四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三上学期寒假假期数学作业1

**基本信息** 覆盖高中数学核心模块，融合放射性衰变、创业统计等真实情境，梯度设计适配寒假巩固与能力提升，注重抽象能力、推理意识与模型观念培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题|复数虚部、双曲线离心率、等比数列公比等|6题以放射性衰变考查指数函数应用，体现科技情境| |多选|3题|统计回归、三角函数图像、旋轮线参数方程|9题结合大学创业数据考查回归分析，培养数据意识| |填空|3题|向量垂直、球与正三棱柱、函数恒成立|13题通过球与棱柱相切考查空间几何，提升空间观念| |解答|6题|解三角形、数列证明、立体几何作图、椭圆轨迹、导数应用|18题椭圆轨迹与定点证明，综合考查逻辑推理；19题导数恒成立求整数最小值，体现创新应用|

高2022级2024年秋期寒假作业一 一、单选题 1．已知复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C． D． 4．函数是上的偶函数，且，若在上单调递减，则函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 5．圆与圆的公切线条数为（    ） A．2条 B．1条 C．3条 D．4条 6．放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（    ） A． B． C． D． 7．若函数在时取得极小值，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 8．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（    ） A．与正相关 B． C．当时，残差为 D．样本的相关系数为负数 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是奇函数 D．将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 11．“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成，旋轮线的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线也可看作某一个函数的图象，下列说法正确的有（    ） A．点在旋轮线上 B．函数是偶函数 C．函数不是周期函数 D．当时，函数在单调递减 三、填空题 12．已知向量，若，则 . 13．已知一个表面积为的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为 . 14．已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且. (1)求； (2)若△ABC中的外接圆半径为，周长为，且，求. 16．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 17．如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上. (1)在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程； (2)若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18．已知P为圆上的一个动点,，若线段的垂直平分线交于M，记M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过作斜率为1的直线l交曲线E于A，B两点，求的面积； (3)已知 ，若直线l与曲线E相交于，且，求证：直线l恒过定点. 19．已知函数. (1)求过点的图象的切线方程； (2)若函数存在两个极值点，，求的取值范围； (3)当时，均有恒成立，求整数的最小值. 高2022级2024年秋期寒假作业一 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D A A D A ABC ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由已知，则，即复数的虚部为，故选：C. 2．A 【详解】，，， 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为.故选：A 3．C 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，由，，为等差数列，则，即，所以，整理得，解得或（舍去）.故选：C. 4．D 【详解】根据题意，∵f（x+1）＝﹣f（x），∴f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），∴函数的周期是2； 又f（x）在定义域R上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数，∴函数f（x）在[0，1]上是增函数， ∴函数f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数， ∴f（x）在[3，5]上是先减后增的函数；故选D． 5．A 【详解】由是以为圆心，3为半径的圆．转换为，即该圆是以为圆心，4为半径的圆．因为圆心距，且，所以两圆相交，故公切线的条数为2，故选：A． 6．A 【详解】由题意可得，计算即可得解.即，即. 故选：A. 7．D 【详解】由函数，求导可得， 由题意可得，则，解得，所以，则，， 令，解得或2，可得下表： 1 2 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 则函数的极大值为.故选：D. 8．A 【详解】因为，，，所以，设，， 则，，，在中由正弦定理，即，所以， 在中由正弦定理，即，所以， 所以 （其中）， 所以，则， 即三角形的面积的最大值是.故选：A 9．ABC 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为，将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对；对于C选项，当时，，所以，当时，残差为，C对；对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错.故选：ABC. 10．ACD 【详解】由图像可得，，函数的最小正周期为，故， 则，又，即， 因为，则，所以，解得，所以. 对于A选项：， 所以直线为函数的一条对称轴，故A正确； 对于B选项：当时，， 所以函数在上不单调，故B不正确； 对于C选项：为奇函数，故C正确； 对于D选项：因为，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图像，故D正确.故选：ACD. 11．ABD 【详解】对于A，当时，，可得点满足旋轮线的方程，故选项A正确； 对于B，因 故当变为时，变为，此时的值不变， 即，故为偶函数，选项B正确； 对于C，因， 故当变为时，变为，此时的值不变，即，故函数是周期为的周期函数，故选项错误； 对于D，当时，，故函数单调递增， 当时，，当时，，而在时单调递减， 即当时，随着的增加在内增加，随着的增加而减小， 故在单调递减，选项D正确．故选：ABD 12．2 【详解】由，得，解得，故答案为：. 13． 【详解】设正三棱柱的底面棱长为，高为，内切球的半径为，依题意，解得，所以正三棱柱的高，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径为，由题意，所以，所以正三棱柱的体积.故答案为： 14． 【详解】不妨设，则不等式可化为， 所以，设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，设，则，设，则， 所以函数在上单调递增，又，， 所以存在，满足，即，所以， 设，则，所以在上单调递增，又， 所以，所以当时，，，函数在上单调递增，当时，，，函数在上单调递减， 所以，又，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：. 15．(1)；(2) 【详解】（1）因为， 故，所以. 因为，所以，又，所以. （2）由正弦定理可知，，， 因为，所以，所以. 所以.又，所以，所以，故. 16．(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，即，又，所以是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知，所以， 所以，。则， 上述两个等式作差可得， 故. 17．(1)作图见解析；(2). 【详解】（1）连接，有平面，所以. 在中. 同理，在中，有. 又因为，所以，， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 平面，所以平面平面. 过作垂直于点，因为平面平面，平面平面， 且平面，有平面. （2）依题意，，故为，的交点，且.所以，. 过作直线的平行线，则，，，两两垂直， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则：，，，，所以，，，. 设平面的法向量为，则取. 设平面的法向量为，则，取， 所以，            故所求锐二面角余弦值为. 18．(1);(2);(3)证明见解析 【详解】（1）将圆化为标准方程；   如图，因M为线段的垂直平分线上一点，故， 则有, 故曲线E是以为焦点的椭圆，所以，则；故曲线E的方程为. （2）由题意，如图可知直线l的方程为,代入， 整理得：，设点，则； 故的面积为. （3）由题意,如图可知直线l的斜率一定存在，设，联立，整理得：， 由韦达定理可得：① 因为，所以，又， 所以 又，所以 将①代入上式整理可得：，解得或（舍） 所以直线，所以直线恒过定点. 19．(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入切线方程，得，则，， 过点的切线方程为. （2），， 令，使存在两个极值点，，则方程有两个不相等的正数根，， 所以，解得，所以的取值范围为. （3）由于在上恒成立，在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则，当时，， 令，则，在上单调递增， 又，， 存在使得，即，， 故当时，，此时，当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又为整数，故，即整数的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $