广东省汕尾市城区2026-2027学年上学期九年级第一次月考数学模拟练习1

**基本信息** 本试卷聚焦九年级上册数学核心知识，以二次函数、一元二次方程为主体，融入ChatGPT参数（科学记数法）、亚运会吉祥物销售（二次函数应用）等时代情境，通过问题解决考查抽象能力、模型观念与推理意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义与图像、一元二次方程根的判别式|结合科技情境（如第2题ChatGPT参数），基础概念与性质辨析并重| |填空题|6/18|因式分解、根与系数关系、古代数学文化（赵爽几何解法）|融入文化传承（第15题），考查运算能力与数据意识| |解答题|7/52|方程解法、函数应用（利润问题）、几何与代数综合（纸盒制作、抛物线与三角形）|突出综合应用，如21题亚运会吉祥物销售（二次函数利润模型）、23题抛物线与等腰直角三角形存在性（推理能力）|

2026-2027广东省汕尾市城区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 2．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 4．（3分）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 5．（3分）将y＝x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2 6．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 7．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点，且当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，则m、n的关系式为（　　） A．m＝n2 B．m＝4n2 C．m D．m 8．（3分）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2或x＜8 C．x＜﹣2或x＞8 D．﹣2＜x＜8 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④am2+bm＞a﹣b（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）因式分解：3a2﹣18a+27＝　 　 ． 12．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　 ． 13．（3分）若实数m、n是方程x2+11x+1＝0的两个根，则（m2+n2）+11（m+n）+11＝ 　 　 ． 14．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是　 　 ．（写出一个即可） 15．（3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ． 16．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝ 　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 17．（10分）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 18．（10分）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点（0，﹣3），且当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小．设m是抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 19．（10分）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0． （1）判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值． 四．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 20．（9分）小卜家庵子村养鸡专业户李明2021年的纯收入是6万元，预计2023年的纯收入是7.26万元． （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形养鸡场ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． ①当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的养鸡场？ ②养鸡场的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21．（9分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果每天的利润不低于3000元，求销售单价x（元）的取值范围． 五．解答题（共2小题，满分12分） 22．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长36cm，宽20cm的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为420cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒、 ①剪去矩形的长为　 　 ； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为640cm2，请计算剪去的正方形的边长． 23．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点B（6，0），点C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2026-2027广东省汕尾市城区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝3x+1 B．y＝3x C．y＝3x2 D． 【分析】二次函数的基本表示形式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．二次函数最高次必须为二次． 【解答】解：A：最高次项为一次，不符合题意； B：最高次项为一次，不符合题意； C：满足二次函数的定义，符合题意； D：y不是整式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义．掌握相关定义即可． 2．（3分）ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：175000000000＝1.75×1011． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝10 B．（x﹣3）2＝8 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣1）2＝1 【分析】将x2﹣6x﹣1＝0变形即可得出答案． 【解答】解：移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， （x﹣3）2＝10， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4．（3分）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案． 【解答】解：∵2k﹣5＞0， ∴k， ∵x2+2x+k＝0， ∴Δ＝22﹣4k＝4（1﹣k）， ∵k， ∴1﹣k＜0， ∴Δ＜0， ∴该方程没有实数根， 故选：A． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 5．（3分）将y＝x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2 【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案． 【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x+1）2﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键． 6．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】判断抛物线上点的纵坐标大小，核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据点到对称轴的水平距离判断． 【解答】解：已知抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m， 二次项系数﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴处取最大值， 点到对称轴距离越近，y值越大，二次函数对称轴公式x， 其中a＝﹣3，b＝12，对称轴为直线x＝2， 各个点到对称轴的距离： 点A：|﹣1﹣2|＝3， 点B：|4﹣2|＝2， 点C：|6﹣2|＝4， 又开口向下，距离越小，y越大， ∵2＜3＜4， 故y2＞y1＞y3， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 7．（3分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点，且当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，则m、n的关系式为（　　） A．m＝n2 B．m＝4n2 C．m D．m 【分析】由“抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点“得出b2﹣4c＝0，即b2＝4c，其次，根据当x＝a和x＝a+n时函数值都为m，可得，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4c＝0，即b2＝4c， ∵当x＝a和x＝a+n时函数值都为m， ∴， ∴a， 把x＝a，y＝m代入y＝x2+bx+c得： m＝（）2+b×（）+cc， ∵b2＝4c， ∴mc， 故选：D． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键． 8．（3分）在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点，若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】先确定对称轴，对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，即抛物线在4≤x1≤2a+3上的函数值均小于，通过分析抛物线性质，从而解得a的范围，再求整数解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣6a2x（a＞0）上的两点， ∵y＝ax2﹣6a2x＝a（x﹣3a）2﹣9a3，开口向上， 对称轴为直线x3a， ∵x2＝5a， ∴， 根据对称性判断当x＝a时，y＝﹣5a3， ∴对于4≤x1≤2a+3，， 即， 解得1＜a＜4， ∵a为整数且a＞0， ∴a＝3或2， ∴若对于4≤x1≤2a+3，x2＝5a，都有y1＜y2，则符合条件的整数a共有2个． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（3分）已知二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2 B．x＞﹣2或x＜8 C．x＜﹣2或x＞8 D．﹣2＜x＜8 【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数与一次函数y2＝kx+m的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）， ∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组），两条直线相交或平行问题，数形结合是解题的关键． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（　　） ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＝0；④am2+bm＞a﹣b（m为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，由抛物线可得a＞0，c＜0，结合图象又对称轴为直线x1，且抛物线与x轴有两个交点，进而逐个判断可以得解． 【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0， 又∵对称轴为直线x1， ∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0， 即b2﹣4ac＞0，故②正确； ③由题意，∵（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0）， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c， ∴x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴am2+bm+c≥a﹣b+c， ∴am2+bm≥a﹣b，故④错误． 综上，正确的有①②③共3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，正确记忆相关内容是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）因式分解：3a2﹣18a+27＝　3（a﹣3）2 ． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：3a2﹣18a+27＝3（a2﹣6a+9）＝3（a﹣3）2． 故答案为：3（a﹣3）2． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 12．（3分）若关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，结合“关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程”，得到关于a的不等式，解之即可． 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+ax﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣1≠0， 解得：a≠1， 故答案为：a≠1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 13．（3分）若实数m、n是方程x2+11x+1＝0的两个根，则（m2+n2）+11（m+n）+11＝ 　9　 ． 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得m+n＝﹣11，mn＝1，再利用完全平方公式变形，整体代入进行运算即可． 【解答】解：∵m，n是方程x2+11x+1＝0的两个根， ∴m+n＝﹣11，mn＝1， ∴（m2+n2）+11（m+n）+11 ＝[（m+n）2﹣2mn]+11（m+n）+11 ＝[（﹣11）2﹣2]+11×（﹣11）+11 ＝119﹣121+11 ＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 14．（3分）已知二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的值可以是　3（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【分析】根据抛物线的对称性、增减性，进行解答即可． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣5+a）2+2的对称轴为直线x＝5﹣a，当x＞2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0，且5﹣a≤2， 解得a≥3， 故a的值可以为3（答案不唯一）， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题考查抛物线的对称性、增减性，掌握当a＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，是正确解答的关键． 15．（3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　5　 ． 【分析】设矩形的宽为x，长为x+a，根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则x1x2＝ 　﹣5　 ． 【分析】根据抛物线与x轴的交点是一元二次方程的根，解方程即可． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣4x﹣5＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝5， ∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是求一元二次方程的解． 三．解答题（共3小题，满分30分，每小题10分） 17．（10分）解方程：5x2﹣7x﹣6＝0． 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：原方程因式分解可得（x﹣2）（5x+3）＝0， ∴x﹣2＝0或5x+3＝0， 解得x1＝2，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 18．（10分）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点（0，﹣3），且当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小．设m是抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 【分析】（1）利用对称轴和点的坐标求解析式即可； （2）利用抛物线与x轴的交点方程，通过代数变形整体代入求值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点（0，﹣3），将该点坐标代入得：c＝﹣3， 又∵当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线x＝﹣3， ∴， 解得：b＝﹣18， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣3x2﹣18x﹣3； （2）设m是抛物线y＝﹣3x2+bx+c与x轴交点的横坐标， ∴﹣3m2﹣18m﹣3＝0， ∵m≠0， 整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．（10分）已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2+（k+3）x+2＝0． （1）判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根2倍，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得k的取值范围，再计算Δ可判断方程根的情况； （2）把x＝﹣2代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由条件可知k+1≠0， ∴k≠﹣1， 而Δ＝（k+3）2﹣4×2（k+1） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴当k＝1时，原方程有两个相等的实数根，当k≠1且k≠﹣1时，原方程有两个不相等的实数根． （2）由条件可知4（k+1）﹣2（k+3）+2＝0， 解得：k＝0， ∴方程为：x2+3x+2＝0， ∴（x+2）（x+1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝﹣1， ∴方程的另一个根为﹣1． （3）由条件可知[（k+1）x+2]（x+1）＝0， ∴（k+1）x+2＝0，x+1＝0， 解得：，x2＝﹣1， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：k＝0，经检验符合题意； 当时，解得：k＝3，经检验符合题意； 综上：k＝0或k＝3． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 四．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 20．（9分）小卜家庵子村养鸡专业户李明2021年的纯收入是6万元，预计2023年的纯收入是7.26万元． （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，如图，李明想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形养鸡场ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． ①当养鸡场的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的养鸡场？ ②养鸡场的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程6（1+x）2＝7.26，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，①根据长方形的面积公式列出方程即可求解；②列方程•a＝650，判断此方程无解可得结论． 【解答】解：（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：6（1+x）2＝7.26， 解得，x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）， 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为10%； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米， ①根据题意可得：•a＝640， 解得，x1＝40，x2＝32， 当BC＝40时，AB＝16； 当BC＝32时，AB＝20， 答：当养鸡场的长40米，宽16米或长32米，宽20米时，能围成一个面积为640的养鸡场； ②•a＝650， ∴（a﹣36）2＝﹣4， 此方程无实数解， ∴养鸡场的面积不能达到650m2． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 21．（9分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件． （1）求y与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果每天的利润不低于3000元，求销售单价x（元）的取值范围． 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润＝销售量×单件利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质判断出最大利润； （3）首先得出每月利润W与x之间的函数关系式，进而根据所获利润等于3000时对应x的值，根据增减性求出x的取值范围． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，将（40，300），（55，150）代入， 得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700； （2）设每周可获利润为W元， W＝y（x﹣30）， ＝（x﹣30）（﹣10x+700）， ＝﹣10x2+1000x﹣21000， ＝﹣10（x﹣50）2+4000， 又∵﹣10x+700≥220， ∴x≤48， ∵x＜50， ∴x≤48， ∵x＜50时，W随x的增大而增大， ∴当x＝48时，W取得最大值，最大值为﹣10×4+4000＝3960． 答：当销售单价为48元时，每天获取的利润最大，最大利润是3960元． （3）依题意得：W＝﹣10x2+1000x﹣21000＝3000， 即﹣10（x﹣50）2＝1000， 解得：x1＝40，x2＝60， ∵a＝﹣10＜0，x≤48， ∵当40≤x≤48时，每月利润不低于3000元． 【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数和一元二次方程等知识点的应用，能从实际问题中抽象出二次函数模型利用函数的增减性得出最值是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分12分） 22．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长36cm，宽20cm的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为420cm2，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒、 ①剪去矩形的长为　18cm ； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为640cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【分析】（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则折成的无盖纸盒的底面是长为（36﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，根据纸盒的底面积为420cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）①利用剪去矩形的长矩形硬纸片的长，即可求出结论； ②设剪去的正方形的边长为ycm，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为640cm2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm，则折成的无盖纸盒的底面是长为（36﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形， 根据题意得：（36﹣2x）（20﹣2x）＝420， 整理得：x2﹣28x+75＝0， 解得：x1＝3，x2＝25（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为3cm； （2）①根据题意得：剪去矩形的长为36＝18（cm）． 故答案为：18cm； ②设剪去的正方形的边长为ycm， 根据题意得：36×20﹣2y2﹣2×18y＝640， 整理得：y2+18y﹣40＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣20（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为2cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（12分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点B（6，0），点C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）作PM⊥OB于点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y＝﹣x+6，设P（t，t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB＝S△PAN+S△PBNPN•AGPN•BMPN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得； （3）若△PDE为等腰直角三角形，则PD＝PE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于a的方程，解之可得答案． 【解答】解：（1）把点B（6，0）、C（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+6，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为yx2+2x+6（x﹣6）（x+2）； （2）如图1，过点P作PM⊥OB于点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 设直线AB解析式为y＝kx+m， 将点A（0，6）、B（6，0）代入，得： ， 解得：， 则直线AB解析式为y＝﹣x+6， 设P（t，t2+2t+6）其中0＜t＜6， 则N（t，﹣t+6）， ∴PNt2+2t+6﹣（﹣t+6）t2+2t+6+t﹣6t2+3t， ∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN PN•AGPN•BM PN•（AG+BM） PN•OB （t2+3t）×6 t2+9t （t﹣3）2， ∴当t＝3时，P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值； 方法二：如图2，连接OP，作PH⊥x轴于点H，作PG⊥y轴于点G， 设P（t，t2+2t+6）其中0＜t＜6， 则PHt2+2t+6，PG＝t， S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO 6×t6×（t2+2t+6）6×6 t2+9t （t﹣3）2， ∴当t＝3时，即P位于（3，）时，△PAB的面积有最大值 （3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形，证明如下： 如图3， 若△PDE为等腰直角三角形， 则PD＝PE， 设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b， ∴PDa2+2a+6﹣（﹣a+6）a2+3a，， 则b＝4﹣a， ∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|， ∴a2+3a＝2|2﹣a|， 解得：a＝4或a＝5， 所以P（4，6）或P（5，35）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点 学科网（北京）股份有限公司 $