第二十五章 一元二次方程单元复习题 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册一元二次方程单元复习卷，全面覆盖方程解法、根的判别式、韦达定理及实际应用，融合《九章算术》文化与电影票房等社会热点情境，适配单元复习巩固与数学眼光、思维、语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|配方法、根的判别式、增长率问题|结合《九章算术》门宽问题考查建模能力| |填空题|4|因式分解、韦达定理|基础运算与根与系数关系应用| |解答题|9|解方程、销售利润、台风动态问题、配方法探究|分层设计，从基础计算到台风路径动态建模，体现数学思维与应用意识|

人教版九年级数学上册第二十五章 一元二次方程单元复习题 一、单选题 1．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．36 B．9 C．1 D．0 2．用配方法解方程： 时，配方后正确的是(　　) A． B． C． D． 3．《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为；今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖直放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A． B．2 C． D．3 5．方程，则（　　） A． B． C． D． 6．某镇2023年投入教育经费3600万元，为了发展教育事业，若该镇每年教育经费的年平均增长率为x，现决定2025年投入6000万元，则下列方程正确的是（　　） A．3600x2=6000 B．3600(1+x)2=6000 C．3600(1+x)=6000 D．3600+3600(1+x)+3600(1+x)2=6000 7．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 9．方程 的较大根为（　　）。 A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．一元二次方程的根是　 　． 12．已知，是方程的两个根，则　 　． 13．一元二次方程(x—1)(x—3)=0的两个实数根分别为　 　. 14．已知一元二次方程的两个根为，，则的值为　 　 三、解答题 15．解下列方程： （1） （2） 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两根之和等于两根之积，求k的值． 17．江西南昌市某大型商场经市场调研发现：某品牌童装平均每周可售出60件，每件盈利80元．在每件降价幅度不超过25元的情况下，若每件童装每降价5元，则每周可多售出10件． （1）降价10元后，每件童装盈利是_____元，每周销售量是_____件； （2）要想每周销售这种童装盈利6000元，那么每件童装应降价多少元？ 18．某商场出售一种童装，经市场调查发现，日销售量y（件)与每件售价x（元)满足一次函数关系.已知每件售价为45元时，日销售量为55件；每件售价为65元时，日销售量为35件. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该童装日销售额能否等于2600元?若能，求出每件售价；若不能，请说明理由. 19．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 20．设关于x的一元二次方程．现有如下两组条件：①，；②，．请从这两组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． 21．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入， 已知2021年该市投入基础教育经费5000万元，2023年投入基础教育经费7200万元． （1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； （2）如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划第二年用不超过当年基础教育经费的购买电脑和实物投影仪共2000台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3000元，购买一台实物投影需1500元，则最多可购买电脑多少台？ 22． 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时否受到台风影响？ （2）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； （3）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ （4）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 23．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，有最小值． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）用配方法因式分解：　 　； （2）若，求的最小值； （3）已知，求的值． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵配方法的核心是将一元二次方程化为（）的形式， ∴解方程 的步骤如下： 移项：将常数项移到等号右边，得； 配方：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方（，），得； 整理：左边化为完全平方形式，得。 故答案为：D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题思路是按照“移项、配方、整理”的步骤将方程化为完全平方形式。首先明确配方法的关键是“在方程两边加一次项系数一半的平方”，先通过移项将常数项与含未知数的项分离，再进行配方操作，最后整理得到完全平方形式，对比选项得出答案。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，且门的对角线长为x尺， ∴门的宽为(x-4)尺，门的高为(x-2)尺， 根据题意得：x2-(x-2)2=(x-4)2. 故答案为：D. 【分析】由各边之间的关系，可得出门的宽为(x-4)尺，门的高为(x-2)尺，再利用勾股定理，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解. 4．【答案】D 【解析】【解答】∵的两个实根为和， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得，代入数据即可得答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：方程 中，，，． ∴． 故答案为：C． 【分析】此题中的方程是一元二次方程的一般形式，故直接找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后代入b2-4ac按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 每年教育经费的年平均增长率为x，根据题意可得： 3600(1+x)2=6000 故答案为：B. 【分析】由于每年教育经费的年平均增长率为x，从2023年到2025年增长了两次，故到2025年时教育经费可表示为： 3600(1+x)2，再结合题意列方程即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故答案为：D. 【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，据此得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根， 且 解得： 且 故答案为：D. 【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义即可求解. 9．【答案】B 【解析】【解答】解： 故较大根为 故答案为：B. 【分析】提取公因式因式分解解方程，求出x的值比较解答即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根是， ， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是． 故选：C． 【分析】 利用一元二次方程的解，可得出，同时除以，得到，即可得到方程的另一根． 11．【答案】， 【解析】【解答】解：， ， ， 所以该方程的解为：，． 故答案为：，． 【分析】根据平方差公式进行因式分解，再解方程即可求出答案. 12．【答案】 13．【答案】x1＝1，x2＝3 【解析】【解答】解： (x-1)(x-3)=0， 则x-1=0或x-3=0， 所以 x1＝1，x2＝3 故答案为： x1＝1，x2＝3. 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可. 14．【答案】-4 【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2+4x+1=0两根为x1，x2 ∴根据韦达定理，， 故答案为：-4． 【分析】先根据一元二次方程韦达定理求出，，再对代数式通分变形为，最后代入求得-4． 15．【答案】（1）解：∵a=1，b=-1，c=-3，b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13， ∴x=， ∴x1=，x2= （2）解：∵a=2，b=-6，c=1， b2-4ac=36-4×2×1=28， ∴x==， ∴x1=，x2= 【解析】【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可. （2）利用公式法解一元二次方程即可. 16．【答案】（1） （2） 17．【答案】（1）70；80 （2）当每件童装应降价20元时，每周销售这种童装盈利6000元． 18．【答案】（1）解：∵日销售量y(件)与每件售价x(元)满足一次函数关系， ∴设y= kx+b(k≠0). 将(45，55)，(65，35)代入y= kx+b， 得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=-x+100. （2）解：由题意得，x(-x+100)=2600， 整理得 ∴原方程没有实数根， ∴ 日销售额不能等于2 600元. 【解析】【分析】本题以童装销售为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式及一元二次方程根的判别式在销售问题中的应用。 （1）设 y = kx + b，代入两组对应值求出 k、b，得到函数关系式； （2）根据日销售额＝售价×销售量列方程，利用判别式判断方程是否有实数根，从而确定销售额能否达到2600元。 19．【答案】解：∵x=3是的一个根， ∴， ∴m=2， 设此方程的另一个根为a， 根据一元二次方程根与系数的关系可知：3a=-15， 解得：a=-5， 答：m的值为2，方程的另一个根为 【解析】【分析】先根据的一元二次方程有一个根是 ，将代入方程求得，设方程的另一个根为a，再利用根与系数的关系得出3a=-15，即可得出答案． 20．【答案】选条件①，， 21．【答案】（1） （2）880台 22．【答案】（1）解：∵CB=500km，AB=300km， ∴(km)， 如图， 设经过10小时，轮船到达点C'，且航行了30×10=300(km)，台风中心到达B'，且BB'=10×10=100 (km)， ∴AC'=400-300=100 (km)，AB'=300-100=200 (km)， ∴(km)， ∵， ∴轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响 （2）解：如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 理由如下： 如图， 设经过t小时进行台风区域，则AB'=300-10t，AC'=400-30t， 当B'C'=200时，将受到台风影响， 根据勾股定理可得：(300-10t)2+(400-30t)2=2002， 整理得到：t2-30t+210=0， 解得， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区. （3）解：由(1)可知经过h就会进入台风影响区； （4）解：由(1)可知受到台风影响的时间为 【解析】【分析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解； (2)如图易知AB'=300-10t，AC'=400-30t，当B'C'=200时，将受到台风影响，根据勾股定里可得：(300-10t)2+4(400-30t)2=2002，整理得到：t2-30t+210=0，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； (3)利用(2)中结论即可解决问题； (4)利用(2)中的数据可解决问题. 23．【答案】（1） （2）解： ∵， ∴当时，有最小值 （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值为． 【解析】【解答】（1）解： ， 故答案为：； 【分析】（1）参照题干中的定义并利用分组分解因式进行计算即可； （2）利用配方法将原式变形为，再求解即可； （3）先将原式变形为，再利用非负数之和为0的性质求出，，，最后求解即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $