精品解析：湖南株洲市第五中学2025--2026学年上学期九年级第一次月考数学试题

株洲市第五中学2026年上学期九年级第一次月考数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题：共10道小题，每题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了倒数的定义，二次根式的分母有理化，正确把握倒数的定义是解题关键．直接利用倒数的定义分析得出答案． 【详解】解：，， 的倒数是， 故选：D． 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 故选：D． 3. 如图，已知：直线a、b被所截，交点分别是点A、B，其中，，点D是线段上一点，．则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4. 函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义的条件：分式的分母不为0，分式才有意义. 【详解】由题意得， ∴， 故选C. 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得 ． 解不等式得． 6. 如图，在四边形中，，，，．为上一点，且．若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，交CB延长线于，证明为正方形，表示出后，使用勾股定理即可． 【详解】过点作，交CB延长线于 ∵， ∴ ∵，∴四边形为矩形 ∵ ， ∴ ∴矩形为正方形 ∴ 设，则， ∴ 即 ∴ ∴，即， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形，正方形的性质与判定，及勾股定理，熟知以上知识的应用是解题的关键． 7. 已知m 、n是方程的两根，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，可以求得mn的值和m+n 的值，从而可以求得题目中所求式子的值． 【详解】∵m、n是方程的两根， ∴，mn=1， ∴ = = = =3， 故选：C． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确根与系数的关系，求出所求式子的值． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】别求出每一个不等式的解集，取公共部分确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得，  不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 9. 随机抽取某商场4月份5天的营业额（单位：万元）分别为3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，则这个商场4月份的营业额大约是（ ） A. 90万元 B. 450万元 C. 3万元 D. 15万元 【答案】A 【解析】 【详解】．所以4月份营业额约为3×30＝90（万元）． 10. 设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是 A. x3＝x1＋x2． B. x3＝＋． C. x1x2＝x2x3＋x3x1． D. x1x3＝x2x3＋x1x2． 【答案】C 【解析】 【分析】先将直线与抛物线联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与轴的交点横坐标，即可得出答案． 【详解】解：由题意得和为方程的两个根，即， ，； ； 直线与轴交点的横坐标为：， ． ． 故选． 【点睛】此题考查了函数与方程的关系，证明时利用一元二次方程根与系数的关系将原式转化，得到关于、的表达式是证明的关键．证明思路可简单表达为：抓两头，凑中间． 二、填空题：共8道题，每题3分，共24分． 11. 1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】利用平行线的性质定理和垂直的意义解答即可． 【详解】如图， ∵AC⊥BC， ∴∠2+∠3＝90°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°． ∴∠2＝90°﹣∠3＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12. 如图，，要使四边形是平行四边形，还需补充一个条件是___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，已知一组对边平行，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形来补充条件． 【详解】解：，  当补充  时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形  是平行四边形； 当补充  时，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形  是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形内角和定理．连接常用的辅助线是解答本题的关键．根据圆周角定理可求出的大小，再根据切线的性质，可得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x＜ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式即可求出结论． 【详解】解：由题意可得1－2x＞0 解得：x＜ 故答案为：x＜． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题关键． 15. 数轴上表示3的点到原点的距离是_________ ． 【答案】3 【解析】 【分析】理解点到原点的距离等于这个数的绝对值，计算即可 【详解】∵|3|=3， ∴表示3的点到原点的距离是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了数轴上的点，绝对值，准确理解点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键． 16. 如图，已知是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且，连接CD交AB于点F，①若，的半径，则______；②若，则______． 【答案】 ①. ## ②. ##0.625 【解析】 【分析】根据圆心角等于同弧所对圆周角的二倍求出∠AOC=2∠B=60°，即可根据弧长公式求出，设∠OBC=∠OCB=，在Rt△DEC中，得到 DE=3CE，在Rt△ACE中，得到，进而得到AD=，在Rt△ABC中，tan∠CBA=tan=，得到BC=3AC，勾股定理求出AB，得到OC=，再证明△COF∽△DAF，得到． 【详解】解：∵∠B=， ∴∠AOC=2∠B=60°， ∴， ∵是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上， ∴OA=OB，又AB是的直径， ∴∠BCA=90°， ∵OC为直角三角形ABC的斜边AB上的中线， ∴OA=OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB，∠OCA=∠OAC， 设∠OBC=∠OCB=， ∴∠OCA=∠OAC=90°-， ∵∠COF为△OBC的一个外角， ∴∠COF=∠OBC+∠OCB=2， ∵CE为的切线， ∴∠OCE=90°， ∴∠ACE=∠OCE-∠OCA=90°-（90°-）=， ∵DE⊥CE， ∴∠DEC=90°， ∴∠CAE=90°-∠ACE=90°-， ∵∠DAF+∠OAC+∠CAE=180°， ∴∠DAF+90°-+90°-=180°，即∠DAF=2， ∴∠COF=∠DAF=2， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠EDC=∠CBA=， 在Rt△DEC中，tan∠EDC=tan∠ADC=tan==， ∴DE=3CE， 在Rt△ACE中，tan∠ACE=， ∴， ∴， ∴AD=DE-AE=3CE-=， 在Rt△ABC中，tan∠CBA=tan=， ∴BC=3AC， ∴， ∴OC=， ∵∠COF=∠DAF，∠CFO=∠DFA， ∴△COF∽△DAF， ∴， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的性质定理，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，综合掌握各知识点是解题的关键． 17. 分式方程的解为x=_______． 【答案】2． 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：x2=x2﹣x+2x﹣2， 解得：x=2， 经检验x=2是分式方程的解． 故答案为：2． 【点睛】本题考查解分式方程． 18. 假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是_____号． 【答案】13 【解析】 【详解】试题分析：一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，由于1-30中，除以5余3的数有8，13，18，23，28．右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数，其中除以7余6的数只有13．所以这个刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是13． 考点：有理数的除法． 三、解答题：满分66分． 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】； 【解析】 【详解】原式= 当时，原式= 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义、负整数指数幂的定义及非零数的零次幂，熟练掌握算术平方根的定义、负整数指数幂的定义及非零数的零次幂是解题的关键． 【详解】解：原式 21. 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． （2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用，，分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明． 【答案】（1） （2）； 画树状图如图所示． 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从“象、虎、鼠”三张牌中，一次出牌小刚出“象”牌的概率是； 【小问2详解】 解： 画树状图如图所示． 由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种． ∴P（一次出牌小刚胜小明）． 22. 数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． （1）嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． （2）淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． （3）李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行） （2）内错角相等，两直线平行 （3） 理由：，， ． 又， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法解题即可． （1）根据或者即可得出答案． （2）根据即可得出答案． （3）证明，即可得出． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， 或∵， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行（或同旁内角互补，两直线平行）． 【小问2详解】 ∵ ∴， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【小问3详解】 略 23. 某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；．小康社会，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题 请结合图中的信息解决下列问题： （1）在这次活动中，调查的居民共有　　人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中的a=　　，D所在扇形的圆心角是　　度； （4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格求出两个小组选择A、B话题发言的概率？ 【答案】（1）200； （2）补全条形统计图如图所示： （3）25，36；（4）． 【解析】 【分析】（1）根据选择的人数和所占的百分比即可得； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）由的人数除以抽查人数求出的值，再由乘以所占百分比即可得； （4）先画出树状图，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）调查的居民人数为（人）， 故答案为：200； （2）选择的居民人数为（人）， 选择的居民人数为（人）， （3）， ∴， 话题所在扇形的圆心角是， 故答案为：25，36； （4）画出树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果；其中，两个小组选择话题发言的结果有2种， 则所求的概率为， 答：两个小组选择话题发言的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用列举法求出概率等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识和概率的求法是解题关键． 24. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， 原方程组的解是． （1）请你仿照上面的解题方法解方程组； （2）请你仿照上面的解题方法解方程组：； （3）请大胆猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】（1）； （2）， （3） 由题干及（1）、（2），关于x，y的方程组的解是． 验证：把分别代入到方程组，得 ， 故是原方程组的解． 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题干的方法是解题的关键． （1）仿照题干的方法求解即可； （2）仿照题干的方法求解即可； （3）根据题干和（1），（2）中的结果直接猜测，分别代入到方程组进行验证即可． 【小问1详解】 解： 由，得， ， 即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， 原方程组的解是． 【小问2详解】 解：， 由，得， ， 即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， 原方程组的解是． 【小问3详解】 略 25. 如图，以O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点 D，连接，过点 A 作的切线交 的延长线于点E，且． （1）求证：是的切线． （2）若，则 ①求的长； ②求长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 为直径， ， ∴， ，， ∴， ，即， ∴， 是的半径， 是的切线； （2）①4；② 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，切线长定理，解直角三角形． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）①连接，由切线的性质和切线长定理得到，，进而得到垂直平分，则，可得，进一步得到，证明，可得；②设，则，由勾股定理得，解得，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图所示，连接， ∵都是切线， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，且． （1）求这条抛物线所对应的表达式及顶点的坐标； （2）如图，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 【答案】（1），顶点的坐标为； （2）点到直线的距离最大值为． 【解析】 【分析】（1）先求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则，求得的长，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， 解得， ∴这条抛物线所对应的表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：过作于点，过点作轴交于点，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为，即点到直线的距离最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第五中学2026年上学期九年级第一次月考数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一、单选题：共10道小题，每题3分，共30分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知：直线a、b被所截，交点分别是点A、B，其中，，点D是线段上一点，．则（　　） A. B. C. D. 4. 函数 中，自变量 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，，．为上一点，且．若，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知m 、n是方程的两根，则代数式的值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 随机抽取某商场4月份5天的营业额（单位：万元）分别为3.4，2.9，3.0，3.1，2.6，则这个商场4月份的营业额大约是（ ） A. 90万元 B. 450万元 C. 3万元 D. 15万元 10. 设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是 A. x3＝x1＋x2． B. x3＝＋． C. x1x2＝x2x3＋x3x1． D. x1x3＝x2x3＋x1x2． 二、填空题：共8道题，每题3分，共24分． 11. 1.如图，直线a∥b，点C、A分别在直线a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，则∠2的度数为 _____． 12. 如图，，要使四边形是平行四边形，还需补充一个条件是___________． 13. 如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是______． 14. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 15. 数轴上表示3的点到原点的距离是_________ ． 16. 如图，已知是△ABC的外接圆，且圆心O在线段AB上，点D是上一点，DA的延长线与过点C的切线交于点E，且，连接CD交AB于点F，①若，的半径，则______；②若，则______． 17. 分式方程的解为x=_______． 18. 假设一家旅馆一共有30个房间，分别编以1～30三十个号码，现在要在每个房间的钥匙上刻上数字，要求所刻的数字必须使服务员很容易辨认是哪一个房间的钥匙，而使局外人不容易猜到．现在有一种编码的方法是：在每把钥匙上刻上两个数字，左边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以5所得的余数，而右边的一个数字是这把钥匙原来的房间号码除以7所得的余数．那么刻的数是36的钥匙所对应的原来房间应该是_____号． 三、解答题：满分66分． 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 计算： 21. 小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． （1）一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． （2）如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用，，分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明． 22. 数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线． （1）嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______． （2）淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是______． （3）李老师将一副直角三角板（，）按如图3所示的方式放置，若，则可得到．请说明理由． 23. 某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；．小康社会，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题 请结合图中的信息解决下列问题： （1）在这次活动中，调查的居民共有　　人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中的a=　　，D所在扇形的圆心角是　　度； （4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格求出两个小组选择A、B话题发言的概率？ 24. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组． 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， 原方程组的解是． （1）请你仿照上面的解题方法解方程组； （2）请你仿照上面的解题方法解方程组：； （3）请大胆猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 25. 如图，以O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点 D，连接，过点 A 作的切线交 的延长线于点E，且． （1）求证：是的切线． （2）若，则 ①求的长； ②求长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，且． （1）求这条抛物线所对应的表达式及顶点的坐标； （2）如图，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $