广东省汕尾市陆丰市2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习1

**基本信息** 以甲流传染、巴黎奥运会吉祥物等真实情境为载体，融合二次函数与一元二次方程核心知识，梯度设计兼顾基础与创新，适配九年级上月考阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数图象与性质、一元二次方程应用|第2题结合甲流传染构建方程模型，体现模型意识| |填空题|5/20|方程根、几何图形面积、抛物线实际应用|第15题以漪汾桥为背景建立抛物线模型，渗透文化传承| |解答题|6/70|二次函数综合应用、方程求解与证明|第20题高脚杯抛物线模型融合平移与旋转，考查空间观念与创新意识|

2026-2027广东省汕尾市陆丰市九年级（上）第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x﹣5）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣1 2．（3分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 3．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（3分）二次函数y＝x2+2x图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）已知三角形两边长分别是2和3，第三边的长为方程x2﹣4x+3＝0的根，则该三角形的周长是（　　） A．6 B．6或8 C．7或8 D．8 7．（3分）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 8．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（2，﹣5），图象与x轴负半轴交于点A（m，n），﹣3＜m＜﹣2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．3＜x＜4 B．4＜x＜5 C．5＜x＜6 D．6＜x＜7 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1.5，且图象经过点（1，﹣2），下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大 D．x＝﹣4是方程ax2+bx+c+2＝0的一个根 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　 　 ． 12．（4分）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为　 　 ． 13．（4分）行驶中的汽车遇到紧急情况需急刹车时，行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝﹣5t2+20t，紧急刹车后由于惯性汽车要滑行 　 　 m才能停下来． 14．（4分）如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为 　 　 ． 15．（4分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分70分） 16．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0． （1）若此方程的一个根为0，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 18．（12分）3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即OA＝6米），最高点B距地面4.5米．如图所示，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带CE、DF的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 19．（12分）法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球．某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每个进价40元，因考虑到成本问题，销售的单价不能低于45元，但物价部门规定获利不得高于40%．在试营销期间发现，销售单价定为45元时，每天可以销售350个，单价每上涨1元，每天销量减少10个． （1）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到3000元？ （2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 20．（12分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，杯底，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm．以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）． （1）求杯体CPD所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b，求k的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）． ①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 21．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D． ①当m＝﹣1时，CD＝　 　 ； ②结合函数的图象，直接写出CD≥4时m的取值范围 　 　 ． 2026-2027广东省汕尾市陆丰市九年级（上）第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝（x﹣5）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣1 【分析】将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：x轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，y轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位，据此可得出结论． 【解答】解：∵x轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵y轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴平移后所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+1﹣2，即y＝（x﹣5）2﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 2．（3分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由“每轮传染中平均一个人传染了x个人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有225人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（3分）若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于b的方程，求解方程即可． 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×b＝16﹣4b， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即16﹣4b＝0， ﹣4b＝﹣16， b＝4． 故选B． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是利用一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程的根的情况． 4．（3分）二次函数y＝x2+2x图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝﹣2 D．直线x＝2 【分析】配方成顶点式即可得． 【解答】解：∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式，并掌握二次函数的性质． 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】解法一：分a＞0和a＜0，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】解：解法一：当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax+a的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax+a的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知a＜0，由一次函数图象与y轴的交点，知a＞0，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＞0，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知a＜0，由一次函数的图象，知a＞0，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知a＞0，由一次函数的图象，知a＜0，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 6．（3分）已知三角形两边长分别是2和3，第三边的长为方程x2﹣4x+3＝0的根，则该三角形的周长是（　　） A．6 B．6或8 C．7或8 D．8 【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可． 【解答】解：x2﹣4x+3＝0， （x﹣）（x﹣1）＝0， 解得x1＝3，x2＝1， ①三角形的三边为2，3，3，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+3+3＝8； ②三角形的三边为2，3，1， ∵1+2＝3， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 7．（3分）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 【分析】根据题意可得A（0，2），B（2，6），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6．将A（0，2）代入，求出a的值，即可解答． 【解答】解：∵OA＝2m，BD＝6m，OD＝2m， ∴A（0，2），B（2，6）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6． 将A（0，2）代入，得4a+6＝2， 解得a＝﹣1． ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+6． 令y＝0，则﹣（x﹣2）2+6＝0． 解得，（不合题意，舍去）． ∴OC的长为． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 8．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】判断抛物线上点的纵坐标大小，核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据点到对称轴的水平距离判断． 【解答】解：已知抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m， 二次项系数﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴处取最大值， 点到对称轴距离越近，y值越大，二次函数对称轴公式x， 其中a＝﹣3，b＝12，对称轴为直线x＝2， 各个点到对称轴的距离： 点A：|﹣1﹣2|＝3， 点B：|4﹣2|＝2， 点C：|6﹣2|＝4， 又开口向下，距离越小，y越大， ∵2＜3＜4， 故y2＞y1＞y3， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（2，﹣5），图象与x轴负半轴交于点A（m，n），﹣3＜m＜﹣2，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．3＜x＜4 B．4＜x＜5 C．5＜x＜6 D．6＜x＜7 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴直线x＝2，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（2，﹣5）， ∴对称轴为直线x＝2， 而图象与x轴负半轴交于点A（m，n），﹣3＜m＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是6＜x＜7． 故选：D． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴是直线x＝﹣1.5，且图象经过点（1，﹣2），下列说法正确的是（　　） A．a＞0 B．c＜0 C．当x＜﹣1时，y的值随x值的增大而增大 D．x＝﹣4是方程ax2+bx+c+2＝0的一个根 【分析】根据开口方向、与y轴交点、对称轴及抛物线对称性，逐一判断A、B、C选项，由方程等价于y＝﹣2，利用对称性得x＝﹣4是根，判断D选项． 【解答】解：A．∵二次函数图象开口向下， ∴a＜0，故选项错误，不符合题意； B．∵图象与y轴的交点在正半轴， ∴当x＝0时，y＝c＞0，故选项错误，不符合题意； C．∵对称轴为直线x＝﹣1.5，且开口向下， ∴当x＜﹣1.5时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1.5时，y随x的增大而减小， x＜﹣1，此范围包含对称轴左侧和右侧部分区域， ∴y随x增大而增大不成立，故选项错误，不符合题意； D．方程ax2+bx+c+2＝0， ax2+bx+c＝﹣2， 即求二次函数图象上函数值为﹣2时对应的x值． ∵对称轴为x＝﹣1.5，且图象经过点（1，﹣2）； ∴点（1，﹣2）关于对称轴x＝﹣1.5的对称点横坐标为：x ＝﹣1.5﹣[1﹣（﹣1.5）]＝﹣4， 即点（﹣4，﹣2）也在二次函数图象上； 当x＝﹣4时，ax2+bx+c＝﹣2，成立，x＝﹣4是方程的一个根，选项正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣3＝0的一个根是1，则m的值为　2　 ． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣3＝0中得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（4分）某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为　　 ． 【分析】设有x名选手参加比赛，每名选手与其他（x﹣1）名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以2避免重复计算，结合总场数为55即可列出方程． 【解答】解：根据题意可得． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是关键． 13．（4分）行驶中的汽车遇到紧急情况需急刹车时，行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝﹣5t2+20t，紧急刹车后由于惯性汽车要滑行 　20　 m才能停下来． 【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【解答】解：依题意：该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣2）2+20， 当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m． 故惯性汽车要滑行20米． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出紧急刹车后由于惯性汽车要滑行的最大距离即为y的最大值是解题的关键． 14．（4分）如图，在一块长方形草地上修建两条互相垂直且宽度相同的平行四边形通道，其中∠KHB＝60°，已知AB＝20米，BC＝30米，四块草地总面积为503m2，设GH为x米，则可列方程为 　20x+30xx2＝97　 ． 【分析】设GH为x米，根据矩形和平行四边形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：过H作HM⊥LG于M， ∵∠KHB＝60°，LG⊥MH， ∴∠HGM＝∠KHB＝60°， ∵∠HMG＝90°， ∴HMx， ∵长方形的面积＝20×30＝600（cm）2， ∴四块草地总面积为503m2， ∴通道的面积为：20x+30xx2＝97， 故答案为：20x+30xx2＝97． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（4分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 y＝﹣0.01x2+9　 ． 【分析】根据题意得到A、B、E的坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），将E的坐标代入解析式求出a的值，即可得到抛物线解析式． 【解答】解：∵拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点， ∴AO＝BO＝30m， ∴A的坐标为（30，0），B的坐标为（﹣30，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30）， ∵AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m， ∴OE＝AO﹣AE＝30﹣2＝28m， ∴E的坐标为（28，1.16）， ∴a（28+30）（28﹣30）＝1.16， 解得a＝﹣0.01， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.01（x+30）（x﹣30）＝﹣0.01x2+9， 故答案为：y＝﹣0.01x2+9． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与坐标轴交点，解答本题的关键是找准等量关系，列出函数关系式． 三．解答题（共6小题，满分70分） 16．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣5＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 【分析】（1）运用配方法进行解方程即可； （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， x2﹣2x+1＝6， （x﹣1）2＝6． ， ； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， （x﹣2）2＝3（x﹣2）， （x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣5＝0， x1＝2，x2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． 17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0． （1）若此方程的一个根为0，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）代入x＝0求出m值即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（m﹣2）2+4＞0，由此可证出：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：将x＝0代入原方程，得：0+0+m﹣2＝0， 解得：m＝2； （2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2+4． ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）代入x＝0求出m值；（2）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 18．（12分）3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即OA＝6米），最高点B距地面4.5米．如图所示，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带CE、DF的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【分析】（1）依据题意可得，抛物线的顶点为（﹣3，4.5），从而可设抛物线为y＝a（x+3）2+4.5，又抛物线过原点，故0＝a（0+3）2+4.5，求出a的值即可得解； （2）依据题意，由彩带CE、DF的高为2米，则结合（1），令y＝﹣0.5（x+3）2+4.5＝2，可得x＝﹣3或x＝﹣3，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意可得，抛物线的顶点为（﹣3，4.5）， ∴可设抛物线为y＝a（x+3）2+4.5． 又∵抛物线过原点， ∴0＝a（0+3）2+4.5． ∴a＝﹣0.5． ∴抛物线为y＝﹣0.5（x+3）2+4.5． （2）由题意，∵彩带CE、DF的高为2米， ∴结合（1），令y＝﹣0.5（x+3）2+4.5＝2． ∴x＝﹣3或x＝﹣3． ∴两条彩带之间的水平距离为：﹣3（﹣3）＝2（米）． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 19．（12分）法国巴黎奥运会期间，吉祥物“弗里热”风靡全球．某玩偶商店销售一批“弗里热”玩偶，每个进价40元，因考虑到成本问题，销售的单价不能低于45元，但物价部门规定获利不得高于40%．在试营销期间发现，销售单价定为45元时，每天可以销售350个，单价每上涨1元，每天销量减少10个． （1）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润可达到3000元？ （2）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）先设当销售单价定为a元时，每天的销售利润可达到3000元，然后根据题意和题目中的数据，可以列出（a﹣40）×[350﹣（a﹣45）×10]＝3000，再求解即可； （2）根据题意，可以得到利润和售价的函数关系式，再根据二次函数的性质和售价的取值范围，即可得到当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少． 【解答】解：（1）设当销售单价定为a元时，每天的销售利润可达到3000元， 由题意可得：（a﹣40）×[350﹣（a﹣45）×10]＝3000， 解得a1＝50，a2＝70， ∵物价部门规定获利不得高于40%． ∴售价不能高于40（1+40%）＝56（元）， ∴当销售单价定为50元时，每天的销售利润可达到3000元； （2）设销售单价定为x元，销售利润为w元， 由题意可得：w＝（x﹣40）×[350﹣（x﹣45）×10]＝﹣10（x﹣60）2+4000， 由（1）知：45≤x≤56， ∴当x＝56时，w取得最大值，此时w＝3840， 答：当销售单价定为56元时，每天的销售利润最大，最大利润是3840元． 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值． 20．（12分）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形（杯体厚度不计），点P是抛物线的顶点，杯底，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm．以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示1cm）． （1）求杯体CPD所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图（2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y＝kx+b，求k的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（DQ∥l），如图（3）． ①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【分析】（1）根据题意，得到P（0，6），D（3，15），设抛物线的解析式为y＝ax2+b，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+6＝x2﹣4x+10，再计算直线DE的解析式和直线DP的解析式，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设DQ与y轴的交点为M，计算OM的长即可得到坐标． ②设点N是抛物线上的一点，且N（n，n2+6），0≤n≤3；过点N作NG∥y轴，交DM于点G，过点G作GE⊥y轴于点E，确定，计算GN得最大值，且最大值为，过点N作NH⊥MD于点H，则， 故NH的最大值为． 【解答】解：（1）∵OP＝CD＝6cm，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm． ∴P（0，6），D（3，15）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+b， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+6． （2）∵抛物线的解析式为y＝x2+6， ∴平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+6＝x2﹣4x+10． ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，E（0，10），P（2，6）， ∴E（0，10）的对称点为F（4，10）， ∵（3，15）， ∴平移后D（5，15）， 设直线DE的解析式为y＝kx+10， ∴15＝5k+10， 解得k＝1； ∴y＝x+10； 设直线DF的解析式为y＝px+q， ∴， 解得； ∴y＝5x﹣10， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E， ∴1＜k＜5． （3）①根据题意，建立直角坐标系如下，设DQ与y轴的交点为M，直线l与y轴的交点为S， ∵CD＝6，杯子的高度（即CD，AB之间的距离）为15cm． ∴，OT＝15， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， ∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°， ∵DQ∥l， ∴∠TMD＝∠OSB＝30°， ∴， ∴， ∴． ②∵抛物线的解析式为y＝x2+6， 设点N是抛物线上的一点，且N（n，n2+6），0≤n≤3； 过点N作NG∥y轴，交DM于点G， ∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°， ∴∠ABS＝60°，∠OSB＝30°， ∵DQ∥l， ∴∠TMD＝∠OSB＝30°， 过点G作GE⊥y轴于点E， ∵NG∥y轴， ∴GE＝n，∠TMD＝∠MGN＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵a＝﹣1＜0，， ∴时，GN取得最大值，且最大值为， 过点N作NH⊥MD于点H， 则， 故NH的最大值为， 故液体的最大深度为． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 21．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4． （1）求该二次函数的解析式； （2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D． ①当m＝﹣1时，CD＝　4　 ； ②结合函数的图象，直接写出CD≥4时m的取值范围 m≥4或m≤﹣1　 ． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到抛物线解析式； （2）①先求出点C、D坐标，再计算线段CD长； ②将x＝m代入两个函数解析式，利用CD≥4建立不等式m2﹣3m﹣4≥0，解出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4， ∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4）， ∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0）， ∵二次函数的图象经过（3，0）点， ∴a（3﹣1）2﹣4＝0． 解得a＝1． ∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）①当m＝﹣1时， y＝（x﹣1）2﹣4＝0；y＝x﹣3＝﹣4， ∴C（﹣1，0），D（﹣1，﹣4）， ∴CD＝4． 故答案为：4． ②当x＝m时，直线解析式为y＝m﹣3，抛物线解析式为y＝（m﹣1）2﹣4＝m2﹣2m﹣3， m2﹣2m﹣3﹣m+3≥4， m2﹣3m﹣4≥0， （m﹣4）（m+1）≥0， 或， 解得：m≥4或m≤﹣1． 故答案为：m≥4或m≤﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/9 17:01:49；用户：轩；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $