坐标及直线AB的函数解析式． （2）P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m（m＜0），PQ的长为L．求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； （3）设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N，使得△NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将抛物线变形为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1），令y＝0，即可求出A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），用待定系数法可求直线AB的解析式； （2）设P（m，﹣m2+2m+3），令﹣x+3＝﹣m2+2m+3，可求出Q点横坐标为m2﹣2m，故PQ＝m2﹣3m，即L＝m2﹣3m（﹣1＜m＜0）； （3）由y＝﹣x2+2x+3可知抛物线的顶点坐标M（1，4），设N（0，n），分成以下三类利用勾股定理建立方程讨论直角三角形的存在性，即当∠MAN＝90°时、当∠MNA＝90°时、当∠AMN＝90°时． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，则x1＝3，x2＝﹣1， 故A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）， 设直线AB表达式为y＝kx+b，代入A（3，0），B（0，3）， 即，解得， 故直线AB表达式为y＝﹣x+3； （2）设P（m，﹣m2+2m+3）， 令﹣x+3＝﹣m2+2m+3，解得x＝m2﹣2m， 故Q点横坐标为m2﹣2m，PQ＝m2﹣2m﹣m＝m2﹣3m， 即L＝m2﹣3m（﹣1＜m＜0）； （3）存在点N，理由如下： 由y＝﹣x2+2x+3可知抛物线的顶点坐标M（1，4）， 设N（0，n）， ∴AN2＝32+n2＝9+n2，AM2＝22+42＝20，MN2＝12+（n﹣4）2＝（n﹣4）2+1， 当∠MAN＝90°时，由勾股定理可得AM2+AN2＝MN2， 即20+9+n2＝（n﹣4）2+1，解得n； 当∠MNA＝90°时，由勾股定理可得MN2+AN2＝AM2， 即（n﹣4）2+1+9+n2＝20，解得n＝3或1； 当∠AMN＝90°时，由勾股定理可得AM2+MN2＝AN2， 即20+（n﹣4）2+1＝9+n2，解得n， 综上，N的坐标为（0，）或（0，3）或（0，1）或（0，）． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合，直角三角形的判定与性质，勾股定理，两点间的距离公式熟练掌握以上内容并分类讨论是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/10 15:10:12；用户：轩；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $