精品解析：北京市朝阳外国语学校2026-2027学年高三上学期8月月考数学试卷

2026-2027学年度高三8月月考 数学试卷 班级______________姓名______________成绩______________ 一、选择题（共50分） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形 中， ，设 ，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知中，假如，则的面积为（　　） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 成等差数列 C. D. 8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ） A. 414m B. C. D. 207m 10. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共30分） 11. 若钝角满足，则___________. 12. 锐角满足，则______________． 13. 已知正项等比数列满足，，则______________． 14. 已知满足的有序集合组的个数为8，则_____． 15. 已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题： ①若，则为锐角三角形； ②若，则为等腰三角形； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为等边三角形. 以上命题中，所有真命题的序号为_________________． 三、解答题（共70分） 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值． 18. 已知函数． （1）求在上的单调增区间； （2）设函数，从条件①②③中选出两个作为已知，使存在且唯一，求的解析式，并直接写出时，曲线与的交点个数． 条件①：； 条件②：，； 条件③：若，，则； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点: （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）已知函数在 上无零点，求的取值范围. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 21. 已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”. （1）试判断，是否为的“好集合”，并说明理由； （2）为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”； （3）若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高三8月月考 数学试卷 班级______________姓名______________成绩______________ 一、选择题（共50分） 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得：，，所以. 3. 在四边形 中， ，设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，在四边形 中， 因为 ，所以 ， 可得 ，所以 . 4. 已知中，假如，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 因为，所以， 所以． 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称的相位特征列方程，求解的最小值． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 6. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值可说明充分性不成立；根据不等式的性质可说明必要性成立，由此可得结论 【详解】取，，但不满足“”， 故“”不能推出“”，充分性不成立； 反之，若“”，记，则， 所以，，即，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. 成等差数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过和求出等差数列的首项与公差，得到通项和前项和公式，再逐一验证各选项，其中选项D利用放缩法结合裂项相消证明不等式成立. 【详解】由，依据等差数列前项和性质，得； 又，利用通项公式展开得，结合，联立得； 故； 选项A：，选项A错误； 选项B：，但，不构成等差数列，选项B错误； 选项C：，选项C错误； 选项D：，拆分前两项，对后续项放缩； 当时，，不等式成立； 当时，，不等式成立； 当时，前两项和；对的项用放缩，利用不等式，而， 因此，从到的和可以裂项为：， 合并放缩得，因为，所以， 综上，成立，选项D正确. 故选：D 8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：C. 9. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ） A. 414m B. C. D. 207m 【答案】A 【解析】 【分析】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 10. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共30分） 11. 若钝角满足，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】因为钝角满足，所以， 所以. 12. 锐角满足，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】因为是锐角，所以，因此，所以. 又因为， 所以， 于是 . 13. 已知正项等比数列满足，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 所以等比数列的公比为， ， ，得， 因为数列是正项等比数列， 所以由. 14. 已知满足的有序集合组的个数为8，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题设及韦恩图知，集合的组数即为共个元素的填法数有种，即可得. 【详解】由题意，作出韦恩图如如下， 集合的组数等同于共个元素的填法数． 每个元素必填在区域或区域内，都有2种情况，共种情况， 所以，解得． 故答案为：5 15. 已知，，是非零向量，，与的夹角为，的最小值为________.若，设为任意实数，的最小值为________． 【答案】 ①. 2； ②. .##0.5 【解析】 【分析】利用数量积公式以及，可得到的表达式，结合二次函数性质可得最小值；利用整理化简可得，由此得到向量终点的轨迹，从而可求的最小值. 【详解】由已知 ，且与的夹角为，得，又，故， 代入 ，得 ，所以 ，最小值为； 设，则，取中点，记，所以，， ，， 所以 ，所以， 即. 则点在以点为圆心，半径的圆上，的终点在与成的直线上，记， 因此的最小值为的最小值，过点作，与圆交于点,如图所示，此时最小， 最小值为． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出以下命题： ①若，则为锐角三角形； ②若，则为等腰三角形； ③若，则为等腰三角形； ④若，则为等边三角形. 以上命题中，所有真命题的序号为_________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①利用切弦关系及三角恒等变换、三角形内角性质可得，即可判断；②③④利用正弦边角关系、三角恒等变换得到三角形内角的关系，即可判断正误. 【详解】① ，而， 所以都为锐角，正确； ②由正弦边角关系：，则，， 所以或（），故为等腰或直角三角形，错误； ③由正弦边角关系：，， 所以，故为等腰三角形，正确； ④由，而，故， 且，故，则为等边三角形，正确. 故答案为：①③④ 三、解答题（共70分） 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出； （2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，， 又，所以，所以，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，又， 则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以， 所以． 18. 已知函数． （1）求在上的单调增区间； （2）设函数，从条件①②③中选出两个作为已知，使存在且唯一，求的解析式，并直接写出时，曲线与的交点个数． 条件①：； 条件②：，； 条件③：若，，则； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2）选②③，，交点个数为 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式和辅助角公式化简，求出，再结合正弦函数的性质可得； （2）分别根据三个条件求出和即可进行选取②③求出的解析式，再画出图象判断交点个数. 【小问1详解】 ， 当，有， 当或， 即或时单调递增， 故在上的单调增区间为，； 【小问2详解】 由①可知，为的周期，无法确定的值； 由②可知，函数的最大值为， 则且，即， 因，则； 由③可知，的最小正周期为，即，得； 故选②③可使存在且唯一，此时， 列表： 由图可知，时，曲线与的交点个数为． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点: （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）已知函数在 上无零点，求的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，无极大值点 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数导数与单调性，根据极值点的定义分析求解即可； （2）由函数在上单调递减转化为函数在上恒成立，然后构造新函数，利用函数导数与单调性求出最值分析即可； （3）利用函数导数与单调性，结合函数零点存在性，对进行分类讨论，即可求出答案. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为， 由， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点. 【小问2详解】 由 即，定义域为 若函数在上单调递减，则等价于在上恒成立， 又，所以问题等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以若函数在上单调递减，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意， 当时，有一个零点，不符合题意， 当时，，的最小值， 因为，所以，使得，不符合题意， 综上所述若函数在 上无零点，则的取值范围为：. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的焦距为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为的上焦点，点在上且位于第一象限，关于轴的对称点为． （ⅰ）若直线与轴、的交点分别为、，且，求； （ⅱ）直线、分别交于另一点、，求△面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦距与离心率建立方程组，先求出半焦距与长半轴，再通过椭圆中的关系求出短半轴，从而确定椭圆方程，是解析几何中由几何性质求标准方程的常规思路； （2）（i）通过设点的坐标，利用对称关系得到点，再写出直线的方程，分别求出与轴、直线的交点、，结合的条件列方程求解，体现了解析几何中“设点 - 求线 - 联立 - 列方程”的解题流程； （ii）通过联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点、的横坐标，结合三角形面积比的转化，将的面积用点的坐标表示，再利用基本不等式求最值，综合考查了直线与椭圆的位置关系和最值问题的处理方法． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，依题意得，解得， 所以，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）依题意设，则，其中，． 由，可得直线的方程为，令，得． 又直线的方程为，联立方程及，解得． 因为及，，，共线，所以， 所以，解得，所以． （ⅱ）联立直线与椭圆的方程得，消去，得． 因为在椭圆上，所以，所以． 由根与系数的关系得，解得．同理可得． 因为，所以． 又，所以． 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 综上，面积的最大值为． 21. 已知集合.对于集合的非空子集，如果存在两个元素，，满足，则称集合为集合的“好集合”. （1）试判断，是否为的“好集合”，并说明理由； （2）为的子集，且中元素均为偶数，证明：是的“好集合”； （3）若的任意含有个元素的子集都是的“好集合”，求的最小值. 【答案】（1） 由题设有， 对于，任意两个元素的差的绝对值的最大值为， 故不存在两个元素，，满足，故不是“好集合”. 对于，因为，而， 故存在元素，满足，故是“好集合”. （2） ，中所有的偶数为， 对于，不妨设， 则，故， 若，则为“好集合”. 若，则， 若，则，此时， 若，则；若，则， 若，则或， 若，则， 若，则；若，则， 若，则， 若，则，若，则， 若，则， 若，则；若，则， 综上，是的“好集合”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据好集合的定义判断即可； （2）先就、分类讨论，后者再就不同的取值分类讨论后可得是的“好集合”； （3）先由特例得，再利用反证法证明任意个元素的子集必定为 “好集合”，从而可得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 我们首先证明：， 取，此时中元素的差的绝对值的最大值为， 即此集合中没有相异元素差的绝对值大于，不合题设，故； 下证：当时，任意个元素的子集必定为 “好集合”. 假设存在一个个元素的子集，它不是好集合， 设该集合为，且， 由平移对称性，不妨设，则， 因为，故存在即非空， 取为集合中的最小元素， 若，则， 故中无元素， 此时中元素最多为：，这些元素共个， 而中元素个数恰为，故， 但，与假设矛盾，故 若，则， 故中无元素， 此时中元素最多为：，这些元素共个， 而中元素个数恰为，矛盾，故， 同理可证，这与非空矛盾， 故当时，任意个元素的子集必定为 “好集合”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $