四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周考3

**基本信息** 融合艾宾浩斯遗忘曲线情境与“好函数”新定义，通过导数应用、数列推理等题，考查数学思维与问题解决能力，适配高三周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、复数、向量夹角、函数图像、充分条件、数列、指数对数运算、导数应用|第7题结合遗忘曲线考查指数方程求解，体现数学眼光；第8题构造函数判断单调性，考查数学思维| |多选题|3题|二次不等式、函数性质与零点、方程实根|第10题通过导函数分析函数极值与零点，注重逻辑推理；第11题结合函数图像分析方程根关系，培养直观想象| |填空题|3题|数列求和、函数周期性、导数几何意义|第14题过定点切线问题，考查导数应用与分类讨论能力| |解答题|5题|函数单调性与极值、函数奇偶性与恒成立、数列证明与求和、导数综合应用、新定义证明|第19题定义“好函数”并证明，融合逻辑推理与创新应用；第18题导数恒成立问题，强化数学语言表达|

泸县一中高2022级高三上期数学周考3 一、单选题 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．在复数范围内，方程的根是（    ） A． B． C． D．无解 3．已知，且与垂直，则与的夹角为（     ） A．60° B．30° C．135° D．45° 4．函数的部分图象大致为（     ） A． B． C． D． 5．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 6．已知数列中，，则（     ） A． B． C． D． 7．遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（     ）（参考数据：，） A．80小时 B．90小时 C．100小时 D．120小时 8．定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若不等式的解集是，则（     ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 10．已知函数的导函数为，且，则（     ） A．点是曲线的对称中心 B．函数有三个零点 C．函数只有一个极值点 D．当时， 11．已知函数，若方程有4个不同实根，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知数列其前项和为，则 . 13．设定义在R上的函数满足，则= . 14．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最小值. 16．已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 17．设为数列的前n项和，满足. (1)求证：； (2)记，求. 18．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若对任意，都有，求的取值范围． 19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． (1)若是上的“好函数”，求的取值范围． (2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”． （ⅱ）设，证明：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D D B C B AB ACD 题号 11 答案 BCD 7．C 【详解】根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数， 得到，即，又， 所以，得到， 8．B 【详解】令，则，故单调递减， 即，得，解得：. 9．AB 【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确； 由题意可得是方程的两个根，所以， 得，，所以B正确； 因为是方程的根，所以，所以C不正确； 把代入不等式，可得， 因为，所以即可，所以D不正确. 10．ACD 【详解】选项A：因为是奇函数，图象关于点对称， 所以的图象关于点对称，A正确； 选项B：因为，由解得或，解得， 所以在区间单调递增，单调递减，单调递增， 且，，，所以有两个零点，B错误； 选项C：因为，所以在区间单调递减，单调递增， 即只有一个极值点，C正确； 设，， 由解得，解得， 所以在区间单调递减，单调递增， ，所以， 因为在区间单调递增，所以由， 得，D正确， 11．BCD 【详解】当时，即，当且仅当时取等号， 在上递增，在上递减， 当时，且在上递减，在上递增， 综上，可得图象如下， 当且仅当时方程有4个不同实根，A错误； 结合图象及题设知：，B正确； 由题得且， 所以，C正确； 是方程的两个根，即方程的两个根， 所以则， 由，得，所以，D正确. 12．5000 【详解】由题意. 13．3 【详解】由可得所以，所以的周期为6， 所以 14． 【详解】由得，设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得.令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 15．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值.；(2)2 【详解】（1）的定义域是， 依题意，，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为，而，， 可知，故函数在上的最小值为2. 16．(1)奇函数，证明见解析；(2). 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 17．(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）解：因为数列的前n项和，满足，当时，可得， 两式相减得，即，所以，令，可得，解得， 所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为. （2）解：由（1）知，可得，所以， 则. 18．(1)单调增区间为，无单调减区间；(2) 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 所以的单调增区间为，无单调减区间． （2）因为， 则，即， 设函数，可知在单调递增． 且， 则在恒成立．即，可得， 又因为，当且仅当时等号成立，可得，即． 所以的取值范围是． 19．(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题可知任意，且， 即，解得．因为，所以，即的取值范围为． （2）（ⅰ）证明：设，则． 令，且， 则，则在上单调递增， 所以，即，所以是上的“好函数”． （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当时，， 令，则， 即．故， 化简可得． 学科网（北京）股份有限公司 $