第25章 一元二次方程 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上学期数学《一元二次方程》单元测试卷（人教版），120分钟120分，覆盖定义、解法、根的判别式与应用，层次分明，适配单元复习，体现数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、解法（配方法等）、根的判别式|基础题（1-7题）巩固概念，提升题（8-10题）结合根与系数关系及新定义运算，培养抽象能力| |填空题|6/18|一般形式转化、求解、判别式计算、应用题建模|基础题（11-14题）强化基础，挑战题（16题）含参数根的应用，发展推理意识| |解答题|8/72|多种解法应用、方程根的证明、实际问题（流感传染、利润增长等）|中档题（19-22题）结合生活情境（如21题利润增长）体现模型意识，压轴题（23-24题）综合根与系数关系及利润计算，提升创新意识|

2026-2027学年九年级上学期数学《一元二次方程》单元测试卷（人教版） （教师版·含参考答案与解析） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级：________ 姓名：________ 座号：________ 得分：________ 注意事项： 1. 本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，共24题，满分120分。 2. 答题前，请将姓名、班级、座号填写在试卷规定的位置。 3. 请在各题下方的留白处作答，字迹工整，卷面整洁。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 【基础题】（第1-7题，每题3分，共21分） 1. (3分) 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x² + 2x + y = 1 B. x² + 1/x = 2 C. x² + 2x = (x+1)(x-1) D. 3x² - 2x = 5 【答案】D 【解析】一元二次方程必须满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程。A含两个未知数；B不是整式方程（分母含未知数）；C化简后x²消去，是一元一次方程；D满足一元二次方程的定义。 2. (3分) 一元二次方程 2x² - 3x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，3，1 B. 2，-3，1 C. -2，3，-1 D. 2，-3，-1 【答案】B 【解析】一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。方程2x²-3x+1=0中，a=2，b=-3，c=1。 3. (3分) 方程 x² = 16 的解是（ ） A. x = 4 B. x = -4 C. x1 = 4，x2 = -4 D. x1 = x2 = 4 【答案】C 【解析】直接开平方法：x²=16，则x=±4，即x1=4，x2=-4。注意一元二次方程一般有两个解，不要漏掉负根。 4. (3分) 用配方法解方程 x² - 4x - 1 = 0，配方正确的是（ ） A. (x-2)² = 5 B. (x-2)² = 3 C. (x+2)² = 5 D. (x-4)² = 17 【答案】A 【解析】配方法步骤：移项得x²-4x=1；两边加一次项系数一半的平方（(-4)/2)²=4），得x²-4x+4=1+4，即(x-2)²=5。 5. (3分) 用因式分解法解方程 x² - 3x - 10 = 0，下列分解正确的是（ ） A. (x-2)(x-5) = 0 B. (x+2)(x+5) = 0 C. (x-5)(x+2) = 0 D. (x-1)(x+10) = 0 【答案】C 【解析】十字相乘法：x²-3x-10中，常数项-10=(-5)×2，一次项系数-3=(-5)+2，所以分解为(x-5)(x+2)=0，解得x1=5，x2=-2。 6. (3分) 一元二次方程 x² - 2x + 3 = 0 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】判别式Δ=b²-4ac=(-2)²-4×1×3=4-12=-8<0，所以方程没有实数根。Δ>0有两个不等实根，Δ=0有两个相等实根，Δ<0无实根。 7. (3分) 若 x = 1 是方程 x² + mx - 3 = 0 的一个根，则 m 的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】B 【解析】把x=1代入方程：1+m-3=0，解得m=2。验证：m=2时方程为x²+2x-3=0，因式分解为(x+3)(x-1)=0，根为1和-3，符合题意。 【提升题】（第8-10题，每题3分，共9分） 8. (3分) 已知x1，x2是方程 x² - 4x - 5 = 0 的两个根，则 x1 + x2 的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 【答案】A 【解析】根与系数的关系：对于ax²+bx+c=0，两根之和x1+x2=-b/a。方程x²-4x-5=0中，a=1，b=-4，所以x1+x2=-(-4)/1=4。 9. (3分) 若关于x的一元二次方程 (k-1)x² + 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k > 0 B. k > 0 且 k ≠ 1 C. k < 0 D. k ≥ 0 且 k ≠ 1 【答案】B 【解析】方程有两个不相等的实数根，需满足：①二次项系数不为0，即k-1≠0，k≠1；②判别式Δ>0，Δ=2²-4(k-1)×(-1)=4+4k-4=4k>0，解得k>0。综上，k>0且k≠1。 10. (3分) 定义运算"*"：a*b = a² - ab。例如 3*2 = 3² - 3×2 = 3。则方程 x*3 = 0 的解是（ ） A. x = 0 B. x = 3 C. x1 = 0，x2 = 3 D. x1 = 0，x2 = -3 【答案】C 【解析】根据新定义：x*3=x²-3x=0，因式分解得x(x-3)=0，所以x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【基础题】（第11-14题，每题3分，共12分） 11. (3分) 把方程 (x+1)(x-2) = 4 化为一般形式为________。 【答案】x² - x - 6 = 0 【解析】展开左边：(x+1)(x-2)=x²-2x+x-2=x²-x-2。方程变为x²-x-2=4，移项得x²-x-6=0。一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a≠0）。 12. (3分) 方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根是________。 【答案】x1 = 3，x2 = 4 【解析】因式分解法：x²-7x+12=(x-3)(x-4)=0，所以x-3=0或x-4=0，解得x1=3，x2=4。验证：3+4=7，3×4=12，符合根与系数的关系。 13. (3分) 用公式法解方程 x² - 3x - 4 = 0 时，判别式Δ = ________。 【答案】25 【解析】判别式Δ=b²-4ac。方程x²-3x-4=0中，a=1，b=-3，c=-4，所以Δ=(-3)²-4×1×(-4)=9+16=25。Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 14. (3分) 已知x1，x2是方程 x² + 5x + 6 = 0 的两个根，则 x1·x2 = ________。 【答案】6 【解析】根与系数的关系：对于ax²+bx+c=0，两根之积x1·x2=c/a。方程x²+5x+6=0中，a=1，c=6，所以x1·x2=6/1=6。也可直接解方程：(x+2)(x+3)=0，x1=-2，x2=-3，乘积=(-2)×(-3)=6。 【提升题】（第15题，每题3分，共3分） 15. (3分) 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于个位数字的平方。设个位数字为x，则可列方程为________。 【答案】10(x-3) + x = x² 【解析】设个位数字为x，则十位数字为x-3。这个两位数为10(x-3)+x。根据题意：两位数=个位数字的平方，即10(x-3)+x=x²。化简得10x-30+x=x²，即x²-11x+30=0。 【挑战题】（第16题，每题3分，共3分） 16. (3分) 已知关于x的方程 x² - (k+1)x + k = 0 有一个根为2，则k = ________，另一个根为________。 【答案】k = 2；另一个根为1 【解析】把x=2代入方程：4-2(k+1)+k=0，即4-2k-2+k=0，2-k=0，解得k=2。原方程变为x²-3x+2=0，因式分解为(x-1)(x-2)=0，所以另一个根为x=1。也可用根与系数的关系：两根之积=c/a=k=2，已知一根为2，则另一根为2÷2=1。 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 【基础题】（第17-18题，每题6分，共12分） 17. (6分) 解下列方程： (1) x² - 3x = 0（用因式分解法） (2) x² - 6x + 5 = 0（用配方法） 【答案】(1) x1 = 0，x2 = 3； (2) x1 = 5，x2 = 1。 【解析】(1) 因式分解法：x²-3x=x(x-3)=0，所以x=0或x-3=0，解得x1=0，x2=3。 (2) 配方法：移项得x²-6x=-5；两边加一次项系数一半的平方（(-6)/2)²=9），得x²-6x+9=-5+9，即(x-3)²=4；开方得x-3=±2；所以x1=3+2=5，x2=3-2=1。 18. (6分) 用公式法解方程：2x² - 5x + 2 = 0。 【答案】x1 = 2，x2 = 0.5。 【解析】公式法：对于ax²+bx+c=0，x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。方程2x²-5x+2=0中，a=2，b=-5，c=2。判别式Δ=(-5)²-4×2×2=25-16=9>0。x=(5±√9)/(2×2)=(5±3)/4。所以x1=(5+3)/4=8/4=2，x2=(5-3)/4=2/4=0.5。 【中档题】（第19-20题，每题8分；第21-22题，每题10分，共36分） 19. (8分) 已知关于x的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。 (1) 求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2) 若方程的两个根分别为x1，x2，且满足 x1 + x2 = 5，求m的值。 【答案】(1) 证明见解析； (2) m = 3。 【解析】(1) 判别式Δ=[-(m+2)]²-4×1×2m=m²+4m+4-8m=m²-4m+4=(m-2)²。因为(m-2)²≥0恒成立，即Δ≥0，所以无论m取何值，方程总有实数根。 (2) 由根与系数的关系，x1+x2=-b/a=(m+2)/1=m+2。已知x1+x2=5，所以m+2=5，解得m=3。验证：m=3时方程为x²-5x+6=0，两根之和=5，符合题意。 20. (8分) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。 (1) 求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2) 如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1) 每轮传染中平均一个人传染7个人； (2) 第三轮将又有448人被传染。 【解析】(1) 设每轮传染中平均一个人传染x个人。第一轮后有1+x人患病；第二轮后有(1+x)+x(1+x)=(1+x)²人患病。根据题意：(1+x)²=64，解得1+x=8（舍去负根1+x=-8），所以x=7。 (2) 第二轮后共有64人患病，第三轮新传染人数=64×7=448人。 21. (10分) 某商店2024年的利润为100万元，2026年的利润为121万元。设该商店利润的年平均增长率为x。 (1) 列方程并求年平均增长率x； (2) 按此增长率，预计2027年的利润为多少万元？ (3) 若该商店计划从2024年到2027年这四年的利润总和达到500万元，在年平均增长率不变的情况下，能否完成目标？请说明理由。 【答案】(1) 100(1+x)² = 121，x = 10%； (2) 预计2027年的利润为133.1万元； (3) 不能完成目标，理由见解析。 【解析】(1) 根据题意：2024年利润100万元，经过两年增长到2026年的121万元，列方程100(1+x)²=121。两边除以100得(1+x)²=1.21，开方得1+x=1.1（舍去负根），所以x=0.1=10%。 (2) 2027年的利润=121×(1+10%)=121×1.1=133.1万元。 (3) 四年利润总和=2024年+2025年+2026年+2027年=100+100×1.1+121+133.1=100+110+121+133.1=464.1万元。因为464.1<500，所以不能完成目标。 22. (10分) 如图，用20m长的篱笆一面靠墙（墙长为10m）围成一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为x m。 (1) 用含x的代数式表示平行于墙的一边长； (2) 若矩形花圃的面积为48m²，求x的值； (3) 矩形花圃的面积能否达到52m²？请说明理由。 【答案】(1) 平行于墙的一边长为(20-2x) m； (2) x = 6； (3) 不能达到，理由见解析。 【解析】(1) 篱笆只围三边（两个垂直边和一个平行边），两个垂直边各长x m，所以平行于墙的一边长=20-2x (m)。 (2) 矩形面积=长×宽=x(20-2x)=48。整理得2x²-20x+48=0，两边除以2得x²-10x+24=0，因式分解为(x-4)(x-6)=0，解得x1=4，x2=6。当x=4时，平行边长=20-8=12m>10m（超过墙长），舍去；当x=6时，平行边长=20-12=8m<10m，符合题意。所以x=6。 (3) 假设面积能达到52m²，则x(20-2x)=52，整理得2x²-20x+52=0，即x²-10x+26=0。判别式Δ=(-10)²-4×1×26=100-104=-4<0，此方程无实数根，所以矩形花圃的面积不能达到52m²。 【压轴题】（第23-24题，每题12分，共24分） 23. (12分) 已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 (1) 求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两个根分别为x1，x2，且满足 x1² + x2² = 25，求k的值； (3) 在(2)的条件下，求以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）。 【答案】(1) 证明见解析； (2) k = 3 或 k = -4； (3) x² - 7x + 12 = 0 或 x² + 7x + 12 = 0。 【解析】(1) 判别式Δ=[-(2k+1)]²-4×1×(k²+k)=4k²+4k+1-4k²-4k=1>0。因为Δ=1>0恒成立，所以无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 由根与系数的关系：x1+x2=2k+1，x1·x2=k²+k。x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(2k+1)²-2(k²+k)=4k²+4k+1-2k²-2k=2k²+2k+1。根据题意：2k²+2k+1=25，整理得2k²+2k-24=0，即k²+k-12=0，因式分解为(k+4)(k-3)=0，解得k1=3，k2=-4。 (3) 当k=3时，x1+x2=2×3+1=7，x1·x2=9+3=12，所以以x1，x2为根的一元二次方程为x²-7x+12=0。当k=-4时，x1+x2=2×(-4)+1=-7，x1·x2=16-4=12，所以方程为x²+7x+12=0。 24. (12分) 某商场销售一批商品，每件进价为30元，销售单价为40元时，每天可售出200件。市场调查发现：若每件销售单价每提高1元，每天的销售量就减少10件。设每件销售单价提高x元。 (1) 用含x的代数式表示：每件商品的利润为________元，每天的销售量为________件； (2) 若商场每天要获得2240元的利润，求x的值； (3) 若商场每天要获得2160元的利润，求x的值。 【答案】(1) (10+x)；(200-10x)； (2) x = 4 或 x = 6； (3) x = 2 或 x = 8。 【解析】(1) 每件利润=销售单价-进价=(40+x)-30=10+x (元)；每天销售量=200-10x (件)。 (2) 每天总利润=每件利润×销售量=(10+x)(200-10x)=2240。展开：2000-100x+200x-10x²=2240，整理得-10x²+100x-240=0，两边除以-10得x²-10x+24=0，因式分解为(x-4)(x-6)=0，解得x1=4，x2=6。 (3) 根据题意：(10+x)(200-10x)=2160。展开：2000+100x-10x²=2160，整理得-10x²+100x-160=0，两边除以-10得x²-10x+16=0，因式分解为(x-2)(x-8)=0，解得x1=2，x2=8。 命题说明 本试卷为九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷，依据人教版2024新版教材编写。 试卷共24题，满分120分，考试时间120分钟。 难度分布：基础题约占40%，提升题约占40%，压轴题约占20%。 试卷采用分层设计，选择题分基础/提升/挑战，填空题分基础/提升，解答题分基础/中档/压轴，体现由易到难的层次性。 知识点覆盖：一元二次方程的定义与一般形式、直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、判别式、根与系数的关系、实际问题与一元二次方程（传播问题、增长率问题、面积问题、利润问题）等，全面覆盖本章核心知识点。 双向细目表 题号 题型 知识点 难度 分值 1 选择 一元二次方程的定义 基础 3 2 选择 一元二次方程的一般形式 基础 3 3 选择 直接开平方法 基础 3 4 选择 配方法 基础 3 5 选择 因式分解法 基础 3 6 选择 判别式与根的情况 基础 3 7 选择 方程的根 基础 3 8 选择 根与系数的关系（两根之和） 提升 3 9 选择 含参数的一元二次方程 提升 3 10 选择 新定义运算 提升 3 11 填空 化为一般形式 基础 3 12 填空 因式分解法解方程 基础 3 13 填空 判别式计算 基础 3 14 填空 根与系数的关系（两根之积） 基础 3 15 填空 数字问题列方程 基础 3 16 填空 已知一根求参数和另一根 挑战 3 17 解答 解方程（因式分解法+配方法） 基础 6 18 解答 公式法解方程 基础 6 19 解答 判别式证明+根与系数关系 中档 8 20 解答 传播问题 中档 8 21 解答 增长率问题 中档 10 22 解答 几何面积问题 中档 10 23 解答 根与系数的关系综合 压轴 12 24 解答 利润问题 压轴 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学《一元二次方程》单元测试卷（人教版） （学生版） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级：________ 姓名：________ 座号：________ 得分：________ 注意事项： 1. 本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，共24题，满分120分。 2. 答题前，请将姓名、班级、座号填写在试卷规定的位置。 3. 请在各题下方的留白处作答，字迹工整，卷面整洁。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 【基础题】（第1-7题，每题3分，共21分） 1. (3分) 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. x² + 2x + y = 1 B. x² + 1/x = 2 C. x² + 2x = (x+1)(x-1) D. 3x² - 2x = 5 2. (3分) 一元二次方程 2x² - 3x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，3，1 B. 2，-3，1 C. -2，3，-1 D. 2，-3，-1 3. (3分) 方程 x² = 16 的解是（ ） A. x = 4 B. x = -4 C. x1 = 4，x2 = -4 D. x1 = x2 = 4 4. (3分) 用配方法解方程 x² - 4x - 1 = 0，配方正确的是（ ） A. (x-2)² = 5 B. (x-2)² = 3 C. (x+2)² = 5 D. (x-4)² = 17 5. (3分) 用因式分解法解方程 x² - 3x - 10 = 0，下列分解正确的是（ ） A. (x-2)(x-5) = 0 B. (x+2)(x+5) = 0 C. (x-5)(x+2) = 0 D. (x-1)(x+10) = 0 6. (3分) 一元二次方程 x² - 2x + 3 = 0 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. (3分) 若 x = 1 是方程 x² + mx - 3 = 0 的一个根，则 m 的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【提升题】（第8-10题，每题3分，共9分） 8. (3分) 已知x1，x2是方程 x² - 4x - 5 = 0 的两个根，则 x1 + x2 的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 9. (3分) 若关于x的一元二次方程 (k-1)x² + 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k > 0 B. k > 0 且 k ≠ 1 C. k < 0 D. k ≥ 0 且 k ≠ 1 10. (3分) 定义运算"*"：a*b = a² - ab。例如 3*2 = 3² - 3×2 = 3。则方程 x*3 = 0 的解是（ ） A. x = 0 B. x = 3 C. x1 = 0，x2 = 3 D. x1 = 0，x2 = -3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【基础题】（第11-14题，每题3分，共12分） 11. (3分) 把方程 (x+1)(x-2) = 4 化为一般形式为________。 12. (3分) 方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根是________。 13. (3分) 用公式法解方程 x² - 3x - 4 = 0 时，判别式Δ = ________。 14. (3分) 已知x1，x2是方程 x² + 5x + 6 = 0 的两个根，则 x1·x2 = ________。 【提升题】（第15题，每题3分，共3分） 15. (3分) 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于个位数字的平方。设个位数字为x，则可列方程为________。 【挑战题】（第16题，每题3分，共3分） 16. (3分) 已知关于x的方程 x² - (k+1)x + k = 0 有一个根为2，则k = ________，另一个根为________。 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 【基础题】（第17-18题，每题6分，共12分） 17. (6分) 解下列方程： (1) x² - 3x = 0（用因式分解法） (2) x² - 6x + 5 = 0（用配方法） 18. (6分) 用公式法解方程：2x² - 5x + 2 = 0。 【中档题】（第19-20题，每题8分；第21-22题，每题10分，共36分） 19. (8分) 已知关于x的一元二次方程 x² - (m+2)x + 2m = 0。 (1) 求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2) 若方程的两个根分别为x1，x2，且满足 x1 + x2 = 5，求m的值。 20. (8分) 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感。 (1) 求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2) 如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 21. (10分) 某商店2024年的利润为100万元，2026年的利润为121万元。设该商店利润的年平均增长率为x。 (1) 列方程并求年平均增长率x； (2) 按此增长率，预计2027年的利润为多少万元？ (3) 若该商店计划从2024年到2027年这四年的利润总和达到500万元，在年平均增长率不变的情况下，能否完成目标？请说明理由。 22. (10分) 如图，用20m长的篱笆一面靠墙（墙长为10m）围成一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为x m。 (1) 用含x的代数式表示平行于墙的一边长； (2) 若矩形花圃的面积为48m²，求x的值； (3) 矩形花圃的面积能否达到52m²？请说明理由。 【压轴题】（第23-24题，每题12分，共24分） 23. (12分) 已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 (1) 求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两个根分别为x1，x2，且满足 x1² + x2² = 25，求k的值； (3) 在(2)的条件下，求以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）。 24. (12分) 某商场销售一批商品，每件进价为30元，销售单价为40元时，每天可售出200件。市场调查发现：若每件销售单价每提高1元，每天的销售量就减少10件。设每件销售单价提高x元。 (1) 用含x的代数式表示：每件商品的利润为________元，每天的销售量为________件； (2) 若商场每天要获得2240元的利润，求x的值； (3) 若商场每天要获得2160元的利润，求x的值。 学科网（北京）股份有限公司 $