四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周考4

**基本信息** 泸县一中高三数学周考卷聚焦三角函数、数列、导数等核心知识，通过工厂废气过滤（第4题）、函数“拐点”新定义（第9题）等设计，考查数学思维与应用能力，适配高三基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|三角函数定义、等比数列、导数几何意义|第4题以工厂废气过滤为情境，考查指数函数模型应用，体现数学语言表达现实世界| |多选题|3|函数零点、导数极值、新定义“拐点”|第9题结合三次函数“拐点”新定义，考查逻辑推理与创新思维，匹配高考新题型趋势| |填空题|4|三角函数值、向量模、复数运算、导数极值点|第13题通过极值点反求参数，强化导数应用的逆向思维| |解答题|2|数列通项与求和、函数单调性及不等式有解|第15题讨论含参函数单调性并求解不等式有解问题，综合考查数学眼光与分类讨论能力|

泸县一中高2022级高三上期数学周考4 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知在等比数列中，为其前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（   ） A．4h B．6h C．8h D．12h 5．动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知函数当时，方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．若，则有且仅有两个零点 B．若，则0为的极值点 C．当为定值时，曲线在处的切线在轴上的截距为定值 D．若，当且仅当时，曲线上存在关于直线对称的两点 9．定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的对称中心为 B．若关于x的方程有三解，则 C．若在上有极小值，则 D．若在上的最大值、最小值分别为，则 三、填空题 10．已知角的终边经过点，则 ． 11．已知平面向量，满足，，且，则 . 姓名：__________ 班级：___________ 得分： 12．若复数满足，则 . 13．已知函数的极小值点为2，则的极大值点为 ． 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 四、解答题 14．已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 15．已知函数. (1)讨论在区间上的单调性； (2)若时，不等式有解，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【详解】因为，所以, 所以. 故选：B. 2．D 【详解】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以． 故选：D. 3．A 【详解】为等比数列，且，且，公比， ，，是公比为的等比数列， 即，，是公比为的等比数列． ，解得或（舍去）. 故选：A． 4．C 【详解】依题意得，当时，， 当时，，则， 可得，即，所以， 当时，解得， 故至少需要过滤8h才能达到排放标准． 故选：C. 5．C 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 6．D 【详解】当时，即则的周期为 画出函数的图像， 令则又因为则 由图可知方程 的根的个数即为两个函数图像交点的个数， 由图像可知，当时，存在一个零点，因为时， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，则在两函数存在一个零点， 当时，恒成立，则两函数无零点. 综上所述，两函数有三个零点. 故选：D. 7．AB 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 8．ACD 【详解】对于A：若， 有且仅有两个零点，故A正确； 对于B：若，当时没有极值点，故В错误； 对于C：，， 故切线方程为，在轴上的截距为，为定值，C正确； 对于D：曲线上存在关于直线对称的两点 即有非零的实根， 即， 化简得有非零的实根， 故有非零的实根， 故，得，由于每步都为充要条件，故D正确. 故选：ACD. 9．ABD 【详解】对于A，易知，，令，而， 由“拐点”定义可知的对称中心为，故A正确； 令，此时单调递减， 令或，此时单调递增， 则，即的极大值为3，极小值为， 所以关于x的方程有三解，即两函数有三个交点， 则，故B正确； 易知若在上有极小值，则，故C错误； 由上可知，若在上的最大值、最小值分别为， 则，最值在端点处取得，即， 根据函数的对称中心知，而， 所以关于对称中心对称，则，故D正确. 故选：ABD 10．5 【详解】由角的终边经过点可知：， 则. 故答案为：5. 11． 【详解】依题意，，而，，且， 则，所以. 故答案为： 12． 【详解】设，由，得， 即，因此，解得， 所以. 故答案为： 13．3 【详解】由题意，， 因为函数的极小值点为2， 所以， 即，解得， 则， 令，则或， 因为，函数的极小值点为2， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 从而，所以， 由，故， 所以的极大值点为. 故答案为：3. 14．(1) (2) 【详解】（1）因为数列的首项为1，且， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以 . 15．(1)答案见解析； (2) 【详解】（1）函数，求导得，由，得， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增. （2）依题意，不等式在时有解，即在时有解， 令，，求导得， 由，得；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得最大值，因此， 所以实数的取值范围是. 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $